一道七年級“等差數(shù)列”型試題的答卷分析與教學(xué)思考

趙立春

摘 要：期末監(jiān)測是為了強化對義務(wù)教育階段學(xué)校教育質(zhì)量的監(jiān)控和科學(xué)管理，進一步增強教學(xué)評估的準(zhǔn)確性.本文對肥西縣2018-2019年度第一學(xué)期七年級數(shù)學(xué)監(jiān)測卷上一道“等差數(shù)列”型試題的答題進行了得分統(tǒng)計、答卷分析、追本溯源、鏈接高中，提出了在習(xí)題教學(xué)中教師要善待錯誤資源、要切合學(xué)生實際、要培養(yǎng)反思習(xí)慣、要訓(xùn)練答題素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列;習(xí)題教學(xué);錯誤資源;答題素養(yǎng)

1 原題再現(xiàn)

某校一間階梯教室中，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，每一排都比前一排增加兩個座位.

（1）請你在下表的空格里填寫一個適當(dāng)?shù)氖阶樱?/p>

（2）寫出第n排座位數(shù)的表達式;

（3）求當(dāng)a=20時，第10排的座位數(shù)是多少？若這間階梯教室共有25排，那么最多可容納多少學(xué)員？

2 得分統(tǒng)計

這道試題在試卷中的總分值為10分，按照評分標(biāo)準(zhǔn)，各小題的分值分別為第（1）小題2分、第（2）小題2分、第（3）小題6分，這次數(shù)學(xué)監(jiān)測采用網(wǎng)上閱卷，閱卷比較公平合理.為了了解肥西縣各校七年級數(shù)學(xué)的整體教學(xué)質(zhì)量、教育均衡性等，縣教體局要求數(shù)學(xué)教研室對本次數(shù)學(xué)監(jiān)測試卷的難度系數(shù)、答卷成績等進行數(shù)據(jù)分析.筆者也獲得了第一手資料，該題的平均得分為6.74分，其中第（1）小題學(xué)生答卷準(zhǔn)確率最高，平均得分為1.98分;第（2）小題平均得分為1.22分;第（3）小題平均得分為3.54分.由此可見，本題中三個小題的得分梯度明顯，難度逐步增大，學(xué)生答錯率遞增.

3 答卷分析

第（1）小題比較簡單，學(xué)生可以從表格中三排所對應(yīng)的座位數(shù)出發(fā)，觀察三個數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)答案;也可以從題目中的文字“第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，每一排都比前一排增加兩個座位”入手，容易得到第4排的座位數(shù)為a+6.第（1）小題大多數(shù)學(xué)生把答案錯寫成a+8.閱卷結(jié)束后，筆者調(diào)查了一些答案為a+8的學(xué)生，他們的思路是：a+2等價于a+21，a+4等價于a+22，按照邏輯變化規(guī)律，他們認(rèn)為第4排座位數(shù)是a+23.

第（2）小題由于要寫出第n排座位數(shù)的表達式，因此要找出具有一般規(guī)律性的式子.從這道題的得分可以看出，學(xué)生找出此題蘊含的規(guī)律還是有點難度的.

第（3）小題的第一問，答題準(zhǔn)確率比較高，但第二問準(zhǔn)確率較低，許多學(xué)生試卷甚至空白.

4 追本溯源

肥西縣七年級數(shù)學(xué)選用的是義務(wù)教育滬科版《數(shù)學(xué)》（2012年版）教材，該教材第二章第一節(jié)介紹了代數(shù)式概念.監(jiān)測卷上的這道“等差數(shù)列”型試題考查的是列代數(shù)式、求代數(shù)式的值.第（1）小題是用代數(shù)式表示第4排的座位數(shù)，第（2）小題是寫出第n排座位數(shù)的表達式.從高中角度來說，第（2）小題考查的是等差數(shù)列的通項公式問題，第（3）小題第一問考查的也是求代數(shù)式的值，第二問考查的是等差數(shù)列求和問題.其實本題的素材取源于教材第二章復(fù)習(xí)題A組第12題：某體育場看臺第1排有a個座位，后面每排比前一排多2個，第2排、第3排、第4排各有幾個座位？如用m表示第n排的座位數(shù)，則m是多少？當(dāng)a=20，n=12時，求m的值.這兩道題在表述上稍有區(qū)別，二者有極高的相似度.

5 鏈接高中

滬科版七年級數(shù)學(xué)教材中的代數(shù)式是整個初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等知識的前奏和索引，有著極其重要的地位，同時為以后升入高中階段繼續(xù)深入研究數(shù)列知識打下堅實的基礎(chǔ).至于什么叫數(shù)列、什么是等差數(shù)列，什么叫等比數(shù)列，滬科版初中數(shù)學(xué)教材中沒有提及，更沒有給數(shù)列下定義.在初中階段，學(xué)生年齡小，思維還不夠成熟，滬科版教材在多處只能呈現(xiàn)出等差數(shù)列與等比數(shù)列型問題，讓學(xué)生初步體驗等差數(shù)列與等比數(shù)列的特征.如第二章習(xí)題2.1第10題、第2章閱讀與思考中的思考1與思考2、第四章復(fù)習(xí)題C組第2題等.在人教版高中必修5教材中介紹了什么是數(shù)列，介紹了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念.該教材把數(shù)列定義為：按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，……，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.等差數(shù)列是最為常見的數(shù)列，所謂等差數(shù)列是指如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.等比數(shù)列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值都等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比.

6 教學(xué)思考

6.1 要善待錯誤資源

試題中的第（1）小題其實是非常簡單的，學(xué)生不應(yīng)該再出現(xiàn)錯誤.從調(diào)查部分答錯學(xué)生的解題思路可以發(fā)現(xiàn)，讀題不全、審題不嚴(yán)是造成錯答的重要原因，這與教師平時在習(xí)題教學(xué)中對待學(xué)生錯誤的態(tài)度有關(guān).習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)不可缺少的重要組成部分，由于學(xué)生的知識背景、情感體驗、表達方式、認(rèn)知水平、思維特點等存在一定的差異性，學(xué)生對教師教學(xué)習(xí)題的方法技巧接受程度不盡相同，習(xí)題學(xué)習(xí)的效率固然不同，在解題時學(xué)生存在一定的錯誤也是在所難免的.對于學(xué)生在習(xí)題解答中出現(xiàn)多樣化的典型錯誤，教師們不要一味地去批評學(xué)生，拒絕錯誤，讓學(xué)生一次次地找不到成功感，體驗不到數(shù)學(xué)的快樂，久而久之就失去了對數(shù)學(xué)的信心.其實有些錯誤正是我們進行習(xí)題教學(xué)重要的反面教材，習(xí)題教學(xué)中教師要幫助學(xué)生細(xì)致分析解題時出現(xiàn)的錯誤根源，讓學(xué)生能知其然還要知其所以然，引導(dǎo)他們在習(xí)題解決中少走彎路，及時走出解題誤區(qū).因此在習(xí)題教學(xué)中，我們應(yīng)該允許學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯誤，是他們?yōu)榱?xí)題教學(xué)的教師們提供了意想不到的生成性資源，教師在習(xí)題教學(xué)中要善待這些寶貴的錯誤資源.

6.2 要切合學(xué)生實際

通過上面的分析發(fā)現(xiàn)，該題是由滬科版教材中第二章復(fù)習(xí)題A組第12題改編而成，教材中的習(xí)題在試卷中再次出現(xiàn)，學(xué)生作答仍然會出現(xiàn)錯誤，說明他們在平時的學(xué)習(xí)中沒有真正掌握這道題的分析技巧與解決方法.在學(xué)習(xí)這兩道習(xí)題時，他們或者騰云駕霧，或者人云亦云，根本沒有弄清楚該問題的原委.對于第二章復(fù)習(xí)題A組第12題，問題中情境為體育場看臺座位，讀完題目后，學(xué)生是不是還在浮現(xiàn)體育場上一些大型體育活動的場面而沒跟上課堂進度呢？他們思維沒有與習(xí)題課堂同步，出現(xiàn)思維錯位，學(xué)習(xí)效果自然會下降.也許還有些學(xué)生只聽說過體育場，從沒有見過，特別是農(nóng)村中學(xué)生，又有幾個農(nóng)村學(xué)生體驗過體育場呢？多數(shù)學(xué)生只是在電視中看到過、激動過.因此習(xí)題教學(xué)時要切合學(xué)生實際，如教學(xué)該題的時候，我們可以把體育場座位換為學(xué)生熟悉的學(xué)校報告廳座位等，根據(jù)座位的排數(shù)和每排座位數(shù)讓學(xué)生身臨其境，感受座位數(shù)的變化規(guī)律，讓他們在學(xué)習(xí)的過程中能夠進行“實地體驗”，提升教學(xué)的效果.在初中進行習(xí)題教學(xué)時，對于變換習(xí)題中的情境，將習(xí)題中的數(shù)據(jù)“嫁接”到切合學(xué)生實際的熟悉情境中，捕捉習(xí)題中信息，理清習(xí)題中數(shù)量之間的關(guān)系，提高習(xí)題教學(xué)效率.

6.3 要培養(yǎng)反思習(xí)慣

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力.“習(xí)題千萬道，解后拋九霄”，難以達到提高學(xué)生的解題能力、發(fā)展學(xué)生思維的目的.習(xí)題教學(xué)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生把習(xí)題的知識點、題型結(jié)構(gòu)、類型、條件與結(jié)論的關(guān)系等理解透徹并及時進行反思，有助于幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，鞏固學(xué)習(xí)成果，真正達到習(xí)題教學(xué)的目的，進行題后反思，幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，優(yōu)化解題方法，提高解題效率.

6.4 要訓(xùn)練答題素養(yǎng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在分析第（1）小題時，看似理由充足，為什么會出現(xiàn)錯誤呢？學(xué)生答題時題目條件沒用完，從部分已知信息中去發(fā)掘，他們共同犯了以偏概全的毛病，他們由“a+2等價于a+21，a+4等價于a+22”，直接得到第4排座位數(shù)是a+23，忽略了第1排座位數(shù)為a，從兩個數(shù)據(jù)的變化中找出第三個數(shù)據(jù)，出現(xiàn)的錯誤幾率增大.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通常把出現(xiàn)這樣錯誤的原因都?xì)w結(jié)為學(xué)生審題粗心.粗心只是我們?yōu)閷W(xué)生解答習(xí)題時出現(xiàn)的失誤尋找的一個理由，往往透過這些粗心學(xué)生的背后，折射出良好答題素養(yǎng)的缺失.我們知道，數(shù)據(jù)越少，其發(fā)展方向變化多端，具有很大的不穩(wěn)定性，因此此題的三個數(shù)據(jù)都要一并分析，a、a+2、a+4中都含有a，第1個數(shù)a，只有把a看作a+0，才能與后面的兩個數(shù)a+2、a+4結(jié)構(gòu)上相一致、邏輯上相匹配，由a+0、a+2、a+4很容易發(fā)現(xiàn)這三個代數(shù)式屬于等差數(shù)列關(guān)系，很容易找到第4排座位數(shù)的代數(shù)式了.從心理學(xué)的角度出發(fā)，當(dāng)學(xué)生面對簡單的題目時，他們認(rèn)為都會，心理處于放松狀態(tài)，容易出錯;而面對難題時，因為有難度心理上會強調(diào)自己要專注，在這種心理的暗示下，自然難的題目反而不會出錯.所以，我經(jīng)常告訴學(xué)生，把平時的練習(xí)當(dāng)成考試來對待，審題時要慢讀題，不要漏掉一字一句，仔細(xì)斟酌試題中的每一個信息，考試的時候就當(dāng)做平時的作業(yè)來對待，讓他們在訓(xùn)練中養(yǎng)成專注細(xì)心的習(xí)慣，形成終身受益的良好答題素養(yǎng).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2011.

[2]付云菲.弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

（收稿日期：2019-06-25）