凸顯思維過程，感悟基本策略

徐強

[摘? 要] 在動態(tài)幾何問題的解題教學(xué)中，模型不在于記，在于思;策略不在于給，在于悟;題目不在于多，在于變. 關(guān)鍵是如何讓學(xué)生從圖形與數(shù)量的變化中認(rèn)清此類問題的本質(zhì)特征，真正把握其基本解決路徑與策略.

[關(guān)鍵詞] 動態(tài)幾何;解題教學(xué);策略提煉;教學(xué)啟示

縱觀各地中考試題，動態(tài)幾何問題往往為命題者所青睞，該類問題一般以點、線、面的運動為基礎(chǔ)，給出運動產(chǎn)生的一個或多個變量，要求學(xué)生分析幾何變量之間的關(guān)系以及圖形運動情況，包括線段長度、角的大小、圖形形狀、面積、周長等變化規(guī)律，主要考查學(xué)生“動中分析，靜中轉(zhuǎn)化”的能力. 教學(xué)中，如何讓學(xué)生從圖形與數(shù)量的多變中認(rèn)清此類問題的本質(zhì)特征，真正把握其基本解決路徑與策略，是值得我們關(guān)注和思考的. 下面筆者僅以近期進(jìn)行的一次“直線形運動”解題教學(xué)指導(dǎo)課為例，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc思考，供大家一起研討.

過程呈現(xiàn)與分析

例題? 如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5 cm，BC=8 cm，直線EF⊥BC（點E與點B重合），若直線EF沿直線BC以1 cm/s的速度向右平移至點C結(jié)束.假設(shè)t s后，直線EF掃過△ABC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

1. 直觀感知，感受運動過程

問題驅(qū)動：你能借助數(shù)學(xué)工具，將此運動過程直觀演示出來嗎？并說明運動中的特殊位置.

設(shè)計分析：體會運動過程，表示運動變化中的相關(guān)量，是解決問題的關(guān)鍵所在. 學(xué)生之所以不易掌握動態(tài)問題，關(guān)鍵是學(xué)生不能直觀發(fā)現(xiàn)運動過程中，圖形或者相關(guān)量的隱性變化. 因此，對于直線，引導(dǎo)學(xué)生不妨借助數(shù)學(xué)工具——直尺，利用它的平移，演繹運動的過程，發(fā)現(xiàn)運動變化中的圖形或相關(guān)量變化的臨界位置. 本例通過直尺的平移，可以發(fā)現(xiàn)直線EF掃過△ABC的過程中，掃過圖形的形狀發(fā)生了變化，由三角形變?yōu)樗倪呅?，臨界的位置為直線EF經(jīng)過點A（如圖2）.

2. 化動為靜，突破思維節(jié)點

問題驅(qū)動：根據(jù)運動中的特殊位置，t的取值如何分類？并畫出分類中存在的一般性圖形.

設(shè)計分析：動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，即“動中分類，靜中突破”是基本策略. 學(xué)生通過前面的直觀感知，很快確定了t的取值范圍：（1）0≤t≤4;（2）4

3. 規(guī)范解答，反思關(guān)鍵步驟

問題驅(qū)動：請完整、規(guī)范地寫出求解過程，并思考解決此類問題的一般策略.

設(shè)計分析：“規(guī)范”是教學(xué)中不可忽視的環(huán)節(jié). 一方面學(xué)生在考試中“會而失分”的現(xiàn)象屢見不鮮，原因之一是日常教學(xué)中的規(guī)范書寫過程強化不夠;另一方面，重視“規(guī)范”可以引導(dǎo)學(xué)生從“快思”走進(jìn)“慢想”，進(jìn)一步想透關(guān)鍵步驟，培養(yǎng)有條理的思維能力，內(nèi)化基本策略. 本例“題后思策略”的關(guān)鍵步驟為：（1）根據(jù)已知的等腰三角形，可求出tanB=tanC=;（2）如圖3，當(dāng)0≤t≤4時，BE=t，則GE=t，S=t2;（3）如圖4，當(dāng)4

策略提煉與反思

1. 借助直尺，找臨界

動態(tài)問題的關(guān)鍵是讓學(xué)生的思維直觀化，其基礎(chǔ)是運動直觀化. 由于是直線平移，因此充分利用好學(xué)生手中的工具，有利于形成幾何直觀，即運動過程中，相關(guān)幾何元素位置、大小，有的發(fā)生改變，有的保持不變. 這也容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)運動之后產(chǎn)生的新元素與原有元素之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而可以確定變化前后的臨界位置是什么，為后續(xù)解決問題提供有力的幫助.

2. 分類畫圖，靜中求

在發(fā)現(xiàn)直線平移過程中的變化規(guī)律以后，通過呈現(xiàn)不同階段的代表圖形，讓動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，借助靜態(tài)圖形，可以讓學(xué)生更清楚地找到線段之間、角之間或者線段與角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到順利解題的目的.

3. 問題延續(xù)，再探究

動態(tài)問題的考查角度常與面積、幾何圖形的存在性等有關(guān)，在研究的過程中，可以滲透不同的考查角度，形成一題多變，有效增強學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與變通能力.

如本例，筆者引導(dǎo)學(xué)生生成了“題中巧變式”的問題：

（1）當(dāng)t為何值時，△AEC是等腰三角形？

（2）把△BGE沿直線EF翻折（點G為EF平移過程中與AB或AC的交點），其與四邊形AGEC重疊部分的面積為S′，求S′與t的函數(shù)關(guān)系式.

教學(xué)啟示與思考

1. 追根溯源，增進(jìn)體驗過程

模型不在于記，在于思. 教學(xué)中教師要注重追根溯源，啟發(fā)學(xué)生如何思考，引領(lǐng)學(xué)生在轉(zhuǎn)化中成長智慧，讓學(xué)生在引導(dǎo)下將已有經(jīng)驗與有待解決的問題對接，并實現(xiàn)有效突破. 在“變中尋不變”的問題中，如何驅(qū)動學(xué)生自主經(jīng)歷探究規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，進(jìn)而加深對“理清動”的體驗理解，尋找媒介是最有效的辦法. 本例中我們借助了直尺，實際上在分析問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)不變的角或線段，我們也可以形成固定圖形的運動，也能分清情況，解決問題. 如上述問題延續(xù)（2）中，BG翻折之后，與直線BC的夾角始終保持不變，可以通過形狀不變的圖形向右滑動，同樣能夠讓學(xué)生直觀感知.

2. 串聯(lián)整合，關(guān)注題后反思

策略不在于給，在于悟. 教學(xué)中要注重串聯(lián)整合，增進(jìn)學(xué)生自我反思，引領(lǐng)學(xué)生在有序思考中積累經(jīng)驗. 在“題后思策略”的問題中，驅(qū)動學(xué)生即時反思分析與解決問題的過程，積累“悟透法”基本經(jīng)驗. 如本例的分析中串聯(lián)整合的“三部曲”演繹，可以讓學(xué)生形成基本思維的歷程，可以讓學(xué)生感悟靜態(tài)下的問題解決無非是尋找邊、角之間的一種聯(lián)系、一種表示，強化了學(xué)生的解題策略，積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗.

3. 增添視角，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

題目不在于多，在于變. 教學(xué)中要注重增添視角，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件、結(jié)論等變式，使問題在變化中引領(lǐng)學(xué)生遷移內(nèi)化. 如本例在“題中巧變式”的問題中，引發(fā)學(xué)生研究問題的延伸，形成“遷移法”的應(yīng)變能力. 從中考命題的視角，滲透不同的考查方向，真正實現(xiàn)從一題走向一類，達(dá)到減負(fù)增效的效果. 當(dāng)然，在變化的過程中，更能夠從方法路徑、策略比較中讓學(xué)生悟出其中的真諦.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依賴記憶與模仿，更需要體驗與感悟. 平時的解題教學(xué)過程，不能就題論題，要關(guān)注知識的“生長點”和“延伸點”，關(guān)注思維過程與方法，突出經(jīng)驗與反思，讓學(xué)生在經(jīng)歷中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從積淀中彰顯魅力！當(dāng)然，這也要求教師在平時要關(guān)注同類問題的收集與研究，如此才能把握問題本質(zhì)，信手拈來.