畫圖，讓思維呈現(xiàn)更直觀

杜英

裴斯泰洛齊認(rèn)為，教學(xué)法有三，其一便是測量教學(xué)法，其基本步驟為直觀印象——測量——繪畫，而筆者從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)之感同身受。

小學(xué)數(shù)學(xué)的直觀印象中大多數(shù)為幾何直觀，就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！边@是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言。圖形是學(xué)生進(jìn)行推理和計(jì)算的直觀模型，而畫圖是我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常使用的策略。可見數(shù)形結(jié)合對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有多重要。然而，在平時(shí)的教學(xué)中我們教師都有些忽視幾何直觀的教學(xué)，導(dǎo)致部分學(xué)生解決幾何的能力比較差。

蘇教版教材五年級(jí)下冊，教學(xué)完《圓》后，學(xué)生練習(xí)了這樣一道選擇題：在正方形里面畫一個(gè)最大的圓，圓的面積是9.42平方厘米，正方形的面積是（? ? ）平方厘米。

A. 10 B. 11

C. 12 D. 無法確定

通過批改后發(fā)現(xiàn)：全班55人，選A的有30人，占全班人數(shù)的54.5%;選B的0人;選C的有21人，占全班人數(shù)的38.2%;選D的有4人，占全班人數(shù)的7.3%，正確率僅為38.2%。由此可見，錯(cuò)誤率是很高的。

為此，筆者課后詢問了幾個(gè)學(xué)生，了解到了一些情況。選A的學(xué)生認(rèn)為：在正方形里面畫一個(gè)最大的圓，說明正方形只比圓大一點(diǎn)，這里選項(xiàng)A的答案10和圓的面積9.42是最接近的，所以比較合適。選D的學(xué)生認(rèn)為：要求正方形的面積得知道正方形的邊長，在正方形里面畫一個(gè)最大的圓說明圓的直徑和正方形的長度相等，但是現(xiàn)在只知道圓的面積，不能直接算出圓的直徑或半徑，所以就選擇選項(xiàng)D的無法確定。

數(shù)學(xué)是一門要求非常精準(zhǔn)的學(xué)科，而上述的兩種想法充分暴露出學(xué)生在遇到幾何問題時(shí)考慮問題比較簡單，浮于表面。只憑空冥思苦想，沒有意識(shí)去動(dòng)動(dòng)手，畫一畫，看一看，想一想，做題輕率了事。從中既看出部分學(xué)生思考問題比較懶惰，且他們的幾何分析能力比較弱，又說明教師在講解書本例7（圓面積與正方形的關(guān)系）時(shí)可能講得不夠透徹，未能讓兩者之間的關(guān)系深深印入孩子的心里，所以直接導(dǎo)致部分孩子只會(huì)機(jī)械地使用圓的面積公式，知其然卻不知其所以然。

因此，評(píng)講本題的關(guān)鍵是要著重解決好兩個(gè)問題：一是要讓學(xué)生建立做題時(shí)采用畫圖策略的意識(shí)，并從中體會(huì)到畫圖策略的價(jià)值;二是要讓學(xué)生能夠根據(jù)題意畫出示意圖，從而幫助學(xué)生分析問題和解決問題。因?yàn)榈谝稽c(diǎn)是基于第二點(diǎn)的基礎(chǔ)之上的，所以最關(guān)鍵的還是第二點(diǎn)。

教師在講解時(shí)可以邊示范邊讓學(xué)生試著學(xué)畫示意圖。先在正方形里面畫一個(gè)最大的圓（如圖1），再在把圓平均分成4份（如圖2）。仔細(xì)觀察圖2可知：半徑的平方（即正方形的面積）正好是9.42÷3.14=3。那么，整個(gè)圓的面積就是3×4=12。簡單地畫一畫，仔細(xì)地看一看、想一想，讓學(xué)生厘清了正方形和其最大的內(nèi)接圓之間的關(guān)系，解題思路就躍然紙上了！

又如，三年級(jí)中常見的“植樹問題”，并非所有的孩子空間現(xiàn)象能力都強(qiáng)，能一下子掌握解題思路。如何讓孩子們真正弄懂，筆者還是建議通過畫圖進(jìn)行直觀教學(xué)。畫一畫，看一看，再想一想，讓孩子們自己觀察，相信他們會(huì)有所發(fā)現(xiàn)：大馬路上植樹，兩頭都需要種，間隔要加1;兩幢樓房之間種樹，間隔要減1;環(huán)形道路上，幾個(gè)間隔幾棵樹……然后再講題型推廣，這樣更便于孩子們的學(xué)習(xí)與理解。

數(shù)學(xué)天才兒童之所以有超能的思維力，就是因?yàn)樗麄兩朴诎盐淖洲D(zhuǎn)化為圖形，再借助圖形直觀解決問題。反之，孩子的數(shù)學(xué)能力之所以弱，就因?yàn)槠洳荒馨盐淖洲D(zhuǎn)化為圖形，或者說他們不知道如何依靠圖形來解題。由此可見，平時(shí)的課堂中，教師潛移默化的畫圖策略的指導(dǎo)顯得尤為重要。畫圖策略能讓習(xí)題由繁化簡，有條理地表示數(shù)量，合理地畫出線段圖、幾何圖形……于是，一個(gè)個(gè)抽象問題便具體化、直觀化，從而使學(xué)生獲得解題的途徑。

授之以魚，不如授之以漁，教學(xué)生解題還不如教他們解題的方法。要想讓學(xué)生能運(yùn)用畫圖的策略來解決問題，首先要教會(huì)他們?nèi)绾蝸懋媹D，并選擇合理的畫圖方式來解題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的路程問題較偏向于線段圖例;面積周長體積等相關(guān)知識(shí)偏向于圖形圖例;排隊(duì)問題用簡易圖案表示更為淺顯易懂……

可不要小看草稿紙上的涂涂畫畫，因?yàn)樾W(xué)生年齡小，抽象思維水平不高，而畫圖比較直觀。孩子通過畫圖，能把一些復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而很容易就找到解決問題的關(guān)鍵。懷特海曾說過：“所謂教育，就是一個(gè)人把在學(xué)校所學(xué)全部忘光后剩下的東西。”我們教師努力的目標(biāo)就是讓孩子能自覺、靈活地運(yùn)用各種策略來幫助自己解決實(shí)際問題，把方法變成自己的能力。我們知道，策略的形成是一個(gè)漫長的、漸進(jìn)的過程，并不是一蹴而就的。所以，我們教師在平時(shí)教學(xué)一些例題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先從中體會(huì)畫圖法的優(yōu)點(diǎn)，再運(yùn)用畫圖法來解決一個(gè)同類的問題或?qū)哟紊愿咝┑膯栴}，從而鍛煉學(xué)生的作圖能力。通過長期的訓(xùn)練，如果孩子在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)沒有什么頭緒，就可以想到是不是可以通過畫圖進(jìn)行分析。孩子在涂涂畫畫的分析中，抽象的東西初步清晰、直觀，從而凸顯題目的本質(zhì)，解題便成了順理成章的事了。

筆者認(rèn)為，在學(xué)生解決問題的過程中，畫圖并不是最終目的，它只是一個(gè)中介，其目的是為了更好地思維。教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中充分利用畫圖這個(gè)中介輔助理解題目，把一些看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題“翻譯”成圖表等符號(hào)，化繁為簡。當(dāng)學(xué)生把文字轉(zhuǎn)化成圖畫，把圖畫轉(zhuǎn)化成思維，學(xué)生的邏輯思維經(jīng)歷了一個(gè)從“外化”到“內(nèi)化”的過程，整個(gè)問題也就變得井然有序了。因此，我們數(shù)學(xué)教師要重視幾何直觀的教學(xué)，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升幾何畫圖的能力。

陸游有云，“絕知此事要躬行”?！肮小币辉~放之?dāng)?shù)學(xué)，我們也可以釋義為積極動(dòng)腦，不懼動(dòng)手，畫畫想想。通過畫一畫、標(biāo)一標(biāo)、看一看、想一想，讓枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)，變得有力量;讓學(xué)生逐步喜歡用“圖”來表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)思想，讓他們在解決問題的過程中產(chǎn)生畫圖的需要，在畫圖的過程中感受數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)策略，從而發(fā)展思維，獲得成功。貫穿于學(xué)習(xí)過程始終的應(yīng)該是——引導(dǎo)學(xué)生走上數(shù)學(xué)思維之旅。