立足特征，把握聯(lián)系，突破綜合

王一欣

[摘? 要] 幾何圖形與函數(shù)相結(jié)合的綜合題，一般題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、注重知識聯(lián)系、問題變化多樣，以考查學(xué)生的綜合能力為命題根本. 文章以一道幾何與二次函數(shù)綜合題為例，探析解題思路，分析解題策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);平行四邊形;性質(zhì);聯(lián)系;綜合題

問題的提出

近幾年的中考命題逐漸向著知識綜合的方向發(fā)展，以考查學(xué)生的綜合能力，在中考壓軸題中存在這樣一類問題——幾何圖形與二次函數(shù)相綜合，其中以基本圖形最為普遍，如平行四邊形與二次函數(shù)相綜合. 對于該類問題的分析首先需要對平行四邊形和二次函數(shù)的性質(zhì)特征，以及兩者之間的關(guān)聯(lián)性有所了解，下面將對其進(jìn)行深入探析.

性質(zhì)特征的解讀

在初中教材中將有一組對邊平行且相等的四邊形或兩組對邊分別平行的四邊形稱之為平行四邊形，這是對平行四邊形的基本定義. 對于該定義我們需要從如下角度進(jìn)行理解，首先要明確平行四邊形異于普通四邊形的根本，即定義中的“平行”二字，需要滿足兩組對邊均平行. 當(dāng)滿足上述條件后平行四邊形的兩組對邊就存在相等的性質(zhì)，即平行四邊形的對邊平行是其根本性質(zhì)，而對邊相等是其核心性質(zhì)，在研究與平行四邊形相關(guān)的題目時可以從上述兩點進(jìn)行.

考題的探究

中考中平行四邊形與二次函數(shù)的綜合題，除了考查圖形特征和函數(shù)性質(zhì)外，另一個重點是對兩者關(guān)聯(lián)性的考查，解題的關(guān)鍵也是把握聯(lián)系，明晰結(jié)構(gòu)，下面將對一道考題進(jìn)行探究.

（2）分析是否可能存在由PA，PB，PC和PD構(gòu)成平行四邊形，需要從平行四邊形的性質(zhì)出發(fā)，一旦存在一條不滿足平行四邊形的條件即可證明不能構(gòu)成. 考慮到題干給出的是線段長，則可以考慮從平行四邊形的對邊相等角度來分析. 根據(jù)問題可知需要分為點P位于正方形的EF和FG上兩種情形：①當(dāng)位于EF上時，連接PM，如圖3所示，由于點E，F(xiàn)和B三點共線，而點C在y軸上，則PBOB=4，所以有PC>PB，結(jié)合PD>PB，PA>PB，可推知PB不與PA，PC和PD任意一條線段相等，不滿足平行四邊形的核心性質(zhì)，因此上述四條線段無法組成平行四邊形. ②當(dāng)點P位于FG上時，同上述分析過程，結(jié)合點F和點G的坐標(biāo)可推知PC>PB，由圖像易得PD>PB，PA>PB，綜合可知PB不與PA，PC和PD任意一條線段長相等，也不能構(gòu)成平行四邊形. 綜上可知，無論點P位于線段EF上還是FG上，以線段PA，PB，PC和PD為邊均不能構(gòu)成平行四邊形.

解后思考

1. 解題思路的反思

上述考題是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，第一問以圖形翻折為背景，考查結(jié)合幾何性質(zhì)求解二次函數(shù)的解析式. 根據(jù)題干的文字?jǐn)⑹鲲@然需要從圖形翻折中分析線段長的幾何關(guān)系，然后從點坐標(biāo)與線段的聯(lián)系性入手構(gòu)建解析模型，進(jìn)而確定求解參數(shù)a的關(guān)鍵點. 該問的關(guān)鍵在于敏銳發(fā)現(xiàn)直角三角形中線段的特殊關(guān)系，分析其內(nèi)角，確定線段長，即直角三角形中30度角所對的邊等于斜邊的一半.

而考題的第二、三問均是分析平行四邊形存在性，對于該問的求解需要從平行四邊形的定義入手. 考慮到問題給出了線段的長，因此從邊長角度來考慮更為簡潔，上述無論是對比線段長，還是分析實數(shù)a是否存在都是基于該定義來開展的. 解題的關(guān)鍵均是利用圖像中點坐標(biāo)與線段長之間的關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的分析模型，其中第三問構(gòu)建的代數(shù)方程模型是該類問題常見的解法思路，是函數(shù)與幾何綜合題轉(zhuǎn)化的重要策略.

2. 解題思想的反思

函數(shù)知識是幾何與代數(shù)的綜合，這也是中考常將二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合命制考題的關(guān)鍵，因此分析該類問題最為關(guān)鍵的思想就是數(shù)形結(jié)合思想，即借助圖像的直觀性分析圖形關(guān)系，然后基于圖形關(guān)系采用代數(shù)分析的方式來精準(zhǔn)求解. 該思想的使用有兩個過程：一是利用題干的信息繪制相應(yīng)的圖像，二是分析圖像中的圖形關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)特征轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題，可以直觀比較代數(shù)值的大小，也可以構(gòu)建求解相關(guān)參數(shù)的代數(shù)方程，總之通過代數(shù)的運(yùn)算分析來完成求解. 在實際解題中不僅需要懂得數(shù)形結(jié)合的思想內(nèi)涵，還需要掌握數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的思路，領(lǐng)悟思想的精髓，內(nèi)化為解題策略.

教學(xué)建議

1. 扎實學(xué)生基礎(chǔ)，注重知識融合

幾何圖形與二次函數(shù)的綜合題涉及平面幾何與二次函數(shù)眾多的知識點，該類問題求解的基礎(chǔ)依然是對幾何與函數(shù)兩大模塊知識內(nèi)容有著充分的了解，能夠靈活運(yùn)用其中的知識內(nèi)容求解基礎(chǔ)問題. 如上述考題涉及求直角三角形的線段長、證明四邊形為平行四邊形、求函數(shù)解析式的頂點、交點和對稱軸等. 因此在教學(xué)中需要教師充分利用數(shù)學(xué)教材，從基礎(chǔ)內(nèi)容出發(fā)，幫助學(xué)生扎實基礎(chǔ)，然后在此基礎(chǔ)上開展知識的融合教學(xué)，挖掘知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生完善知識體系，為后續(xù)求解綜合問題打下基礎(chǔ).

2. 掌握解題方法，形成解題策略

綜合題求解的難點在于解題思路的構(gòu)建，一般求解綜合問題需要經(jīng)歷問題轉(zhuǎn)化與拆分、關(guān)鍵條件探尋、條件與問題重構(gòu)以及構(gòu)建解題模型四個階段. 思路構(gòu)建的過程包括了對問題的思考、條件的分析、聯(lián)系性構(gòu)建和模型選取，對學(xué)生的思維要求較高. 因此在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該偏重解題思路的引導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷思維分析的各個階段，充分感知問題的分析過程，必要時可以引導(dǎo)學(xué)生分析錯解的原因，加深理解. 解一題，通類題，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的方法策略遠(yuǎn)比學(xué)解一道例題重要，提升學(xué)生解題的思維遠(yuǎn)比掌握考題的解法重要.