對(duì)哥德巴赫猜想的論證

程潔

【摘要】哥德巴赫猜想只在一定數(shù)值內(nèi)才能成立.把一定數(shù)值范圍內(nèi)的所有素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）都兩兩相加，會(huì)得到一系列偶數(shù).把這些偶數(shù)排列在數(shù)軸上，若能占滿這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)位置，則說明這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)素?cái)?shù)之和.亦即每個(gè)偶數(shù)都可分解為兩個(gè)素?cái)?shù)了，哥德巴赫猜想得以證實(shí).若所得的這些偶數(shù)不能占滿這段數(shù)軸上所有偶數(shù)位置，那么對(duì)應(yīng)于空缺位置的偶數(shù)是不能化為兩個(gè)素?cái)?shù)之和了.這從反面驗(yàn)證了哥德巴赫猜想是不全面的、不成立的.

【關(guān)鍵詞】哥德巴赫;猜想;論證;偶數(shù);素?cái)?shù);數(shù)列;數(shù)軸

一、引 言

偉大的數(shù)學(xué)家C.哥德巴赫（Christian Goldbach）曾猜想：“大于6的一個(gè)偶數(shù)可寫成為兩個(gè)素?cái)?shù)之和;大于5的一個(gè)奇數(shù)可以寫作三個(gè)素?cái)?shù)之和”.哥德巴赫猜想目前依然是世界上數(shù)學(xué)界探討的一個(gè)有趣的問題.許多著名的數(shù)學(xué)家（其中包括我國(guó)的華羅庚和陳景潤(rùn)等先輩數(shù)學(xué)家）都對(duì)哥德巴赫猜想進(jìn)行過論證，但都沒有得出令人滿意的結(jié)果.現(xiàn)在雖然有人已在4×1018的數(shù)值范圍內(nèi)驗(yàn)證了哥德巴赫猜想，但也只限于這一數(shù)值范圍內(nèi)，沒有做出更廣泛的論證，也未提出完整的驗(yàn)證方法來，雖然試圖找到一個(gè)能全面論證的分割公式，但至今還沒有得出結(jié)果.

若在數(shù)軸上取無窮大值的話，此最大值應(yīng)是奇數(shù)呢，還是偶數(shù)呢？它是素?cái)?shù)呢，還是非素?cái)?shù)呢？在此極限狀態(tài)下，該無窮大值既不能認(rèn)為是奇數(shù)，也不能認(rèn)為是偶數(shù);既不可說它是素?cái)?shù)，也不可說它是非素?cái)?shù).在此情況下，無從可言“一個(gè)偶數(shù)可化為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”了.也就是說在此情況下哥德巴赫猜想已是無意義的了.這樣看來，只有在有限值范圍內(nèi)，哥德巴赫猜想才能成立.所以，必須在一個(gè)有限值范圍內(nèi)來探討哥德巴赫猜想，才是有意義的.過去對(duì)哥德巴赫猜想的一些論證工作，只從猜想的結(jié)論出發(fā)，沒有考慮猜想的前提條件和適用范圍.一個(gè)真理都有它的前提條件和適用范圍，這是不言而喻的.忽視其前提條件和適用范圍，只從哥德巴赫猜想的結(jié)論出發(fā)，泛泛論證結(jié)論，是難于得到滿意答案的.

把一個(gè)偶數(shù)分割為兩個(gè)素?cái)?shù)之和時(shí)，其解不是唯一的，而是多解的.譬如48，可分割為1+47;也可分割為5+43;或7+41;11+37;17+31等.這里有許多不確定因素，這對(duì)把一個(gè)偶數(shù)分割為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的工作，會(huì)增加許多困擾.

按過去傳統(tǒng)的論證方法，往往很難得出令人滿意的結(jié)果，最終只能認(rèn)為哥德巴赫猜想是無解的了.這是不符合事實(shí)的.只要解放思想，從多方面考慮思索，是可以找到出路的.我現(xiàn)在抱著拋磚引玉的態(tài)度，提出一個(gè)新的論證方法，同有興趣的廣大讀者共同探討.

二、新論證方法摡述

因?yàn)樵跓o窮域內(nèi)，也就是在極限狀態(tài)下，哥德巴赫猜想是沒有意義的，所以，應(yīng)該首先把無窮域排除在外，也就是必須在有限值范圍內(nèi)來論證.在有限值的范圍內(nèi)，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是有限的，這一素?cái)?shù)數(shù)列的各相應(yīng)值也都是確定的.把其中所有素?cái)?shù)都兩兩相加，會(huì)得到一系列偶數(shù).把所得到的所有偶數(shù)，按其大小排列在數(shù)軸上，驗(yàn)證這些偶數(shù)能否占滿相應(yīng)一段數(shù)軸上的全部偶數(shù)位置.

若這些偶數(shù)能占滿這段數(shù)軸上全部偶數(shù)位置，說明這段數(shù)軸上的每個(gè)偶數(shù)都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)素?cái)?shù)之和.也就是說，每個(gè)偶數(shù)都可化為兩個(gè)素?cái)?shù)之和了.因此也就證明了哥德巴赫猜想是正確的.

如果由兩個(gè)素?cái)?shù)相加所得的所有偶數(shù)，排列在數(shù)軸上，不能占滿這段數(shù)軸上的全部偶數(shù)位置.在這段數(shù)軸上還有空缺的偶數(shù)位置，那么對(duì)應(yīng)于此空缺位置的偶數(shù)，是不能化為兩個(gè)素?cái)?shù)之和了.這從反面證明了哥德巴赫猜想是不全面的，不成立的.

至于一個(gè)奇數(shù)可表達(dá)為三個(gè)素?cái)?shù)之和的問題，可按同樣方法解決，不再贅述.

三、結(jié) 論

我在這里提出了三個(gè)問題：（1）哥德巴赫猜想是在一定前提條件下提出的，只有在合乎這種條件的情況下，哥德巴赫猜想才能成立，才有意義.不是在任何情況下哥德巴赫猜想都適用的.我覺得這非常重要，否則，把哥德巴赫猜想推廣應(yīng)用到無窮域，是不可想象的，最終結(jié)果只能是否定了哥德巴赫猜想.以前的論證工作都忽視了這一點(diǎn)，最終只能認(rèn)為是無解.（2）在有界的數(shù)列內(nèi)，把所有素?cái)?shù)都兩兩相加，會(huì)得到一系列偶數(shù).這些偶數(shù)都一一對(duì)應(yīng)了兩個(gè)素?cái)?shù)之和.若把這些偶數(shù)都排列在所取數(shù)列的數(shù)軸上，它們?nèi)裟苷紳M相應(yīng)一段數(shù)軸上的所有偶數(shù)位置，那么在此數(shù)軸上的每個(gè)偶數(shù)都能夠毫無例外地化為兩個(gè)素?cái)?shù)之和了.（3）若所得的所有偶數(shù)排列在相應(yīng)一段數(shù)軸上，不能占滿這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)位置，那么對(duì)應(yīng)于空缺位置的偶數(shù)，是不能分割為兩個(gè)素?cái)?shù)之和了.

我提出的對(duì)哥德巴赫猜想的驗(yàn)證方法，若取的有限值越大，素?cái)?shù)數(shù)列所包含的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)也就越多.但在數(shù)軸上素?cái)?shù)是越來越稀的，雖然如此，確定素?cái)?shù)的工程量還是較大的，把這些素?cái)?shù)兩兩相加的工作量也會(huì)越大.但是，這只是簡(jiǎn)易的運(yùn)算，是可以操作的.特別在高速計(jì)算機(jī)的幫助下，無論取的有限值多大，都是完全能夠完成的.

最后，我認(rèn)為我提出的驗(yàn)證方法，避開了高深數(shù)學(xué)運(yùn)算，把一個(gè)困難無解的問題，化為一個(gè)通過簡(jiǎn)單運(yùn)算就可解決的問題.我對(duì)哥德巴赫猜想的驗(yàn)證，在理論上也應(yīng)該說是完全正確的.

哥德巴赫猜想已不再是一個(gè)不可捉摸，神秘莫測(cè)的無解問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王元.論哥德巴赫猜想[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1999.