一道常微分方程的多種解法

武海輝　張書勤

【摘要】常微分方程是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生必學(xué)的基礎(chǔ)課程，常數(shù)變易法、比較系數(shù)法、復(fù)數(shù)法和拉普拉斯法是求解n階非齊次線性微分方程的常用方法.本文用了四種方法研究了一道高階微分方程的求解問題，并給出了相應(yīng)的結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】常數(shù)變易法;比較系數(shù)法;復(fù)數(shù)法;拉普拉斯法

【基金項目】安康學(xué)院教改項目（YB201807）安康學(xué)院自然科學(xué)基金項目（2017AYQN09）.

本文我們采用四種方法解決此微分方程：

解法一 （常數(shù)變易法）

我們先求出對應(yīng)方程的特征方程λ2+1=0，求解出λ=±i，對應(yīng)的實的基本解組為x1=cost，x2=sint，

設(shè)原方程的解為

x（t）=c1（t）cost+c2（t）sint，

則有

c1′（t）cost+c2′（t）sint=0，-c1′（t）sint+c2′（t）cost=cos2t，

解得c1′（t）=-sint+2sin3t，

c2′（t）=2cos3t-cost，

即c1（t）=-cost+23cos3t+c1，c2（t）=sint-23sin3t+c2.

綜上可得，原方程的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中c1，c2為任意常數(shù)）.

解法二 （比較系數(shù)法）

解 特征方程λ2+1=0特征根為λ=±i，

對應(yīng)的實的基本解組為x1=cost，x2=sint，

對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為

x=c1cost+c2sint.

利用比較系數(shù)法求得一特解.

因為2i不是特征根，故方程的特解形如

x（t）=Asin2t+Bcos2t，

代入原方程解得A=0，B=-13，故原方程的特解為

x（t）=-13cos2t.

綜上可得，原方程參數(shù)形式的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中，c1，c2為任意常數(shù)）.

解法三 （復(fù)變法）

解 先構(gòu)造方程x″+x=cos2t+isin2t，

化為對應(yīng)的實方程為x″+x=e2it，

特征方程λ2+1=0特征根為λ=±i，

對應(yīng)的實的特征根為λ1=cost，λ2=sint，

對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為

x=c1cost+c2sint，

由于2i不是特征根，所以求解公式中的k取0.

設(shè)特解為x（t）=Ae2it，

代入原方程得A=-13，故x（t）=-13e2it.

則原方程有一實的特解為x（t）=-13cos2t.

綜上可得，原方程的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中，c1，c2為任意常數(shù)）.

解法四 （拉普拉斯變換法）

解 令x（0）=s′（0）=0，

對方程兩邊進行拉普拉斯變換得

（s2+1）X（s）=ss2+4，

化簡得X（s）=1s2+1·ss2+4，

查看拉普拉斯變換表可得所求初值問題的解為

x（t）=sint·cos2t，

又對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為

x=c1cost+c2sint，

故原方程的通解為

x=c1cost+c2sint+sint·cos2t

（其中c1，c2為任意常數(shù)）.

【參考文獻】

[1]葉彥謙.常微分方程講義[M].北京：人民教育出版社，1979.

[2]蔡燧林.常微分方程[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2001.

[3]李必文，趙臨龍，張明波.常微分方程[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2014.

[4]趙臨龍.常微分方程[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2014.