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    關(guān)于M-D及相關(guān)不等式

    2019-09-25 13:18:41姚秀鳳

    姚秀鳳

    【摘要】本文利用控制不等式理論給出了Mitrinovic'-Djokovic'不等式的一個(gè)控制證明和相關(guān)不等式,建立了若干新的不等式.

    【關(guān)鍵詞】M-D不等式;Schur凸性;受控

    本文中,Rn和Rn++分別表示n維實(shí)數(shù)集和n維正實(shí)數(shù)集,并記R1=R,R1++=R++.

    An(x)=∑ni=1xin為n元算術(shù)平均.

    1948年,G.H.Hardy證明了一個(gè)二元不等式[1]:

    對(duì)x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式

    x1+1x12+x2+1x22≥252(1)

    成立.

    1970年,塞爾維亞數(shù)學(xué)家D.S.Mitrinovic'等利用分析的方法將式(1)推廣為[2]:

    定理1 如果xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1,對(duì)任意α>0有

    ∑nk=1xk+1xkα≥(n2+1)αnα-1(2)

    成立.

    式(2)稱(chēng)為M-D不等式[6],文獻(xiàn)[6]對(duì)其研究進(jìn)展有著詳細(xì)的介紹與分析.

    本文另辟蹊徑,利用控制不等式理論給出式(2)一個(gè)控制證明,并且對(duì)xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1時(shí),給出關(guān)于∑nk=1xk+1xkα的相關(guān)式∑nk=11xk-xkα一個(gè)相關(guān)不等式,得到了一些有趣的結(jié)果.

    為了證明研究結(jié)果需要下面的定義與引理.

    定義1[3,5] 設(shè)x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈Rn.

    ⅰ.若∑ki=1x[i]≤∑ki=1y[i],k=1,2,…,n-1,且∑ni=1xi=∑ni=1yi,則稱(chēng)x被y所控制,記作x

    ⅱ.設(shè)ΩRn,φ:Ω→Rn,若在Ω上x(chóng)

    定義2[3,5] 設(shè)ΩRn.

    ⅰ.若x∈ΩPx∈Ω,n×n置換矩陣P,則稱(chēng)Ω為對(duì)稱(chēng)集.

    ⅱ.設(shè)Ω為對(duì)稱(chēng)集,φ:Ω→R.若對(duì)任何x∈Ω和任意n×n置換矩陣P,都有φ(Px)=φ(x),則稱(chēng)φ為Ω上的對(duì)稱(chēng)函數(shù).

    引理1[4] 設(shè)ΩRn是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)凸集,φ:Ω→R在Ω上連續(xù),在Ω的內(nèi)部Ω0可微,則φ在Ω上Schur凸(凹)φ在Ω上對(duì)稱(chēng)且x∈Ω0,有

    (x1-x2)φx1-φx2≥0(≤0).(3)

    引理2[4] 設(shè)x=(x1,x2,…xn)∈Rn,有下列控制不等式成立:

    (x1,…,xn)>(An(x),…,An(x)),(4)

    其中An(x)=∑ni=1xin.

    定理2 對(duì)f(x1,x2,…,xn)=∑nk=11xk-xkα,當(dāng)00時(shí),

    f(x1,x2,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xn Schur凸.

    證明 分兩種情況證明:

    ⅰ.當(dāng)0

    令f(x1,…,xn)=∑nk=11xk-xkα,顯然,f(x1,x2,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xn對(duì)稱(chēng).

    fx1=-α1x1-x1α-11x21+1,

    fx2=-α1x2-x2α-11x22+1,

    不妨設(shè)0

    fx1-fx2=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-1·1x21+1.

    令g(x)=1x-xα-11x2+1,于是

    g′(x)=-(α-1)1x-xα-21x2+12+1x-xα-1·-2x3

    =1x-xα-2(1-α)1x2+12+1x-x-2x3

    =1x-xα-2(1-α)+1x2-1-αx2+2(2-α)

    ≤1x-xα-2(1-α)+1x2-1-αx2+2≤0

    g(x)單調(diào)減.因此,有fx1-fx2≥0Δ1:=(x1-x2)fx1-fx2≥0.

    ⅱ.當(dāng)0

    令g1(x)=1x-xα-1,則

    g1′(x)=1x-xα-1′

    =(α-1)1x-xα-2(-x-2-1)≥0,

    所以當(dāng)0<α<1時(shí)g1(x)在(0,1]上是非負(fù)單調(diào)增函數(shù).

    而fx1-fx2

    =α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-11x21+1

    =αgα-11(x2)1x22+1-gα-11(x1)1x21+1≥0

    Δ1:=(x1-x2)fx1-fx2≥0.

    綜合ⅰ、ⅱ,由引理1知f(x1,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xn Schur凸.

    定理3 對(duì)α>0,xk>0(k=1,2,…,n),∑nk=1xk=1,有不等式

    ∑nk=11xk-xkα≥(n2-1)αnα-1(5)

    成立.

    證明 由引理2控制不等式:(x1,…,xn)>(An(x),…,An(x))及定理1、定義1有

    f(x1,…,xn)≥f(A1(x),…,An(x)),

    即∑nk=11xk-xkα≥n1An(x)-An(x)α.

    于是,當(dāng)∑nk=1xk=1時(shí),有

    ∑nk=11xk-xkα≥(n2-1)αnα-1

    成立.

    推論1 對(duì)x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式:

    1x1-x12+1x2-x22≥92(6)

    成立.

    證明 定理2中令α=2,n=2,即有1x1-x12+1x2-x22≥92.

    推論2 對(duì)x1>0,x2>0且x1+x2=1有不等式:

    1x1-x1+1x2-x2≥6(7)

    成立.

    證明 定理2中令α=12,n=2時(shí)就有

    1x1-x1+1x2-x2≥312=6.

    推論3 當(dāng)0<β<π2,有

    cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6(8)

    成立.

    證明 推論2中令x1=sinβ,x2=cosβ,于是

    1x1-x1+1x2-x2=1sin2β-sin2β+1cos2β-cos2β

    =cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6.

    最后我們給出定理1的控制證明,可以看出下面的證明比較D.S.Mitrinovic'的證明要簡(jiǎn)明.

    證明 令h(x1,x2,…,xn)=∑nk=11xk+xkα,顯然,h(x1,x2,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xn對(duì)稱(chēng).

    hx1=α1x1+x1α-1-1x21+1,

    hx2=α1x2+x2α-1-1x22+1,

    不妨設(shè)0

    hx1-hx2

    =α1x1+x1α-11-1x21-1x2+x2α-11-1x22

    =α1x2+x2α-11x22-1-1x1+x1α-11x21-1.(9)

    類(lèi)似定理2的證明,我們分兩種情況.

    ⅰ.當(dāng)0

    令g1(x)=1x+xα-1,則

    g1′(x)=1x+xα-1′

    =(α-1)1x+xα-2(-x-2+1)≤0,

    所以,g1(x)在(0,1]上是非負(fù)單調(diào)減函數(shù).

    ⅱ.當(dāng)0

    令g(x)=1x+xα-11-1x2,則

    g′(x)=(α-1)1x+xα-21-1x22+1x+xα-12x3

    =1x+xα-2(α-1)1-1x22+1x+x2x3

    ≥0.

    因此,g(x)在(0,1]上是單調(diào)增函數(shù).

    綜合ⅰ、ⅱ,結(jié)合式(9)有:當(dāng)00時(shí)Δ2:=(x1-x2)hx1-hx2≥0,又由引理1知h(x1,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xn Schur凸.

    再由控制不等式(x1,…,xn)>(An(x),…,An(x))及定理1、定義1有

    h(x1,…,xn)≥h(A1(x),…,An(x)),

    即∑nk=11xk+xkα≥n1An(x)+An(x)α.

    于是,當(dāng)∑nk=1xk=1時(shí),有

    ∑nk=11xk+xkα≥(n2+1)αnα-1

    成立.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]G H Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1948:34.

    [2]D S Mitrinovic'.Analytic Inequalities[M].New York:Springer,1970:282.

    [3]王伯英.控制不等式基礎(chǔ)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1990.

    [4]石煥南.受控理論與解析不等式[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

    [5]A M Marshall,I Olkin.Inequalities:theory of majorization and its application[M].New York:Academies Press,1979.

    [6]匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010.

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