例說初中生數(shù)學(xué)解題反思的教學(xué)指導(dǎo)

☉揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 易子晴

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)提到：數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題以后對問題解決過程的反思與回顧.但現(xiàn)在仍有很多中學(xué)教師并沒有意識到解題反思對學(xué)生的重要性，也很少針對解題過程進行引導(dǎo)反思，許多學(xué)生也只知道一味地機械地多做題而不懂得對解題過程進行回顧、反思、總結(jié)，致使他們的解題能力沒有明顯提升.本文主要針對這一現(xiàn)象提出了教師應(yīng)注重解題反思并適時引導(dǎo)學(xué)生對自己的解題過程進行多維度反思.

一、反思對題意的理解過程

學(xué)生在解題中遇到的困難之一是對題意的理解，以信息論的觀點，“題意理解”就是從問題中“如何獲取信息”和“如何加工信息”.

在解題教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對自己的題意理解中的“獲取信息”和“加工信息”的過程進行反思.具體表現(xiàn)為：引導(dǎo)學(xué)生去反思當(dāng)初在理解題意時，對每個已知條件的解讀是否正確，是否漏掉了關(guān)鍵信息，是否漏掉了與已知條件關(guān)聯(lián)的知識點（獲取信息過程）；每個已知條件是否得到了很好的解釋、組織、轉(zhuǎn)化（加工信息過程）.

1.對“獲取信息”過程進行反思

例1（新題型）有一架雷達探測儀探測目標(biāo)位置的結(jié)果如圖1所示，如果記圖1中目標(biāo)點A 的位置為（2，90°），則其余各目標(biāo)的位置分別是多少？

①學(xué)生錯解：可得點B（3.5，30°）、C（-2.5，240°）……

學(xué)生錯解思路：以點B為例，橫坐標(biāo)是過點B作x軸的垂線的垂足的橫坐標(biāo)，仿佛在3～4之間，應(yīng)該是3.5，所以橫坐標(biāo)為3.5.

②學(xué)生錯因：學(xué)生沒有很好地理解題中橫坐標(biāo)表示的意義，并且已學(xué)的“直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)”的意義使他們產(chǎn)生了思維定式.

③正解：由圖可知，點A的位置為（2，90°），表示點A在第二個同心圓上且在90°的方向上.點B在第四個同心圓上且在30°的方向上，故點B的坐標(biāo)為（4，30°），同理，點C（4，240°）、D（3，300°）、E（6，120°）.

④引導(dǎo)學(xué)生反思：這是一個新定義題目.教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己是否沒有很好地獲取已知信息，是否忽略了題目中橫、縱坐標(biāo)的意義，是否已學(xué)的“直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)”的意義使自己產(chǎn)生了思維定式……教師要適時啟發(fā)學(xué)生反思：做新定義題時，要拋開之前在書本上學(xué)到的基本公式、定理，根據(jù)具體題目中的具體定義來做題.

2.對“加工信息”過程進行反思

例2（揚州市中考題）如圖2，在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，點B的坐標(biāo)為（0，2），若直線l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分為面積相等的兩部分，則m的值為______.

①學(xué)生疑惑：無法判斷直線的大致方向或位置，無法將“直線l把△ABO分為面積相等的兩部分”這一條件進行轉(zhuǎn)化.

②加工已知信息.信息1“在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，點B的坐標(biāo)為（0，2）”可轉(zhuǎn)化為點A（1，1）”.

信息2“直線l：y=mx+m（m≠0）”，由于直線表達式的兩項中都有參數(shù)m，可提取公因數(shù)，則將直線方程轉(zhuǎn)化為y=m（x+1）（m≠0），進而發(fā)現(xiàn)直線過定點（-1，0），這樣就能初步確定直線l的大致方向及確定直線l與線段AB有交點D（如圖3所示）.

信息3“直線l把△ABO分為面積相等的兩部分”，由于直線l的表達式中有未知參數(shù)m，故我們要將“分為面積相等的兩部分”轉(zhuǎn)化為“含參數(shù)m的等式”形式才能求參數(shù)m.因此轉(zhuǎn)化為“2S△BDC=S△AOB”，接下來的工作就是用參數(shù)m表示S△BDC.

③引導(dǎo)學(xué)生反思：反思教師是如何將題中直線方程進行轉(zhuǎn)化得到大致位置的，反思如何考慮將“分為面積相等的兩部分”轉(zhuǎn)化為“含參等式”.

在解題教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對題意理解過程進行反思.當(dāng)學(xué)生積極主動地配合教師進行反思時，學(xué)生反思獲得的知識會內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，經(jīng)驗?zāi)軌虮辉俅握{(diào)用，從而提高解題效率.

二、反思解題所涉及的知識

在數(shù)學(xué)解題活動中，會涉及許多數(shù)學(xué)的公式、定理、定義.教師要適時引導(dǎo)學(xué)生在解題中自主調(diào)節(jié)知識間的分析與轉(zhuǎn)化過程，引導(dǎo)學(xué)生在解題后對題目涉及的知識及知識間的聯(lián)系進行反思、總結(jié)，進而幫助他們建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).

例3（南京市中考題）如圖4，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD，O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA=OB=OD.求證：∠BOD=∠C.

①加工已知信息.信息1“∠C=2 ∠BAD”且要證明∠BOD=∠C，由信息1得即證∠BOD=2∠BAD.

信息2“OA=OB=OD”怎樣利用？

方法1：聯(lián)想外接圓的相關(guān)知識（A、B、D三點共圓，同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍）.

方法2：聯(lián)想三角形外角的相關(guān)知識（延長AO至點E，∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO）.

②引導(dǎo)學(xué)生反思：反思與題目相關(guān)的知識，反思通過共點三邊相等（OA=OB=OD）就能聯(lián)想到“三點共圓”，反思“要證∠BOD=2∠BAD”，可以聯(lián)想到“三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和”，反思“一題多解”.

三、反思解題所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)學(xué)解題活動中，總會蘊含一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，因此反思數(shù)學(xué)思想方法成為反思活動的重點之一.教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思這些思想方法是如何在解題中運用的，它們是否能在其他類型的題目中運用.這樣不斷地引導(dǎo)反思，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法進一步理解、領(lǐng)悟、運用.

例4（蘇州市中考題）如圖5，已知AB=8，P為線段AB上一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD 和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°，M、N分別是對角線AC、BE的中點.當(dāng)點P在線段AB上移動時，點M、N間的距離最短為______.

①學(xué)生錯解：如圖6，作點M（或點N）關(guān)于線段AB的對稱點Q，然后連接QN（或QM）與AB交于點H，認(rèn)為點P在點H時，點M、N間的距離最短.

②學(xué)生錯因：求最短距離時，學(xué)生慣用“作對稱點”的方法來解題.此時，學(xué)生的思維定式影響了解題過程.

③正解：最小值還能利用函數(shù)的思想方法來求解.

根據(jù)信息1“AB=8，P為線段AB上一個動點”可設(shè)AP=x，則PB=8-x，如圖7，連接PM、PN，接著可用x來表示線段PM、PN的長度.

信息2“點M、N分別為兩菱形對角線的中點”，則∠MPN=90°，再利用勾股定理進一步表示MN的長度，最后通過函數(shù)求最值.

④引導(dǎo)學(xué)生反思：反思“作對稱點”的方法適用于哪種題型，此題（點P、M、N都是動點）為什么不能用此方法，反思利用函數(shù)思想求最值問題.

四、反思解題的思考過程

教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題活動過程中或結(jié)束后，努力回憶解題的全部思考過程，回憶自己是怎么理解題意的，怎么運用知識的，怎么進行知識點的轉(zhuǎn)換與變形的；回憶自己的思路與老師或者同學(xué)的思路之間存在哪些差異，走過哪些彎路，為什么會走彎路，有什么經(jīng)驗可以吸取.引導(dǎo)學(xué)生進行這種全方位的反思，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，有利于使學(xué)生獲得解題經(jīng)驗并提高解題能力.

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題活動，解題活動亦離不開解題反思.解題反思能幫助學(xué)生更好地理解問題、總結(jié)問題、得到經(jīng)驗，進而提高解題質(zhì)量.當(dāng)然，除了上述解題反思角度，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生反思錯題、反思一題多解等.因此現(xiàn)代教師必須了解解題反思的重大意義，在課堂上積極幫助、引導(dǎo)學(xué)生對解題活動進行多方位反思.久而久之，學(xué)生會樂于通過解題反思來幫助自己形成批判、創(chuàng)造性的思維，從而實現(xiàn)波利亞曾指出的“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？這就是善于解題.不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題”的境界.