加權(quán)Laplace 在積分Ricci 曲率條件下的特征值估計

侯標(biāo)

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢430072)

1 引言

特征值問題是幾何分析的一個重要研究課題,且在偏微分方程以及物理學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用. 其中關(guān)于黎曼流形上Laplace 算子第一特征值的估計問題,就已經(jīng)得到許多重要的結(jié)果.Lichnerowicz[1]首先得到了緊致無邊流形在滿足Ric≥(n ?1)K(K > 0)的Laplace 算子的第一特征值估計.進(jìn)一步地, Li-Yau[2]利用梯度估計的方法考慮了, 完備流形M 本身Ric> 0的情況, 得到了Laplace 算子的第一非零特征值估計. 然而, 這個估計并不是最優(yōu)的. 1984 Zhong-Yang[3]給出了這種情形下的最優(yōu)估計. 同樣地, 在考慮帶邊的黎曼流形時, 1980 年,Li-Yau[2]證明了緊致帶邊流形M Ric≥0 ?M 是凸的情況下,Neumann 邊值條件下Laplace 算子的第一非零特征值估計.其他邊值條件下相應(yīng)的特征值估計問題也得到了(參考文獻(xiàn)[4]).

當(dāng)Laplace 算子推廣到加權(quán)Laplace 算子時,加權(quán)Laplace 算子第一非零特征值也逐步被得到. 加權(quán)Laplace,定義為

其中Φ 是流形Mk的函數(shù). 它是L2(M,dμ)上的一個自伴隨算子. 稱λ 是加權(quán)Laplace 算子?Φ的特征值是指如果存在一個非零的函數(shù)u ∈C∞(M)滿足

一般的,在這種情形下需要引入新的曲率條件,m-Bakry-′Emery Ricci 曲率

對于緊致無邊的黎曼流形或者緊致帶有凸邊界的黎曼流形上加權(quán)Laplace 的第一非零特征值問題,Bakry-Qian[7]得到了一個在流形m-Bakry-′Emery Ricci 曲率有下界情形下第一特征值的統(tǒng)一的下界. 受到最近關(guān)于Ricci 孤立子和自收縮子研究的啟發(fā),通過假定光滑度量測度空間m-Bakry-′Emery Ricci 曲率,得到了許多關(guān)于加權(quán)Laplace 算子的梯度估計和特征值估計的結(jié)果.更多結(jié)果可以參考文獻(xiàn)[8–10]以及它們的引用.

最近,在假定流形積分Ricci 曲率有界的條件,Wei[11]證明了一類緊致無邊流形上Laplace算子的第一非零特征值的下界估計.

受到上述工作的啟發(fā),我們考慮了在光滑度量測度空間(M,g,dμ)上,當(dāng)積分Ricci 曲率有界時,加權(quán)Laplace 算子的第一非零特征值的估計問題.通過運(yùn)用Bochner 公式和加權(quán)Reilly公式[12],我們首先得到了完備無邊流形加權(quán)Laplace 算子的第一非零特征值的下界估計.

定理1(Lichonerowicz-Obata 型估計)令(M,g,dμ)為一個光滑度量測度空間,其中(M,g)為n 維完備無邊的黎曼流形, dμ = e?Φdv, Φ 是流形M 上的光滑函數(shù). 對任意的q >以及K >0,都存在使得如果則加權(quán)Laplace 的第一非零特征值λ1滿足

其中CΦ=max這里要求

推論1特別地,當(dāng)RicM≥(n ?1)K,Φ=0,有

這剛好是對應(yīng)的流形上的Lichonerowicz-Obata 型估計.

推論2當(dāng)流形M 上的函數(shù)Φ 為常函數(shù)時, 此時對應(yīng)的結(jié)果剛好是文獻(xiàn)[11] 在研究p-Laplace 算子時p=2 的情形.

我們還得到了度量測度空間在流形本身帶有邊界的情形. 為了定理的敘述,還需要一些概念. 令v 表示?M 的單位外法向量場,?M 的第二基本形式定義為II(X,Y)=對任意的?M 的向量場X 和Y,定義

為在x ∈M 上的平均曲率和加權(quán)平均曲率. 稱?M 是凸的如果第二基本形式II ≥0. 如果假設(shè)Dirichlet 邊界條件u = 0 或者Neumann 邊界條件= 0. 相應(yīng)地,分別用λD和λN表示加權(quán)Laplace 第一非零Dirichlet 特征值和第一非零Neumann 特征值.

定理2令(M,g,dμ)為一個光滑度量測度空間,其中(M,g)為n 維緊致帶邊的黎曼流形,dμ=e?Φdv,Φ 是流形M 上的光滑函數(shù). 對任意的q>以及K >0,都存在使得如果<以及

(1) 如果?M 上的加權(quán)平均曲率H ?Φv是非負(fù)的,則第一非零Dirichlet 特征值λD滿足

(2) 如果?M 是凸的,也就就是說,第二基本形式(定義為h(X,Y) = g(?Xv,Y))是非負(fù)的,則第一非零Neumann 特征值λN滿足

同時,由于帶邊流形上也有Rielly 公式,自然可以考慮到超曲面情形. 通過定義, M 上的一個極小的Φ-超曲面P 是指一個超曲面P 滿足H ?Φv= 0,其中v 是定義在P 上第二基本形式的單位外法向量. 用?P表示P 內(nèi)度量的Laplace 算子,表示P 內(nèi)度量的加權(quán)Laplace算子,那么得到

定理3(Choi-Wang 型估計)令(M,g,dμ)為一個光滑度量測度空間,其中(M,g)為n 維閉的可定向的黎曼流形, dμ = e?Φdv, Φ 是流形M 上的光滑函數(shù). 令P ?M 為一個嵌入的極小Φ - 超曲面把M 分成2 個子流形M1和M2(i.e., H = Φv, 這個等式不依賴于單位法向v). 對任意以及K > 0, 都存在和使得M1M2滿足如果則對于加權(quán)Laplace,在P 上的第一非零特征值λ1滿足

推論3當(dāng)取Φ 為常函數(shù)以及時= 0,= 0 時, 這個就是對經(jīng)典的Choi-Wang 的結(jié)果.

推論4這個也是對Li-Sheng 等人工作的推廣,詳細(xì)可參考文獻(xiàn)[12].

2 預(yù)備知識

我們準(zhǔn)備介紹一下積分曲率條件.對每一個x ∈Mn,讓ρ(x)表示Ric 張量的最小的特征值Ric:TxM →TxM. 令

3 定理證明

首先給出一個引理.

引理1給定任意的以及K >0,都存在一個=(n,q,K)使得Mn是一個完備黎曼流形滿足,則存在一個依賴于n,q,K 常數(shù)Cs(n,q,K)使得

對所有的函數(shù)u ∈W1,2.

為了引理證明,需要給出2 個命題.

命題1(Aubty 直徑估計[13])令(Mn,g)為n 維的完備黎曼流形以及. 如果存在一個C(p,n)使得其中C(p,n)表示僅依賴于p 和n 的常數(shù),則流形M 是緊致的且有

注1這個命題不僅告訴只要積分Ricci 曲率有界,就一定能保證流形M 本身是緊致的.更為重要的是,它給出了在積分Ricci 條件下流形本身的直徑與曲率的關(guān)系,建立了流形上拓?fù)湫再|(zhì)與幾何條件的聯(lián)系.

命題2(Gallot 等周常數(shù)估計[14]) 給定和K > 0, 存在一個使得如果Mn是一個帶有積分曲率的完備黎曼流形, 則存在一個依賴于n,q,K 的常數(shù)Cs(n,q,K)使得

對任意的函數(shù)u ∈W1,2.

證由式(2.1),得到

對函數(shù)|?u|應(yīng)用命題2 得到

把上述所有加到式(3.3),就得到了這個結(jié)果.

進(jìn)一步,可以得到以下引理.

引理2給定任意的以及K >0,都存在一個使得Mn是一個完備黎曼流形滿足那么

對所有的函數(shù)u ∈W1,2.

證由Kato 不等式,有. 引用引理1,得到

現(xiàn)在可以完成對定理1 的證明.

證由Bochner 公式由命題1,流形M 是閉的. 在流形M 上積分,得到了

其中CΦ表示|?Φ|在流形M 上的最大值,

也就是

把所有式子帶入到式(3.5),可以得到

故

因此

從而完成了這個證明.

接著給出定理2 的證明,這里先給出加權(quán)Laplace 算子的Reilly 公式.

命題3(見文獻(xiàn)[12])

其中符號?表示?M 取內(nèi)度量時的算子.

定理2 的證明注意到不管對Dirichlet 邊界條件還是Neumann 邊界條件,都有

在最后一步計算中,應(yīng)用了對?M 的假設(shè). 因此有

可以對等式兩邊同時取平均,

然后應(yīng)用引理2,得到

由假設(shè),得到

這也就是

把上述式子加到式(3.7),得到了

證畢.

定理3 的證明不妨假定+λu=0. 不失一般性,可以假設(shè)定義f 為M1上的函數(shù)滿足在M 上,?Φf =0.帶有邊值條件在?M1上f =u. 由命題3 有

注意到

以及

通過計算

因此有

也即

應(yīng)用引理2,得到

利用定理中的假設(shè),

從而完成了證明.