二叉樹指標(biāo)隨機(jī)場關(guān)于分枝馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理

閔 帆,楊衛(wèi)國

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)

1 引言

本文主要研究二叉樹TC,2(二叉樹TC,2的根點(diǎn)o 與2 個支點(diǎn)相連, 其他的支點(diǎn)與3 個支點(diǎn)相連(見圖1)). 為了方便, 將TC,2簡記為T2. 對于T2上的任一頂點(diǎn)t, 記|t| 表示根點(diǎn)o 和頂點(diǎn)t 之間的距離. 若|t|=n, 則稱t 位于樹的第n 層. Ln表示T2的第n 層上所有頂點(diǎn)的集合, T(n)表示二叉樹T2從0 層(根) 到n 層的所有頂點(diǎn)的子圖. |T(n)| 記為子圖T(n)所含頂點(diǎn)數(shù). 對于二叉樹上任一頂點(diǎn)t, 記t1和t2為t 的兩個子代.

設(shè)(?,F) 為一可測空間, {Xt,t ∈T2} 是定義在(?,F) 上且取值于G={0,1,··· ,b ?1}(b 是正整數(shù)) 的隨機(jī)變量集合, 設(shè)B 為T2的子圖, 記XB= {Xt,t ∈B}, xB表示XB的實(shí)現(xiàn). 設(shè)P 是可測空間(?,F) 上的概率測度, 我們稱P 為樹T2上的隨機(jī)場. 令{Xt,t ∈T2}在P 下的分布為P(XT(n)=xT(n))=P(xT(n)).

定義1.1[二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈][1]設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 是定義在概率空間(?,F,Q) 上在G = {0,1,··· ,b ?1} (b 是正整數(shù)) 中取值的隨機(jī)變量集合, 設(shè)p ={p(x),x ∈G} 是G 上一概率分布, P = (P(y1,y2|x)) 是定義在G×G2上的一隨機(jī)矩陣(滿足P(y1,y2|x)≥0,?x,y1,y2∈G 及如果對n ≥1, 有

圖1:二叉樹TC,2

及

則稱{Xt,t ∈T2} 為具有初始分布p 與隨機(jī)矩陣P 并在G 中取值的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈.

注1.2[1]若{Xt,t ∈T2} 在概率測度Q 下為二叉樹指標(biāo)齊次分枝馬氏鏈, 則

為避免技術(shù)問題, 總假定p(x) 和P(y1,y2|x) 是正的.

定義1.3[2]設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 是定義在可測空間(?,F) 上取值于G 的隨機(jī)變量族, ?x,y1,y2∈G, 設(shè)p(x)>0 且P =(P(y1,y2|x)) 為正的隨機(jī)矩陣, 設(shè)Q,P 為(?,F)上的兩個概率測度, 其中{Xt,t ∈T2} 在概率測度Q 下為具有初始分布p 與隨機(jī)矩陣P 的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈. 設(shè)P(xT(n))>0, 令

則稱h(P|Q) 為P 關(guān)于Q 的樣本相對熵率或漸近對數(shù)似然比.

類似于參考文獻(xiàn)[2] 中引理1 的證明可知

故h(P|Q) 可作為T2上的任意隨機(jī)場與分枝馬氏鏈之間偏差的一種度量.

樹指標(biāo)隨機(jī)過程是近年來發(fā)展起來的概率論的一個新的研究方向. 文獻(xiàn)[1] 研究了二叉樹上分枝馬氏鏈的等價性質(zhì); 文獻(xiàn)[3] 研究了二叉樹有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和Shannon-McMillan 定理; 文獻(xiàn)[4] 研究了二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理; 文獻(xiàn)[5] 研究了二叉樹非齊次分枝馬氏鏈的等價定義、強(qiáng)大數(shù)定理和熵遍歷定理; 文獻(xiàn)[6] 研究了關(guān)于齊次樹上隨機(jī)場的一類強(qiáng)偏差定理; 文獻(xiàn)[2] 研究了關(guān)于Cayley 樹上任意隨機(jī)場和馬氏鏈場的強(qiáng)偏差定理; 文獻(xiàn)[7] 研究了齊次樹指標(biāo)齊次馬氏鏈隨機(jī)場的一類強(qiáng)偏差定理; 文獻(xiàn)[8] 研究了Bethe 樹指標(biāo)隨機(jī)場關(guān)于非齊次馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理.

本文通過引入漸近對數(shù)似然比作為二叉樹指標(biāo)任意隨機(jī)場與分枝馬氏鏈之間偏差的一種度量, 進(jìn)而構(gòu)造鞅的方法, 得出了二叉樹指標(biāo)隨機(jī)場關(guān)于分枝馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理, 作為推論得到了二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性.

2 強(qiáng)偏差定理

強(qiáng)偏差定理是由不等式表示的一類強(qiáng)極限定理, 是由等式表示的一類強(qiáng)極限定理的推廣.本節(jié)將建立二叉樹指標(biāo)任意隨機(jī)場關(guān)于分枝馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理.

引理2.1設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 是定義在可測空間(?,F) 上的隨機(jī)變量族. P與Q 是(?,F) 上的兩個概率測度, 其中{Xt,t ∈T2} 在Q 下是具有嚴(yán)格正的隨機(jī)矩陣P =(P(y1,y2|x)) 的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈. P(XT(n))>0, 設(shè){gt(x,y1,y2),t ∈T2} 是定義在G3上的函數(shù)族, L0={0}, Fn=σ(XT(n)), n ≥1, 令

其中λ 為實(shí)數(shù), EQ表示在Q 下的數(shù)學(xué)期望, 則{tn(λ,ω),Fn,n ≥1} 為在概率測度P 下的非負(fù)鞅.

證由式(1.1), (2.1) 可知

令

則

由式(2.2), (2.4) 可知

又易知EP[t1(λ,ω)]=1, 因此

故{tn(λ,ω),Fn,n ≥1} 為在概率測度P 下的非負(fù)鞅.

引理2.2設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 為二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈, 設(shè){gt(x,y1,y2),t ∈T2} 是定義在G3上的函數(shù)族, {an,n ≥1} 為正隨機(jī)變量序列. 設(shè)α>0,

則

定理2.3設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 為定義在可測空間(?,F) 上且取值于G ={0,1,··· ,b ?1}(b 是正整數(shù)) 的隨機(jī)變量族, P 與Q 是定義在F 上的兩個概率測度, 并且{Xt,t ∈T2} 是在概率測度Q 下的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈, 也即式(1.2) 成立. 令h(P|Q) 如(1.3) 式定義, 且{gt(x,y1,y2),t ∈T2} 是定義在G3上的函數(shù)族. 設(shè)c ≥0 是一個常數(shù), 令

假設(shè)存在α>0, ?i ∈G, 有

令

特別地, 有

證令tn(λ,ω) 如(2.1) 式定義. 由引理2.1 知, {tn(λ,ω),Fn,n ≥1} 是非負(fù)P - 鞅. 則由Doob 鞅收斂定理可知

因此有

由式(2.1), (2.9) 可知

由式(1.3) 及(2.10) 可知

由式(2.11) 可知

令|λ|≤β. 由不等式ln x ≤x ?1 (x>0) 和并注意到

則對于所有的ω ∈?, 有

其中為了方便, 將用gt代替gt(Xt,Xt1,Xt2), 由式(2.6), (2.12) 和(2.13) 知

由式(2.5) 與(2.14) 可知

當(dāng)0<λ ≤β <α 時, 將式(2.15) 左右兩邊同時除以λ 可知

容易看出, 當(dāng)0 < c < β2Hαβ時, 函數(shù)時獲得最小值可知

當(dāng)c=0, 由式(2.16) 可知

令式(2.18) 中λ →0+, 可知

因此當(dāng)c=0 時, 公式(2.17) 成立. 當(dāng)?α

由式(2.17), (2.20) 可知式(2.7), 繼而可知式(2.8). 故此定理2.3 得證.

3 強(qiáng)大數(shù)定理及漸近均分性(AEP)

本節(jié)研究二叉樹指標(biāo)隨機(jī)場關(guān)于分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理與漸近均分性(AEP), 作為推論得到了二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性.

設(shè)T2為二叉樹, {Xt,t ∈T2} 是定義在可測空間(?,F) 上在G 中取值的隨機(jī)變量族, 可得結(jié)論如下.

定義3.1[3]設(shè)P 是(?,F) 上的一個概率測度, xT(n)為XT(n)的實(shí)現(xiàn). 記{Xt,t ∈T2}在概率測度P 下的分布為P(XT(n)=xT(n))=P(xT(n))>0. 設(shè)

則稱fn(ω) 為XT(n)在概率測度P 下的熵密度. 如果{Xt,t ∈T2} 在概率測度Q 下是具有初始分布p(x) 和隨機(jī)矩陣P 的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈, 則

熵密度fn(ω) 收斂(L1收斂, 依概率收斂, a.e. 收斂) 到一個常數(shù)的性質(zhì)在信息論中被稱為漸近均分性(AEP) 或者是Shannon-McMillan 定理.

定義3.2[3]設(shè)Sk(T(n))(k ∈G) 是隨機(jī)變量集{Xt,t ∈T(n)} 中k 出現(xiàn)的次數(shù),Sn(k,l1,l2) = Sk,l1,l2(T(n)) 是隨機(jī)序偶集{(Xt,Xt1,Xt2),t ∈T(n?1)} 中序偶(k,l1,l2)(k,l1,l2∈G) 出現(xiàn)的次數(shù), 即

顯然

定理3.3設(shè)P 與Q 是定義在F 上的兩個概率測度, 并且{Xt,t ∈T2} 是由定義1.1 定義的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈如定義3.2 所定義, 令

設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣P1=(P1(y1|x)),P2=(P2(y2|x)), 令轉(zhuǎn)移矩陣則

其中(π(0),··· ,π(b ?1)) 為由矩陣R 決定的平穩(wěn)分布.

證首先轉(zhuǎn)移矩陣是遍歷的, 這是因?yàn)镻(y1,y2|x)>0, 可知P1(y1|x)>, 所以. 即R 是遍歷的.

令gt(x,y1,y2)=Ik(y1), 則

故由式(2.8) 可知

同理令gt(x,y1,y2)=Ik(y2). 類似可知

用R(m|k) 乘以式(3.7), 將對k ∈{0,1··· ,b ?1} 求和, 并再次利用式(3.7) 可知

由歸納法可知

注意到

定理3.4在定理3.3 的條件下, 令如定義3.2 所述, 則

其中(π(0),··· ,π(b ?1)) 為由矩陣R 決定的平穩(wěn)分布.

證令則

由式(2.8) 可知

因此式(3.10) 得證.

定理3.5在定理3.3 的條件下, fn(ω) 是如(3.1) 所定義的熵密度, 則

其中(π(0),··· ,π(b ?1)) 為由矩陣R 決定的平穩(wěn)分布.

證因?yàn)?/p>

由式(3.2) 與式(3.10)、(3.13) 可知

由式(1.3), (3.1), (3.2) 可知

故綜合式(3.14), (3.15) 可知式(3.12) 得證.

定理3.6設(shè){Xt,t ∈T2} 在概率測度Q 下是具有嚴(yán)格正的隨機(jī)矩陣P =(P(y1,y2|x))的二叉樹指標(biāo)分枝馬氏鏈, {Xt,t ∈T2},Sn(k),Sn(k,l1,l2), fn(ω) 如定義3.2 所述, 令

設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣P1=(P1(y1|x))P2=(P2(y2|x)), 假設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣則

其中(π(0),··· ,π(b ?1)) 為由矩陣R 決定的平穩(wěn)分布.

證令定理3.3 中P ≡Q, 則gn(ω)=fn(ω), 進(jìn)而知D(0)=?. 因此由式(3.4), (3.10),(3.12) 可知式(3.16), (3.17), (3.18) 得證.