一維諧振子束縛的自旋軌道耦合玻色氣體*

李志強 王月明

1) (山西大學(xué)理論物理研究所, 太原 030006)

2) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院, 太原 030006)

3) (量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

1 引 言

自旋軌道耦合(spin-orbit coupling, SOC)是粒子自旋內(nèi)稟自由度與其外部運動自由度之間的相互作用, 在凝聚態(tài)物理許多重要的現(xiàn)象中扮演著重要的角色[1-3].近幾年來, 冷原子物理學(xué)的一個重要進展是實現(xiàn)了光誘導(dǎo)合成規(guī)范場的中性原子的SOC[4-7], 目前在實驗上可以在玻色子和費米子超冷原子氣體中實現(xiàn)各種SOC的哈密頓量[8-12].雖然大多理論工作都集中在Rashba耦合的SOC的均勻系統(tǒng)上, 但是諧振子束縛勢下具有SOC的冷原子系統(tǒng)也受到關(guān)注和研究[13-17].

量子Rabi模型[18,19]是量子光學(xué)中重要的基礎(chǔ)模型之一, 模型形式簡單, 但精確求解并不容易.直到2011年, Braak[20]提出Rabi模型具有Z2對稱性保證了其可積性, 因而可以通過求解超越方程得到系統(tǒng)的精確能譜.該工作重新激起了人們對量子Rabi模型研究的興趣[21-24].Rabi模型被廣泛應(yīng)用于不同的物理領(lǐng)域, 包括量子光學(xué)[25]、量子信息[26]、凝聚態(tài)物理[27]和腔量子電動力學(xué)[28-31], 也為研究受限空間中的冷原子系統(tǒng)提供了模型和方法.

在量子光學(xué)中考慮原子的動能大大超過了相互作用能, 通常采用絕熱近似不考慮原子質(zhì)心動能.然而, 利用激光冷卻原子運動降低原子動能可以制備出1 K量級的冷原子氣體, 這個能量與腔量子電動力學(xué)實驗的相互作用能相當(dāng), 從哈密頓量中排除動能項不再合理.本文研究一維(1D)諧波勢阱中具有SOC的Bose氣體(考慮稀薄原子氣體, 忽略相互作用), 采用量子光學(xué)中的方法求解系統(tǒng)的本征能態(tài)及可觀測物理量的動力學(xué)演化, 與目前相關(guān)的實驗結(jié)果定性一致[11,12].

2 諧振子勢束縛自旋軌道耦合的Bose氣體

三維空間諧振子束縛勢中具有SOC的單原子Bose氣體的哈密頓量形式為

其中κr是雙光子反沖動量,?是拉曼耦合強度,δ是雙光子失諧,為泡利矩陣算符.三維哈密頓量可以通過維度塌縮方法變?yōu)橐痪S系統(tǒng), 這樣一維系統(tǒng)的哈密頓量為

將ωx簡記為ω.(3)式的模型看似簡單, 除了特殊情況ω=0 或?=0 之外, 該模型不容易解析求解.

3 映射為量子Rabi模型

為了將諧波勢阱中的SOC模型變換到量子Rabi模型, 將原子質(zhì)心運動量子化用a?(a) 產(chǎn)生(湮滅)算符來表示, 方程(3)改寫為

做一旋轉(zhuǎn)變換a?→a?eiθ,a→ae-iθ(θ=π/2), 方程(5)變?yōu)闃藴实腞abi模型

量子光學(xué)中Rabi模型描述了量子化光場與二能級原子內(nèi)態(tài)的耦合, 此處則描述了原子贗自旋(此后簡稱為量子比特)與質(zhì)心動量的耦合.這樣就可以利用量子光學(xué)中的方法來求解該系統(tǒng).當(dāng)δ=0時, 系統(tǒng)進一步簡化為

其中?是原子內(nèi)部能級的能量差,ω為諧振子束縛勢頻率,λ為自旋-軌道耦合強度.

4 變分法求解基態(tài)

其中HL和HR分別是依賴于量子比特的振子左右平移哈密頓量[32],

|±z〉為的本征態(tài).如果忽略?項, 則能量本征態(tài)就是與量子比特相關(guān)的振子的平移Fock態(tài)(|+z〉對應(yīng)左平移態(tài), |-z〉對應(yīng)右平移態(tài)).通常人們將?項視為微擾(絕熱近似), 但本文主要研究?/ω＞1的情況.下面我們采用試探波函數(shù) |ψ0〉 方法, 將振子平移量和量子比特內(nèi)態(tài)的相干疊加參數(shù)分別作為變分參數(shù):

其中 |α〉為相干態(tài), |±x〉為的本征態(tài).在坐標和動量表象中表示為

其中m是原子的質(zhì)量.假定α為實數(shù), 則能量期待值表示為

故此, 可以通過對含參數(shù)α和θ的能量泛函最小化以求得基態(tài)能量.根據(jù)二元函數(shù)極值判據(jù)可知當(dāng)4λ2/(?ω)＜1時, 系統(tǒng)能量只有一個局域最小值,在α=0 和θ=0 時取得; 但如果條件

成立, 則能量有兩個局域極小值, 分別由α=±α0和θ=±θ0給出, 且有

此后我們假設(shè)條件(13)始終成立, 另外我們假定選擇θ0使得 s inθ0≥ 0 , 這(使得α0≤ 0 , 分別對應(yīng)兩)個簡并態(tài)(左平移)和(右平移), 相應(yīng)的能量為

此處ε=?ω/(4λ2).這兩個簡并態(tài)均不是宇稱算符的本征態(tài)[33], 通過相干疊加可以得到具有確定宇稱的量子態(tài)

這里左右平移態(tài)分別為:

歸一化系數(shù)為

圖1 簡并量子態(tài)能量 EN,L/R與左右平移奇宇稱疊加態(tài) 能量 E -,N 隨SO耦合強度 λ 的變化 可見 N=0 疊加態(tài)能量最低, 更接近基態(tài); 而對于激發(fā)態(tài) N /=0 , 二者能量隨參數(shù)變化出現(xiàn)交叉; 相關(guān)參數(shù)取值為 ?=1.4ω , 與文獻[19]精確解的結(jié)果基本一致Fig.1.The energies of degenerate quantum statesand the superposition state of odd parityof left(right)-displaced number states varies as the spin-orbit coupling strength λ.It is seen that for N=0 , the superposition state has the lowest energy which is the best approximation for the ground state in our interest.And for the cases of N /=0 , the energies of the two quantum states have pitchforks.The relevant parameters is Ω=1.4 and the results are in agreement with those in Ref.[19].

這個近似結(jié)果解有助于我們直觀地理解系統(tǒng)的動力學(xué).

5 系統(tǒng)動力學(xué)演化

考慮系統(tǒng)的動力學(xué)演化, 對于稀薄原子氣體可以忽略原子間相互作用.我們?nèi)〕鯌B(tài) |ψ0,L〉 , 在初始時刻時開啟拉曼誘導(dǎo)的SOC, 則系統(tǒng)的初始波函數(shù)為

其時間演化近似為

其中 Δω是頻率差,

在(25)式中忽略了 e-2α20的高階冪次.可以看出在初始時刻t=0 時, 初態(tài)動量分布主要位于左側(cè)(振子相干態(tài) |α0〉); 而在時刻t=π/Δω時, 動量分布主要位于右側(cè)(振子相干態(tài) |-α0〉); 在時刻t=π/(2Δω) ,原子動量概率分布呈雙峰分布, 對應(yīng)于兩個相干態(tài)的疊加, 這是標準的隧穿運動, 與經(jīng)典雙勢阱完全類似.

圖2和圖3分別給出了粒子在動量空間和坐標空間概率分布的動態(tài)特性, 由(23)式的近似值計算得出, 在這里我們?nèi)?=3ω和λ=2ω.可以清楚地看到原子質(zhì)心動量和空間位置分布的特征隧穿行為, 即所謂 Zitterbewegung振蕩.

另外兩組分原子布居差σz的期望值〈σz〉=sinθ0cos(Δωt)描述了原子的極化率的動力學(xué).圖4顯示了原子極化 〈σz〉 隨時間的演化, 可以看到 〈σz〉 在1和-1之間周期振蕩.

圖2 原子動量分布概率的粗粒動力學(xué)演化 (3D, 左側(cè); 2D, 右側(cè)) 相關(guān)參數(shù)取值為 ?=3ω , λ=2ω , 初態(tài)為 Ψ (t=0)=ψ0,L ,動量Fig.2.The coarse dynamics evulution of momentum distribution of single particle (left for 3D; right for 2D) with ?=3ω and λ=2ω.The initial state is set as Ψ (t=0)=ψ0,L.Momentum is defined by.

圖3 原子空間位置分布概率的粗粒動力學(xué)演化(3D, 左側(cè); 2D, 右側(cè)) 相關(guān)參數(shù)取值及初態(tài)同圖2, 位置Fig.3.The coarse dynamics evolution of position distribution of single particle (left for 3D; right for 2D) with the same parameters and the initial state in Fig.2 and .

圖4 原子極化 〈 σz〉 隨時間演化初態(tài)為 Ψ (t=0)=ψ0,L ,參數(shù)取值為 ?=3ω 和 λ=2ω , 時間以因子 2 π/Δω 標度Fig.4.Time evolution of 〈 σz〉 with the initial state being Ψ(t=0)=ψ0,L and the parameters ?=3ω and λ=2ω.The time is scaled by the tunneling period 2π/Δω.

6 結(jié) 論

綜上, 我們求解了諧波勢阱中拉曼誘導(dǎo)自旋軌道耦合的Bose氣體, 通過將系統(tǒng)完全映射到量子Rabi模型, 將輻射場變?yōu)槁曌訄? 運用量子光學(xué)中平移Fock態(tài)的方法得到了強耦合區(qū)域諧波勢阱中自旋軌道耦合的Bose氣體模型的基態(tài)解及系統(tǒng)的動力學(xué)演化, 直觀地給出了原子質(zhì)心空間坐標和動量及原子極化隨時間的振蕩圖像, 與相關(guān)的實驗結(jié)果定性相符.

傳統(tǒng)量子光學(xué)中二能級系統(tǒng)與振子系統(tǒng)的耦合強度受到很大限制, 但在本系統(tǒng)中原子自旋軌道耦合強度可以通過Raman耦合來調(diào)節(jié), 冷原子的質(zhì)心動能很小, 不能像量子光學(xué)中慣常采用絕熱近似忽略掉原子的質(zhì)心動能, 這使得本模型科學(xué)合理.冷原子系統(tǒng)具有良好的可調(diào)控性, 通過改變束縛勢阱的頻率以及Raman激光的波長和強度, 可以實現(xiàn)量子光學(xué)中Rabi模型目前無法達到的參數(shù)區(qū)域-深度強耦合區(qū)域.本文的研究也為自旋軌道耦合的冷原子系統(tǒng)提供了一個新的方法和視角.