基于階躍響應(yīng)曲線特征的線性系統(tǒng)辨識方法研究

(航空工業(yè)飛機強度研究所，陜西 西安 710065)

在現(xiàn)代控制理論系統(tǒng)辨識的研究領(lǐng)域里，線性系統(tǒng)建模是控制學(xué)科的重要課題[1]。階躍響應(yīng)法是幾個比較常用的經(jīng)典辨識方法之一，它是通過實驗來測取系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，再由得到的階躍響應(yīng)曲線算出被辨識系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[2-4]。常用的利用階躍響應(yīng)曲線來確定傳遞函數(shù)的方法很多，常用的方法是圖表法和積分法[5-7]。切線法是圖表法中的一種典型算法，但其局限性在于對有自平衡能力的對象，要在階躍響應(yīng)曲線上找出拐點，在其拐點處作切線，由于拐點位置不易選準，且切線的方向斜率也難于確定，以致傳遞函數(shù)的特征參量不能準確確定。同樣，數(shù)值積分法雖是一種從階躍響應(yīng)曲線求出傳遞函數(shù)的通用數(shù)學(xué)方法，適用于各種形式的傳遞函數(shù)，但是由于數(shù)值計算的誤差，實際上只能有效地定出少量的參數(shù)[8-9]。

基于這種問題，本文提出了基于階躍響應(yīng)曲線特征的建模方法，研究思路是利用高階傳遞函數(shù)可以分解為一階和二階典型環(huán)節(jié)的并聯(lián)原理，根據(jù)階躍響應(yīng)曲線的特征，假設(shè)估計模型的結(jié)構(gòu)和階次后，調(diào)節(jié)典型環(huán)節(jié)并聯(lián)模型中的參數(shù)值，用擬合曲線逼近實際的階躍響應(yīng)曲線，從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。研究時利用Matlab強大的編程功能針對不同階次的模型編寫相應(yīng)算法，利用Matlab圖形用戶界面GUI設(shè)計系統(tǒng)辨識軟件，根據(jù)階躍響應(yīng)曲線自動實現(xiàn)模型和相關(guān)參數(shù)的求取。仿真實例表明，該辨識算法可在一定精度內(nèi)獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

1 線性系統(tǒng)的模型分解

一般情況下，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母都是s的多項式，可以寫為

(1)

式(1)可表示為如下因式的乘積形式：

(2)

實際控制系統(tǒng)中，所有的閉環(huán)極點通常都不相同。因此在輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出量的可表示為

(3)

式中，q和r滿足關(guān)系式

q+2r=n

(4)

式中，q為實數(shù)極點的個數(shù)；r為共軛復(fù)數(shù)極點的對數(shù)。設(shè)0<ζk<1，將式(3)展成部分分式

(5)

設(shè)初始條件全部為零，將式(5)進行拉氏反變換，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

(6)

式(6)表明，高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)項組成的。

同時，式(1)可以寫成如下形式：

m

(7)

根據(jù)該式，高階線性系統(tǒng)可以分解為圖1所示。

綜上所述，通過并聯(lián)若干個一階和二階典型環(huán)節(jié)可得到高階系統(tǒng)的估計模型，以并聯(lián)模型階躍響應(yīng)曲線逼近實際系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，從而得到實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。更進一步，通過一階及二階典型環(huán)節(jié)組合出三階及三階以下的估計模型，通過調(diào)節(jié)參數(shù)改變曲線形狀，不斷地逼近高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，只要估計模型與原高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)相比誤差小，按照輸入輸出特性，它能夠反映原系統(tǒng)的整體特性[10]，即可用三階及三階以下的線性系統(tǒng)去等效高階線性系統(tǒng)從而求出傳遞函數(shù)。

2 線性系統(tǒng)時域分析

控制系統(tǒng)性能的評價分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標，前者可反映系統(tǒng)的響應(yīng)速度與阻尼程度，后者則反映了系統(tǒng)的控制精度與抗擾動能力。在實際應(yīng)用中，常用的動態(tài)性能指標多為上升時間、調(diào)節(jié)時間、和超調(diào)量。上升時間tr是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量，超調(diào)量δ%評價系統(tǒng)的阻尼程度，調(diào)節(jié)時間ts是同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標[11]。

傳遞函數(shù)中參數(shù)取不同值對系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能有著直接的影響，各參數(shù)的取值情況直接決定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線特征。同樣，估計模型中各典型環(huán)節(jié)的各參數(shù)也直接影響著系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線特征，因此有必要研究各典型環(huán)節(jié)或它們的組合中參數(shù)對曲線形狀的影響規(guī)律。三階及三階以下線性時不變系統(tǒng)的時域分析如下。

2.1 一階系統(tǒng)

典型的一階系統(tǒng)可表示為

G(s)=K/(Ts+1)

(8)

增益K決定穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值，且穩(wěn)態(tài)值為K。時間常數(shù)T決定階躍響應(yīng)速度，T越大響應(yīng)越慢，上升時間越長。

2.2 二階系統(tǒng)

二階系統(tǒng)可分解為兩種結(jié)構(gòu)：

第一種是標準形式二階系統(tǒng)，可表示為

(9)

K越大穩(wěn)態(tài)值越大，且穩(wěn)態(tài)值為K。T越大，曲線峰值時間和調(diào)節(jié)時間越大。阻尼比ζ決定超調(diào)量，ζ越小，超調(diào)量越大。

第二種結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)可表示為

(10)

階躍響應(yīng)的曲線形狀與一階系統(tǒng)的階躍曲線相似。階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為各增益值K1、K2之和。響應(yīng)速度和時間常數(shù)T1、T2成正比，如果兩者之一變小則響應(yīng)速度變快。

2.3 三階系統(tǒng)

一個三階系統(tǒng)可能由3個一階典型環(huán)節(jié)并聯(lián)組成，也可能由1個一階典型環(huán)節(jié)和1個二階典型環(huán)節(jié)并聯(lián)組成，下面分別討論兩種結(jié)構(gòu)的階躍響應(yīng)曲線特征。

(1) 3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)。

該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)可以表示為

(11)

階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為各一階環(huán)節(jié)增益值相加，且3個增益值總和相同時，3個增益的數(shù)值越接近響應(yīng)越快。時間常數(shù)影響系統(tǒng)響應(yīng)速度：當兩個時間常數(shù)不變時，第3個時間常數(shù)越大，響應(yīng)速度越慢；當一個時間常數(shù)不變時，另兩個時間常數(shù)中小者影響上升階段的初期(曲線形狀較陡)、大者影響上升階段后期(曲線形狀平緩)。

(2) 一二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)。

該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)可以表示為

(12)

系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為各環(huán)節(jié)增益值之和。T1、T2由小變大時，峰值時間與調(diào)節(jié)時間變大，這是因為一階環(huán)節(jié)響應(yīng)速度變慢；同時，T2相對于T1會使響應(yīng)的速度變慢的更快。阻尼比ζ增大時，超調(diào)減小，振蕩次數(shù)減少。

峰值時間tp由其中的二階系統(tǒng)決定，根據(jù)二階系統(tǒng)tp的計算方法，T2與ζ滿足關(guān)系式

(13)

另外，如果只利用上述比較直觀的規(guī)律，對結(jié)構(gòu)由一、二階典型環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)進行分解還存在著困難。因此將各參數(shù)對其階躍響應(yīng)曲線形狀的影響作了更深入的研究，按照T1、T2的比例關(guān)系將該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)分為3類：T1≥5T2、T2

①T1≥5T2：階躍響應(yīng)曲線的第一個波峰值要小于穩(wěn)態(tài)值。二階系統(tǒng)在階躍響應(yīng)曲線前期產(chǎn)生作用，一階系統(tǒng)在后期產(chǎn)生作用。

②T2

③T1

3 辨識算法

本節(jié)對三階以下各種結(jié)構(gòu)的線性系統(tǒng)的辨識算法進行研究。根據(jù)已知階躍響應(yīng)曲線的曲線特征，結(jié)合上一節(jié)總結(jié)的典型環(huán)節(jié)中各參數(shù)值對曲線形狀影響的規(guī)律，分析參數(shù)辨識算法，使擬合曲線逼近實際階躍響應(yīng)曲線，從而確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.1 一階系統(tǒng)

式(8)給出了一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。辨識算法如下。

① 增益值K。

K=y(∞)-y(0)

(14)

式中，y(∞)表示階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值，即階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值，y(0)表示初始值[13]。

② 時間常數(shù)T。

在階躍響應(yīng)曲線上找到輸出量變化至終值95%時的坐標點，它所對應(yīng)的時刻為調(diào)節(jié)時間ts，根據(jù)一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標知ts是T的3倍，故

T=ts/3

(15)

3.2 二階系統(tǒng)

(1) 標準形式的二階系統(tǒng)。

式(9)給出了標準二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。辨識算法如下。

① 增益值K。

增益值K可通過式(14)計算出。

② 阻尼比ζ。

系統(tǒng)的超調(diào)量可表示為

(16)

由式(16)可將阻尼比表示為

(17)

根據(jù)階躍響應(yīng)曲線可計算出超調(diào)量，將超調(diào)量的值帶入式(17)即可計算出阻尼比。

③ 時間常數(shù)T。

在階躍響應(yīng)曲線上找出峰值時間tp，則時間常數(shù)T為

(18)

(2) 兩個一階系統(tǒng)并聯(lián)的二階系統(tǒng)。

式(10)給出了該結(jié)構(gòu)的表達式。階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值由增益值K1、K2之和決定；假設(shè)T1

① 增益值。

求出階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值y(∞)，可令增益值K1、K2為穩(wěn)態(tài)值的1/2。

K1=K2=y(∞)/2

(19)

② 時間常數(shù)。

該結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間是由時間常數(shù)中的大者決定，在階躍響應(yīng)曲線上找到輸出量變化至終值95%時的坐標點，它所對應(yīng)的時刻為調(diào)節(jié)時間ts，由于其為兩個一階系統(tǒng)并聯(lián)，所以ts為3倍的T2。

為了求取T1，定義擬合曲線與實際階躍響應(yīng)曲線的同一時刻的誤差值為

d=(y階躍-y擬合)/y階躍×100%

(20)

由于假設(shè)了T1

3.3 三階系統(tǒng)

3.3.1 3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)

式(11)給出了3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式。

(1) 增益值K。

階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值由K1、K2、K3之和決定，求出階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值y(∞)，可令增益值K1、K2、K3為穩(wěn)態(tài)值的1/3。

K1=K2=K3=y(∞)/3

(21)

(2) 時間常數(shù)。

該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)的穩(wěn)定時間是由時間常數(shù)中的大者決定，在階躍響應(yīng)曲線上找到輸出量變化至終值95%時的坐標點，它所對應(yīng)的時刻調(diào)節(jié)時間ts應(yīng)等于3倍的T3。

假設(shè)T2

由式(20)計算誤差值d，令T1=T3、T2=T3/2，計算當前參數(shù)值下的誤差d。若d<0.05，各參數(shù)即為當前值；若d>0.05，則：

①d>0，即估計模型的響應(yīng)速度慢，應(yīng)該減小時間常數(shù)T2，每次減小0.01并重新計算誤差d；若有d>0.05繼續(xù)減小T2，反之則停止循環(huán)。若T2減小至接近零時仍有誤差d>0.05，令T1=T1-0.01、T2=T3/2,重新搜索參數(shù)T1、T2，直至d<0.05。

②d<0，即估計模型的響應(yīng)速度快，應(yīng)該增大時間常數(shù)T2，每次增大0.01并重新計算誤差d；若有d>0.05繼續(xù)增大T2，反之則停止循環(huán)。若T2增大至接近T3時仍有誤差d>0.05，令T1=T1-0.01、T2=T3/2重新搜索參數(shù)T1、T2，直至d<0.05。

參數(shù)辨識流程圖見圖2。

圖2 3個一階系統(tǒng)并聯(lián)的三階系統(tǒng)參數(shù)辨識流程圖

3.3.2 一二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)

階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值由K1、K2之和決定；T1、T2決定曲線的響應(yīng)速度，阻尼比決定曲線的超調(diào)。按照T1、T2的比例關(guān)系對階躍響應(yīng)曲線特征的影響將該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)分為3類：T1≥5T2、T1

(1)T1≥5T2。

這種情況下，一階環(huán)節(jié)的時間常數(shù)比二階環(huán)節(jié)時間常數(shù)大得多，因此一階環(huán)節(jié)發(fā)生作用比二階環(huán)節(jié)晚。此時，階躍響應(yīng)曲線的第一個波峰值要小于穩(wěn)態(tài)值，該特征可用來判斷此系統(tǒng)屬于T1≥5T2這一類。

具體參數(shù)辨識算法如下。

① 一階時間常數(shù)T1：由于一階環(huán)節(jié)發(fā)生作用要比二階環(huán)節(jié)要晚，曲線會先發(fā)生振蕩，然后曲線會平緩上升直到達到穩(wěn)態(tài)值，因此可利用一階系統(tǒng)求時間常數(shù)的方法求出T1，即在階躍響應(yīng)曲線上找到輸出量變化至終值95%時的坐標點，它所對應(yīng)的時刻為調(diào)節(jié)時間ts，則T1=ts/3。

參數(shù)辨識流程圖見圖3。

圖3 T1≥5T2的三階系統(tǒng)參數(shù)辨識流程圖

(2)T1

這種情況下，一階環(huán)節(jié)的時間常數(shù)比二階環(huán)節(jié)時間常數(shù)小，因此一階環(huán)節(jié)發(fā)生作用比二階環(huán)節(jié)早。此時，階躍響應(yīng)曲線的第一個波峰值大于穩(wěn)態(tài)值，該特征可用來判斷此系統(tǒng)不屬于T1≥5T2類。

在T10.4時，將待辨識系統(tǒng)歸為T1

對于T1

①ζ、T2：這兩個參數(shù)由最外層循環(huán)搜索確定。由于該三階系統(tǒng)內(nèi)含一個一階環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)會減緩系統(tǒng)的振蕩，因此由假設(shè)的二階系統(tǒng)求出的阻尼比ζ是偏大的，因此要向下調(diào)整，T2則由式(13)計算得出。

③ 當T1減小至接近0.1時，若誤差仍然有d>0.05，則另阻尼比ζ減小0.05，重新計算，然后再進入第二步，如此循環(huán)搜索直至d<0.05。

參數(shù)辨識流程圖見圖4。

圖4 T1

(3)T2

這種情況與T1

對于T2

①ζ、T2：同T1

③ 當T1調(diào)整到使估計模型的峰值與穩(wěn)態(tài)值大約相等時，說明T1已足夠大，此時若仍有動態(tài)誤差d>0.05、|bg|>0.15,則進入第一步重新開始搜索。

參數(shù)辨識流程圖見圖5。

圖5 T2

4 辨識軟件開發(fā)與仿真

4.1 辨識軟件界面設(shè)計

為了驗證辨識算法的可行性與正確性，利用Matlab圖形用戶界面GUI來設(shè)計辨識軟件[14-15]，將辨識算法嵌入到軟件操作界面中，易于操作。軟件設(shè)計思路是：對于模型未知的高階系統(tǒng)，利用第2節(jié)中總結(jié)的三階及三階以下各種結(jié)構(gòu)和階次的模型參數(shù)對曲線形狀的影響規(guī)律，分析該高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線特征，判斷該系統(tǒng)可用三階及三階以下中哪種結(jié)構(gòu)的模型去等效該高階系統(tǒng)，再使用該模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識算法計算出傳遞函數(shù)。首先導(dǎo)入已知階躍響應(yīng)曲線的數(shù)據(jù)(將已知曲線數(shù)據(jù)保存為excel格式)，根據(jù)曲線形狀選擇模型的結(jié)構(gòu)，分別編程實現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)模型的辨識算法，然后自動計算出模型中的參數(shù)。該辨識軟件的界面如圖6所示。

辨識軟件包括以下3個部分。

① 導(dǎo)入階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)模塊：導(dǎo)入實際系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)存在excel格式的文件中。階躍響應(yīng)曲線將顯示在第3模塊的axes1軸對象中。

圖6 氣候環(huán)境試驗數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)功能模塊

② 選擇模型結(jié)構(gòu)模塊：根據(jù)階躍響應(yīng)曲線的曲線特征來選擇估計模型的結(jié)構(gòu)。在選擇模型結(jié)構(gòu)后，估計模型會顯示在“模型傳遞函數(shù)”下面的文本框里；該模塊右下角的“建?！卑粹o是開始辨識的控制按鈕。

③ 辨識結(jié)果模塊：該模塊用來顯示辨識結(jié)果；其中axes1軸對象顯示已知的階躍響應(yīng)曲線，axes2軸對象辨識模型的階躍響應(yīng)曲線，然后再將兩條曲線在axes3軸中顯示進行對比，并顯示出誤差曲線。

4.2 仿真實例

由于典型一階，二階系統(tǒng)根據(jù)曲線特征辨識參數(shù)的方法是被廣泛認可的，這里只給出三階系統(tǒng)辨識算法的仿真結(jié)果。

(1) 3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)。

取該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

(22)

將該傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線保存為excel文件，導(dǎo)入到辨識軟件中，根據(jù)曲線特征選擇模型結(jié)構(gòu)為3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)，辨識結(jié)果如圖7所示。

圖7 3個一階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)的辨識結(jié)果

由圖7可知，由該軟件得到的參數(shù)為K1=K2=K3=1.66217，T1=0.123762，T2=0.610099，T3=1.9802，動態(tài)部分誤差為4.86%，靜態(tài)部分誤差為0.21%，滿足誤差要求。由于增益系數(shù)是用“三分法”得到的，辨識出的增益值沒有可比性；而T1、T2、T3則接近實際值，因此辨識結(jié)果可認為是滿意的。

(2) 一二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)。

①T1≥5T2。

取該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

(23)

將階躍響應(yīng)曲線保存為excel文件并導(dǎo)入辨識軟件，根據(jù)曲線特征選擇模型結(jié)構(gòu)為一個一階環(huán)節(jié)和一個二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)，辨識結(jié)果如圖8所示。

圖8 T1≥5T2時一二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)的辨識結(jié)果

由圖8可知，由該軟件得到的參數(shù)為K1=1.9975，K2=0.9975，T1=1，T2=0.104503，ζ=0.24，動態(tài)部分誤差為1.08%，靜態(tài)部分誤差為0.16%。將辨識結(jié)果與式(23)對比可知，辨識結(jié)果基本正確。

②T1

取該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

(24)

將該傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線保存為excel文件，導(dǎo)入到辨識軟件中，根據(jù)曲線特征選擇模型結(jié)構(gòu)為一個一階環(huán)節(jié)和一個二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)，辨識結(jié)果如圖9所示。

圖9 T1

由圖9可知，由該軟件得到的參數(shù)為K1=1.8013，K2=1.2013，T1=0.072103，T2=0.472103，ζ=0.531996，動態(tài)部分誤差為2.06%，靜態(tài)部分誤差為0.04%。將辨識結(jié)果與式(24)對比可知，辨識結(jié)果基本正確。

③T2

取該結(jié)構(gòu)的三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

(25)

將該傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線保存為excel文件，導(dǎo)入到辨識軟件中，根據(jù)曲線特征選擇模型結(jié)構(gòu)為一個一階環(huán)節(jié)和一個二階環(huán)節(jié)并聯(lián)的三階系統(tǒng)，辨識結(jié)果如圖10所示。

圖10 T2

由圖10可知，由該軟件得到的參數(shù)為K1=1.099，K2=1.899，T1=0.843181，T2=0.503181，ζ=0.521539，動態(tài)部分誤差為4.41%，靜態(tài)部分誤差為0.02%。將辨識結(jié)果與式(25)對比可知，辨識結(jié)果基本正確。

5 結(jié)束語

典型的一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)的參數(shù)與系統(tǒng)階躍響應(yīng)有明確的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)高階系統(tǒng)可以分解為典型一、二階系統(tǒng)并聯(lián)的原理，通過研究典型環(huán)節(jié)及互相組合時參數(shù)變化對階躍曲線形狀的影響，總結(jié)出規(guī)律作為系統(tǒng)反向分解、編寫辨識算法的依據(jù)，從而達到根據(jù)系統(tǒng)階躍曲線特征完成系統(tǒng)建模的目的。這種降階建模的方法思路簡單，模型精度較高，可以一定程度地解決設(shè)計或改進生產(chǎn)過程控制系統(tǒng)要建立被控對象模型的難題，為進一步分析系統(tǒng)性能或是設(shè)計控制器節(jié)省了時間。當然，同一條待辨識曲線可能存在多解問題，且算法中的搜索步長也會影響辨識精度和軟件搜索時間，以上討論的方法還有待發(fā)展和完善。