基于修正羅德里格參數(shù)的繩系衛(wèi)星動力學模型

唐溢敏 戰(zhàn)興群

上海交通大學，上海200240

空間繩系衛(wèi)星系統(tǒng)是指通過系繩將2個及2個以上的宇宙空間飛行器連接起來完成組合飛行任務(wù)的空間衛(wèi)星系統(tǒng)。在衛(wèi)星動力學研究領(lǐng)域，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的研究是非常具有挑戰(zhàn)性的。通常情況下，該系統(tǒng)是一個相對簡單的二體系統(tǒng)，即由一顆質(zhì)量較大的母星，一顆相對小型的衛(wèi)星和一根質(zhì)量可以忽略的系繩構(gòu)成[1-2]?？臻g繩系衛(wèi)星系統(tǒng)有以下應(yīng)用：通過系繩完成空間探測和對其他遠距離星體的遠程控制；通過系繩進行貨物運載[3-4]；通過系繩兩端衛(wèi)星的高度差來探知重力梯度的變化[5]；通過子星和主星動量的交換來完成衛(wèi)星升軌、降軌和入軌等多個任務(wù)[6]；通過電動力系繩在電磁力場的運動進行太空發(fā)電或無燃料加減速[7]；系繩連接多顆衛(wèi)星可以實現(xiàn)空間編隊飛行，進行衛(wèi)星間的相互協(xié)作[8]。

在20世紀80年代以前的繩系衛(wèi)星模型相對簡單，學者通常將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)看作一個整體，將系繩看作是一根可以伸縮的剛性桿或者彈簧，再將此剛性桿和彈簧的伸縮和扭轉(zhuǎn)根據(jù)特定的限制進行模型假設(shè)。90年代美國與意大利合作的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)TSS-1是由20km長的絕緣系繩、主星和子星組成，在系繩張緊拉直時，整個繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)心運動可以看成是傳統(tǒng)航天器的質(zhì)心運動[3]。BEDA P.B.研究了啞鈴模型在受到大氣影響時平衡狀態(tài)下的姿態(tài)穩(wěn)定性問題[9]，Watanabe N.和Onoda J.基于啞鈴模型研究了低軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在重力梯度的影響下，面內(nèi)的擺角運動控制問題[10]。90年代之后，繩系衛(wèi)星的應(yīng)用潛力和前景引起了科學家的廣泛關(guān)注，繩系衛(wèi)星模型的建立和發(fā)展也得以迅猛發(fā)展。繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學模型由連續(xù)模型向離散模型和柔性繩模型發(fā)展，這些模型在動力學姿態(tài)描述上的精度比剛性的啞鈴模型和桌球模型高，其計算復雜度也高很多[11-12]。朱仁璋等選取系統(tǒng)質(zhì)心與主星質(zhì)心一致采用繩系珠式模型(Bead Model) 建立了仿真度更高的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型[13]。馮杰等研究了系繩質(zhì)量、系統(tǒng)質(zhì)心的變化及狀態(tài)和控制限制約束，建立了繩系衛(wèi)星網(wǎng)捕的動力學模型[14]。鄭鵬飛等建立了繩系衛(wèi)星系統(tǒng)受大氣阻尼干擾下的系繩展開動力學和衛(wèi)星的姿態(tài)動力學模型[15]。

在動力學方程中，常見的姿態(tài)描述參數(shù)主要有：歐拉角、等效旋轉(zhuǎn)矢量法、方向余弦矩陣、四元數(shù)、修正羅格里格參數(shù)及其變化形式[16]。歐拉角是一組由3個元素組成的參數(shù)，對旋轉(zhuǎn)描述無冗余，但在旋轉(zhuǎn)角為90°時產(chǎn)生奇點。方向余弦矩陣和歐拉角可以相互推導，有9個分量，無奇點，但增加了計算復雜度。四元數(shù)是一組滿足特定條件的4個元素的參數(shù)，無奇點，但對旋轉(zhuǎn)描述有一個參數(shù)的冗余。修正羅格里格斯參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters，MRPs)是一組由三個元素組成的參數(shù)向量，在旋轉(zhuǎn)角為2π時，有奇點。在旋轉(zhuǎn)角為0時，修正羅德里格參數(shù)的陰影(Shadow Modified Rodrigues parameters)有奇點。將修正羅德里格參數(shù)和它的陰影參數(shù)結(jié)合起來，可以得到一組無冗余無奇點的姿態(tài)描述參數(shù)[17]。

蒙特等采用MPRs描述衛(wèi)星的姿態(tài)以降低濾波器的維數(shù)并有效避免了使用四元數(shù)求解狀態(tài)誤差協(xié)方差參數(shù)時的奇點[18]。靳永強等采用傳統(tǒng)的修正羅德里格參數(shù)建立了無陀螺的狀態(tài)觀測模型和矢量觀測模型[19]。張紅梅等發(fā)揮UKF非線性濾波方法和MRPs的優(yōu)勢設(shè)計了用MRPs描述的無陀螺飛行器的無奇點的姿態(tài)估計器[20]?？梢钥闯?，MRPs參數(shù)以及MRPs及其陰影的結(jié)合在姿態(tài)描述上具有廣泛應(yīng)用，且能有效解決使用四元數(shù)和歐拉角進行姿態(tài)描述的諸多問題，比如奇異問題和計算復雜度大等問題。

在繩系InSAR系統(tǒng)中，系繩將2顆及以上SAR衛(wèi)星連接，通過快速展開至目標構(gòu)型完成地形測繪等多個任務(wù)。在某些特定的任務(wù)要求下，系繩需要與軌道平面保持垂直[21]。歐空局通過配置繩系飛網(wǎng)捕獲機構(gòu)或者繩系飛爪捕獲機構(gòu)進行目標捕獲的ROGER(Robotic Geostationary Orit Restorer)(2002年)可用于捕獲空間碎片[22]。但繩系衛(wèi)星的子星和目標星交會時，經(jīng)常會出現(xiàn)繩系衛(wèi)星和目標星不在同一軌道高度，或者不在同一軌道平面內(nèi)(特別是ROGER計劃中的飛爪型ROGER攜3個飛爪，可同時飛出，形成對較大目標的包圍，進行捕獲)，勢必會面臨目標星不與繩系衛(wèi)星系統(tǒng)共面和共軌的情況。

針對以上問題，提出了一種利用修正的羅德里格參數(shù)(MRPs)結(jié)合其陰影來替代傳統(tǒng)的歐拉角進行繩系衛(wèi)星剛性動力學模型的描述方法，該模型有效消除了原模型在面外角為90°時的奇點問題。為驗證其可行性，首先對模型進行了推導和證明，驗證了修正羅德里格參數(shù)與其陰影切換的數(shù)值點選取的合理性，然后進行了仿真實驗，實驗結(jié)果證明，該方法能在消除奇點的優(yōu)勢、不改變歐拉角的連續(xù)性變化下，建立繩系衛(wèi)星動力學模型，可應(yīng)用于繩系衛(wèi)星異面交會、繩系InSAR系統(tǒng)等多個場景下。

1 基于修正羅德里格參數(shù)的動力學模型建立

1.1 基于歐拉角的動力學模型描述

(1)

可以看出，該動力學方程有2類奇點：lc=0和cosφ=0。lc=0時：系繩長度無限趨于0，導致繩系姿態(tài)運動不穩(wěn)定，為消除此類奇點，我們選擇在系繩展開/收回階段或完全展開時，即繩長大于一定值的情況下，應(yīng)用此方程。cosφ=0：出現(xiàn)在面內(nèi)角方程中，此類奇點出現(xiàn)在面外角為90°時，即系繩與軌道面垂直的情況下。為消除該類奇點，之前有文獻提出通過兩組不同的歐拉角的動力學方程組的轉(zhuǎn)化來消除奇點的方法，但此方法大大增加了算法的復雜度[24-25]；也有文獻[26]提出在|cosφ|<10-4時，取|cosφ|=10-4，但此類方法需要在保證面內(nèi)擺角精度的前提下使用，有所局限。本文提出用修正的羅德里格參數(shù)和其陰影來替代歐拉角作為動力學方程的姿態(tài)描述參數(shù)，能夠在確保精度和不增加大量算法復雜度的前提下，有效保證奇點的消除。

1.2 模型推導及建立

假設(shè)系繩的長度和方向已經(jīng)可以控制在一定精度下，且不存在松弛和彎曲的情況，我們可以將系繩看成一根剛性桿，式(1)可以化簡為：

(2)

(3)

修正羅德里格參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters，MRPs)[1]是一組由3個元素組成的向量，對旋轉(zhuǎn)描述無冗余，表示如下：

(4)

其中，σ∈R3；e為歐拉軸；Θ為歐拉旋轉(zhuǎn)角，在Θ=±2π+4kπ,k∈Z時，無法運用此式描述姿態(tài)旋轉(zhuǎn)。MRPs也可以由四元數(shù){ε,η}表示為σ=ε/(1+η)，其中ε∈R3，η∈R。

MPRs的導數(shù)與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系描述如下：

(5)

其中，ω為系繩本體坐標系相對于軌道坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度在本體坐標系中的表示，G(σ)的形式如下：

(6)

G(σ)具有以下特性：

(7)

G(σ)-σ×=GT(σ)

(8)

(9)

MRPs的陰影可表示如下：

(10)

也可以由四元數(shù)表示為：

(11)

可以看出，σT的奇點在Θ=4kπ,k∈Z。

(12)

(13)

(14)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性得到：

(15)

對式(15)求導并與式(14)聯(lián)立，可以建立歐拉角與修正的羅德里格參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即：

(16)

(17)

其中，Cφ=cosφ,Sφ=sinφ,Cθ=cosθ,Sθ=sinθ。

用修正的羅德里格參數(shù)表示姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣如式(18)：

(18)

結(jié)合式(3)，得到此時歐拉角與修正的羅德里格參數(shù)的關(guān)系如式(19)：

(19)

聯(lián)立式(5)和(15)得到

(20)

將式(17)、(19)和(20)代入式(2)，得到基于修正的羅德里格參數(shù)的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型如下：

(21)

其中，D=|C|,

(22)

1.3 可行性分析

若用修正的羅德里格參數(shù)描述旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)連續(xù)公式得到：

(23)

其中，

(24)

(25)

2 仿真結(jié)果

圖1 MRPs隨時間的變化值

圖2 cosφ隨時間的變化值

從圖1和2中可以看出，在t<4.05s時，MRPs參數(shù)過度平緩，cosφ可以由MRPs參數(shù)表示，見式(19)。在圖 2中，cosφ有2次平穩(wěn)經(jīng)過為0的點(標注為實心點)，說明該模型能夠消除原使用歐拉角的動力學模型中面外角為90°時的奇點問題。

圖隨時間的變化值

3 結(jié)論

提出了一種將修正羅德里格參數(shù)及其陰影結(jié)合建立繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型的方法。使用該模型對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的姿態(tài)變化進行仿真，能夠有效解決基于歐拉角的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型在繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的面外角為90°存在奇點情況下不穩(wěn)定的問題，為繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學模型的全局分析提供了可行的解決方案。而且，修正的羅德里格參數(shù)及其陰影在轉(zhuǎn)換點處的非連續(xù)性轉(zhuǎn)換，不會影響到歐拉角的連續(xù)性變化和表示，具有很強的延展性和實用性。

本文證明了該模型在消除奇點問題上的可行性，后續(xù)針對所提出的非線性的動力學模型的控制方法需要作進一步的探討；另外，修正羅德里格參數(shù)和四元數(shù)同樣不具有直觀的物理意義，仍然需要將MRPs轉(zhuǎn)化為歐拉角進行觀察和研究，這增加了一定的計算復雜度。