在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中提升學(xué)生核心素養(yǎng)之思維能力例談

寧智明

解數(shù)學(xué)題是每位中學(xué)生一定會(huì)遇到的問題。幾乎所有學(xué)生都希望自己具有較高的數(shù)學(xué)解題能力，但事實(shí)并非如此。許多學(xué)生常常向教師提出如下的問題：“課能聽懂，書能看懂，就是題不會(huì)解，遇到有一定難度的題目更是感到束手無策。即使能解出，多半是碰來的，缺少一般方法，而且解出題后收獲也不大?！惫P者帶著這些問題進(jìn)行了深入的思考。結(jié)合自己的課堂教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為上述現(xiàn)象的產(chǎn)生主要是下面三個(gè)原因造成的：一是基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí);二是缺少科學(xué)的學(xué)習(xí)方法;三是核心素養(yǎng)之思維能力低下。其中核心素養(yǎng)之思維能力低下是最主要的原因之一。下面筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，通過案例說明怎樣在解數(shù)學(xué)題的教學(xué)中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)之思維能力。

一、造成學(xué)生核心素養(yǎng)之思維能力低下的原因分析

造成學(xué)生思維能力低下的原因很多，鑒于個(gè)人認(rèn)識(shí)的范圍，僅就其中三個(gè)原因進(jìn)行簡要分析。

1.缺乏核心素養(yǎng)要求的知識(shí)與技能的積累和變換訓(xùn)練，造成學(xué)生思維的深刻性能力低下。思維的深刻性能力是指能夠把握事物的關(guān)鍵和本質(zhì)的能力。

【例1】 已知：a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

求證：

此題曾在高三學(xué)生中作過練習(xí)，不少學(xué)生能夠證明到如下的程度：

（說明：運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)，可證明出和 ）

有少部分學(xué)生又進(jìn)行了如下的分析：

欲證：

只需證：

而

故無法直接推出

（說明：

此后，多數(shù)學(xué)生未能夠順利證出上面的結(jié)論。事實(shí)上，只要對(duì)欲證不等式進(jìn)行靈活地變換，問題不難解決。

欲證：

只需證：

即

而由于 ，故1-27abc≥0

并且顯然有

故上述不等式成立，從而原命題得證。

在這里，學(xué)生能力低下體現(xiàn)為不能運(yùn)用數(shù)學(xué)基本技能對(duì)不等式? 進(jìn)行靈活變換。

【例2】比較log 2 3和log 3 4的大小。

對(duì)這個(gè)題目，絕大多數(shù)學(xué)生都可以做到如下的地步：

只須判斷l(xiāng)g3-lg2>0的符號(hào)，而判斷l(xiāng)g3-lg2=lg3-lg2的符號(hào)，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，只須比較3與2的大小。

至此，學(xué)生便無法前進(jìn)了。因?yàn)樗麄儫o法把3與2化為可比較的形式，體現(xiàn)為缺乏基本技能。

事實(shí)上，∴2< 3，從而命題得證。此處學(xué)生能力低下體現(xiàn)為沒有想到< 這種技能。

從【例1】和【例2】我們可以看出，學(xué)生在解題過程中所遇到的障礙是一些關(guān)鍵步驟，而這些關(guān)鍵步驟的解決則需要用到數(shù)學(xué)的基本技能和變換，我們恰恰又在這些方面沒有對(duì)學(xué)生進(jìn)行很好的訓(xùn)練，因而造成了學(xué)生解決問題的關(guān)鍵步驟的能力低下，實(shí)質(zhì)上也就造成了思維的深刻性能力低下。

2. 缺乏核心素養(yǎng)要求的批判質(zhì)疑的思維意識(shí)，造成學(xué)生思維的逆向性能力低下。學(xué)生思維的逆向性能力是指能夠從事物的反面分析事物的能力。

筆者在高三課堂上讓學(xué)生做了下面的題目（未給任何暗示）：

【例3】 若a，b∈R+，求證：10（a+b）>ab

全班絕大多數(shù)學(xué)生都相信這個(gè)命題是絕對(duì)正確的，很虔誠地做了十多分鐘，并運(yùn)用了許多不等式的性質(zhì)。到后來，僅有兩名學(xué)生對(duì)命題本身產(chǎn)生了疑問，但沒有準(zhǔn)確地指出命題的錯(cuò)誤所在。事實(shí)上，只要對(duì)欲證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危浑y指出其中的錯(cuò)誤：欲證原式，只要證10（+）>1。但我們發(fā)現(xiàn)，若a，b取較大的正數(shù)時(shí)（+）將會(huì)很小，而10是常數(shù)，因此10（+）也會(huì)很小，不可能一定小于1。鑒于這種分析，只要令a=b =100，立即就會(huì)說明原命題是錯(cuò)誤的命題。

這個(gè)事實(shí)比較典型地說明了學(xué)生缺乏核心素養(yǎng)要求的批判質(zhì)疑意識(shí)。而我們平時(shí)在這方面的訓(xùn)練又很少，平時(shí)學(xué)生練習(xí)的命題絕大多數(shù)是真命題，所以造成了他們思維的逆向性能力低下。

3. 缺乏核心素養(yǎng)要求的獨(dú)立思考、獨(dú)立判斷的意識(shí)以及做出選擇和決定的能力，造成學(xué)生思維的獨(dú)立性能力低下。思維的獨(dú)立性能力是指善于獨(dú)立思考，并有自己見解的能力。不少學(xué)生由于暫時(shí)不會(huì)解題，又不敢大膽嘗試，便對(duì)自己的能力產(chǎn)生了懷疑，從而使自信心受到了打擊，進(jìn)而使思維的獨(dú)立性受到影響。按照心理學(xué)的理論，學(xué)生此時(shí)心境處于消極狀態(tài)，思維水平也低于常態(tài)。正如前述，學(xué)生在解【例3】時(shí)，當(dāng)難以繼續(xù)解題時(shí)就出現(xiàn)了自信心不足的狀態(tài)。如果這種情形在解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)，而教師又沒有給予及時(shí)的指導(dǎo)，就會(huì)造成學(xué)生思維的獨(dú)立性低下，并且很有可能使學(xué)生產(chǎn)生自卑或自責(zé)心理，最終導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣下降。而缺乏興趣則是提升核心素養(yǎng)之思維能力的最大障礙之一。

對(duì)上述三個(gè)方面的分析，我們可以看出，學(xué)生的思維能力低下的原因之一是由于教師在平時(shí)教學(xué)中，缺乏提升學(xué)生核心素養(yǎng)之思維能力意識(shí)和系統(tǒng)訓(xùn)練。依據(jù)教育學(xué)理論，任何一種能力的獲得，都必須經(jīng)過系統(tǒng)的訓(xùn)練，而我們恰恰在上述幾個(gè)方面對(duì)學(xué)生缺乏系統(tǒng)的訓(xùn)練，因而造成了學(xué)生核心素養(yǎng)之思維能力低下。

二、在解題過程中提高核心素養(yǎng)之思維能力

筆者認(rèn)為，在掌握好基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的前提下，解題時(shí)，遵循如下的一些原則，對(duì)提升學(xué)生的核心素養(yǎng)之思維能力會(huì)有所幫助。

1.核心素養(yǎng)要求學(xué)生能夠思維縝密地分析問題。實(shí)質(zhì)上就是要求我們?cè)诮虒W(xué)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維的周密性能力的培養(yǎng)。思維的周密性能力是指能夠全面分析事物的能力。學(xué)生在動(dòng)手解題之前，必須回答如下的問題：命題的已知條件是什么？需要做什么或證明什么？只有當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論都搞得很清楚，而且已經(jīng)牢牢記住的時(shí)候，才能開始解題。要解題，就應(yīng)當(dāng)充滿信心，要堅(jiān)信通過努力，問題一定會(huì)得到解決。這樣做實(shí)質(zhì)上就是對(duì)思維的周密性能力和獨(dú)立性能力的培養(yǎng)和提高。

2.核心素養(yǎng)要求邏輯清晰，能運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物、解決問題、指導(dǎo)行為。因此，學(xué)生在解題時(shí)應(yīng)遵循的邏輯順序是：先仔細(xì)觀察題目所屬的類型，用解同類型題目的一般方法進(jìn)行嘗試（如【例1】屬于不等式證明，可以用綜合法和分析法嘗試）;如不能解決，則要考慮運(yùn)用一些數(shù)學(xué)基本技能或變換（如【例2】中運(yùn)用了）;如果仍然不能解決，就應(yīng)該運(yùn)用逆向性思維，重新考察題目本身，看看題目本身的條件或結(jié)論是否存在問題，能否通過具體驗(yàn)證的方法找出命題錯(cuò)誤（如【例3】中結(jié)論的錯(cuò)誤），前述的邏輯過程是思維逐步深化的過程，實(shí)質(zhì)上也就是尋求事物本質(zhì)的過程，因而有助于思維的深刻性和逆向性等能力的提高。

3.核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生勇于探究、不畏困難、堅(jiān)持不懈的探索精神。當(dāng)學(xué)生解不出題時(shí)，他們往往會(huì)采取如下三種態(tài)度：第一，徹底放棄或一直解下去。徹底放棄等于失敗，一直解下去實(shí)際上是自責(zé)心理的表現(xiàn)，這在解題中均屬不理智行為，是下策。第二，尋求老師或同學(xué)的幫助。這種態(tài)度的優(yōu)點(diǎn)是可以及時(shí)解決問題，吸取他人的思考方法，缺點(diǎn)是失去了獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，此屬中策。第三，暫時(shí)放棄，但并不忘記，而是經(jīng)常思考，直至得出自己滿意的結(jié)果，很顯然，這是上策。這種態(tài)度才會(huì)有助于核心素養(yǎng)所要求的勇于探究、不畏困難、堅(jiān)持不懈的探索精神的培養(yǎng)。

三、通過解題后的反思來提高核心素養(yǎng)之思維能力

我們知道，解題過程本身就是提高學(xué)生核心素養(yǎng)之思維能力的過程，但解出題后的反思過程卻往往被學(xué)生所忽視，大多數(shù)學(xué)生解出題后往往一放了事，從而失去了進(jìn)一步提高自己思維能力的機(jī)會(huì)，這正是他們感到無所收獲的原因所在，筆者認(rèn)為，如能解出題后再從下述方面進(jìn)行反思就會(huì)得到較大的收獲，其核心素養(yǎng)之思維能力也會(huì)得到進(jìn)一步的提高。

1.核心素養(yǎng)要求學(xué)生能多角度分析問題。實(shí)質(zhì)上就是要培養(yǎng)學(xué)生的廣闊性思維能力，思維的廣闊性能力是指能從不同的角度分析事物的能力。教師可以通過一題多解的教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練提高。

如【例2】還可用基本不等式進(jìn)行證明，

因?yàn)閘og23-log34=

顯然，

所以lg2·lg4

而lg23>lg2，由此命題得證。

經(jīng)常進(jìn)行一題多解訓(xùn)練的最大優(yōu)點(diǎn)就在于，能夠開拓思路，使學(xué)生養(yǎng)成一種從多角度分析問題的理性思維習(xí)慣，在一定程度上可以避免那種遇到難題時(shí)所出現(xiàn)的束手無策的現(xiàn)象。

2. 核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的好奇心和想象力。實(shí)質(zhì)上是要提高學(xué)生思維的發(fā)展性能力。思維的發(fā)展性能力是指能夠從一事物出發(fā)，思考方向四處擴(kuò)散，最終找出事物本質(zhì)或發(fā)現(xiàn)新問題的能力。在教學(xué)中，教師可以通過聯(lián)想的方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練提高。聯(lián)想的方式很多，從題目本身出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想就是一種有效的方法。下面僅就其中兩個(gè)方面舉例說明。

（1）變換題目條件或結(jié)論，并滲透其他知識(shí)，將其演變?yōu)榱硗庑问降念}目。

如對(duì)【例1】可作如下的演變：由于條件a，b，c∈R+，a+b+c=1往往與三角類型的題目相聯(lián)系，聯(lián)想到一個(gè)習(xí)題結(jié)論：長方體的一條對(duì)角線與一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別為α，β，γ，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

因此，可令a=cos2α，b=cos2β，c=cos2γ，于是【例1】可變?yōu)槿缦碌男问剑涸O(shè)α，β，γ分別為某長方體的一條對(duì)角線與一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角，試證：

≥（證明從略）

（2）把題目推廣為更一般的形式。

仍以【例1】為例進(jìn)行說明，如果聯(lián)想到以前曾經(jīng)證明過的一個(gè)命題：已知a，b∈R+且a+b=1，求證 再與【例1】的形式比較，便不難得到如下的推廣形式：若a1，a2，Λ，an∈R+，且a1+a2+Λ+an=1

求證：n（證明從略）

在聯(lián)想過程中，值得說明的是，聯(lián)想所得到的結(jié)果，有些可以當(dāng)時(shí)解決，有些則不容易當(dāng)時(shí)解決，如上述【例1】的推廣形式，用初等方法證明很繁雜，中學(xué)生很難解決，但是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)結(jié)論，問題就容易解決。遇到這種情況，不妨?xí)簳r(shí)記下來，待今后慢慢解決，這也就是核心素養(yǎng)所要求培養(yǎng)的問題意識(shí)。正像G.波利亞在《怎樣解題》一書中寫道：“你解答的也許是很普通的題目，但是如果它能喚起你求知的欲望，驅(qū)使你去創(chuàng)造，如果題目又是你自己解出來的，你就會(huì)經(jīng)歷從事發(fā)現(xiàn)所必需的智力的緊張，同時(shí)體驗(yàn)到勝利的歡樂?！?/p>

中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，其中的科學(xué)精神要求主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)、理解、運(yùn)用科學(xué)知識(shí)和技能等方面所形成的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)、思維方式和行為表現(xiàn)。具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點(diǎn)。在教學(xué)的實(shí)踐中，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)所要求的理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等方面思維能力的有效方法和途徑。