關(guān)注數(shù)學(xué)隱形知識促進理解

朱曉勇

摘 要：線和角是圖形與幾何的基礎(chǔ)知識，它們是構(gòu)成平面多邊形的主要元素。四年級的線段教學(xué)，線段不僅僅是教學(xué)的起點，引入端點的知識從而確認線段的長度有限性，從沒有端點的討論去開啟射線和直線的認知大門。文章就“線段”的內(nèi)涵和外延、“隱形”線段的引入以及課堂形態(tài)的構(gòu)建進行了相關(guān)探討，以期為提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果提供一些參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)藝術(shù);隱性知識

近日，筆者參加市級優(yōu)質(zhì)課評比，課題是《線段、射線、直線和角的認識》，在評比結(jié)束后的五天內(nèi)，筆者接到各種信息，但自己的思維卻處于混沌狀態(tài)。賽后經(jīng)過一段時間的沉淀和反思，筆者略有所得，故記之一二，以期爭鳴。

一、此“線段”還是彼“線段”嗎？

（一）線段再認識

四年級學(xué)生認識的線段還是在二年級時所認識的線段嗎？從認識對象上看答案是肯定的，從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性看依然如此。但是，從小學(xué)生認知線段的形態(tài)看，即從概念的外延上看，還是嗎？也許不是也許是。如此看來，四年級的線段認識該有新發(fā)展。

二年級上冊的數(shù)學(xué)課本對線段的定義：“拉緊的一段線，可以看作一條線段。”顯然，那時的認知，線段是直直的線，而對端點的認識是非常淺顯的。

在開始認識到物體的邊是線段時，小學(xué)生對線段的長短感覺既是現(xiàn)實的，也是直觀的、具體的，再后來，隨著對“測量”和“長度單位”的進一步學(xué)習(xí)，從微米、厘米、分米到米、千米的學(xué)習(xí)，尤其是認識千米后，小學(xué)生對線段長短的認識已經(jīng)無法停留于一種直觀的現(xiàn)實感受，也許這時學(xué)生們的頭腦中已經(jīng)閃過這樣的念頭：最長的線段有多長？它有終點嗎？

（二）線段的端點認識

于是便有了討論線段端點的需要。四年級上冊的數(shù)學(xué)課本對線段的定義為：“一根拉緊的線，繃緊的弦，都可以看成線段。線段有兩個端點?！惫P者驚嘆于教材如此及時地點明了四年級線段教學(xué)的第一個教學(xué)要點——端點。

一條直直的線，有了兩個端點，線段終于在學(xué)生的頭腦中呈現(xiàn)了一個完整的身姿。毫無疑問，認識線段的端點，不僅僅在于需要給予線段一個完整的身姿，而在于這里的端點是從線段認識通往射線和直線認識的鑰匙。而從線段到射線和直線認知突破的關(guān)鍵就在于從有限到無限的一種極限數(shù)學(xué)思想，在這里，端點就是這個思想的有效載體。

（三）完善線段知識

至此，筆者做個小結(jié)：

關(guān)于四年級的線段教學(xué)，教師要認識到，線段不僅僅是教學(xué)的起點，它本身就是一個再認識的主體，其中端點認識是核心。端點的認識要從學(xué)生對已知線段的長短序列建構(gòu)開始，重現(xiàn)學(xué)生對線段長短極限的疑問，這樣就真正產(chǎn)生了后續(xù)認知的起點。

端點的引入雖然起始于線段長短極限的疑問，需要在具體的、直觀的物體的邊的起點和終點設(shè)定開始，并逐步引導(dǎo)學(xué)生想象線段的起點和終點的情形，從而確認線段的長度有限性。最后，從沒有端點的討論去開啟射線和直線的認知大門。

二、隱形的線段，需要認識嗎？

四年級的學(xué)生能想到三角形中的高也是線段嗎？四年級的線段教學(xué)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生尋找看不見的線段。生活中諸如黑板邊、桌子邊、書邊都可以看成線段。還有哪些東西的邊可以被看成線段呢？線段是直的，可以量出長度。這樣的認知儲備肯定不足以給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)提供完全的認知需求。

比如：在長方形ABCD中，長邊AB是長，短邊BC叫寬。這樣，就需要學(xué)習(xí)：為了表述方便，可以用字母來表示線段，如線段AB。

比如：在認識三角形的的時候，要認識三角形的高。而在通常情況下，三角形的高確實存在，卻又是隱形的，這時候的認知，需要想到一種合理存在卻又看不到的線段。又如長方形、正方形等圖形的對角線，平行四邊形和梯形中的無數(shù)條高等，這些隱形線段的知識，是否需要納入本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來呢？

細細想來，如果要認識到平行四邊形中有無數(shù)條高，首先要認識到線段是由無數(shù)個點組成。也許這樣的認知對于小學(xué)生來說過于復(fù)雜，但后續(xù)的學(xué)習(xí)卻需要這樣的認知準備，對于隱形線段需要種下一棵認知的種子。

再如：在計算多邊形面積的時候，各種不同位置的等長線段之間數(shù)值關(guān)系的轉(zhuǎn)換就是線段之間的平移和旋轉(zhuǎn)。那么，是否可以將線段的認知和已學(xué)的“圖形的運動”結(jié)合起來呢？

這樣看來，四年級線段的學(xué)習(xí)不再是一個簡單的重復(fù)過程。該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)不能停留于原先的學(xué)習(xí)?；谶@樣的認識，筆者認為：對于學(xué)生來說，最有意義的學(xué)習(xí)不僅是將已知的生活經(jīng)驗和認知活動完善成一個知識體系，而且更需要提升、發(fā)展到后續(xù)學(xué)習(xí)所需求的水平上來。從某種角度講，教學(xué)目標的確定，更多來源于后續(xù)學(xué)習(xí)的需求。

三、三角形中的角還是角嗎？

1. 學(xué)生的困惑

筆者在完成《角的認識》的教學(xué)后，有幾位愛思考的學(xué)生圍著筆者問：三角形的角是角嗎？教師此時可以清楚地知道學(xué)生的思考邏輯：由一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角，而三角形的角是由一點引出了兩條線段，所以三角形的角不是這里所說的角。

教學(xué)需要傳道解惑，而教學(xué)卻經(jīng)常讓學(xué)生不斷地產(chǎn)生困惑。對于線段是射線或直線的一部分的教學(xué)，教師很少提及，這樣自然讓學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)的中角、平行線、垂線在圖形解讀時產(chǎn)生各種困擾。

2. 困惑的消除

在教學(xué)中，如果教師預(yù)設(shè)線段和射線、直線關(guān)系的認知點并實施于教學(xué)活動中，主動地將三角形的角和這里的角進行辨析，相信學(xué)生對從屬關(guān)系概念的性質(zhì)特點會有一個比較成熟的認識。

事實上，教學(xué)預(yù)設(shè)不僅僅關(guān)注學(xué)生的疑惑，還有許多經(jīng)驗值得關(guān)注。比如本節(jié)課的過一點畫線、過兩點畫線、學(xué)生的畫圖規(guī)范等需要教師加以指導(dǎo)，直線的性質(zhì)需要教師加以解讀。更要注意的是，在后續(xù)的學(xué)習(xí)——三點畫線、四點畫線、N點畫線構(gòu)成了一個數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練學(xué)生思維的系列題組。筆者認為，一個系列題組有必要做實這樣過點畫線的教學(xué)點。

四、就這樣靜悄悄地教學(xué)嗎？

小學(xué)第一學(xué)段的數(shù)學(xué)課堂熱熱鬧鬧，第二學(xué)段卻相對靜悄悄地進行教學(xué)，筆者對此深有體會。

小學(xué)第一學(xué)段的幾何學(xué)習(xí)從認識立體圖形開始，然后逐漸認識平面圖形，再認識角以及平面圖形的邊的長短測量解構(gòu)平面圖形，最后學(xué)習(xí)計算長方形和正方形的周長和面積。這是一個從整體到局部的結(jié)構(gòu)式認知過程。在這一階段，學(xué)生沒有幾何知識基礎(chǔ)，但有生活經(jīng)驗，教學(xué)就是將學(xué)生的認知形成共識，成了一種幾何基礎(chǔ)知識。從認識長方體、正方體到長方形、正方形，再到線段等，由此可見，第一學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是直觀的，看到什么說什么。這也是教師所熟悉的直觀的、感性的教學(xué)方式。

而第二學(xué)段，學(xué)生則在學(xué)習(xí)線段、直線、射線和角的基礎(chǔ)上，逐步研究各種幾何體的形狀、相對位置、與大小等。這是從基礎(chǔ)到整體的一個建構(gòu)過程。顯然，第二學(xué)段，更多的是一種發(fā)現(xiàn)知識和運用方法的學(xué)習(xí)過程，在這個過程中，動手操作、發(fā)現(xiàn)運用是一種主要學(xué)習(xí)方式。在發(fā)現(xiàn)運用中，必然更多地需要數(shù)學(xué)概括和邏輯演繹的成分。

比如：在線段、直線、射線和角的教學(xué)中，在討論線段的端點的作用時，學(xué)生需要構(gòu)建射線和直線模型，理清直線、線段和射線的聯(lián)系和區(qū)別。很多時候，這是一種靜態(tài)的知識整理和發(fā)現(xiàn)過程，而在交流的時候，更多地需要學(xué)生完成一個較為完整的發(fā)現(xiàn)匯報。所以像以下的“想一想、填一填”的學(xué)習(xí)任務(wù)必不可少。

也許，這樣的課堂形態(tài)大大有別于第一學(xué)段的課堂，數(shù)學(xué)概括和邏輯演繹的教學(xué)成為了課堂的主體，從感性走向理性。教師需要順應(yīng)學(xué)生的這種必然的發(fā)展需求，慢慢習(xí)慣從熱鬧的課堂走向理性的、相對靜態(tài)的課堂，“動靜結(jié)合”將是教師需要追求的教學(xué)藝術(shù)。

以前，筆者因接受的信息多，而思想混沌;現(xiàn)在，筆者卻因思考得多，而思想混沌。要在一節(jié)課完全實現(xiàn)教師的思考也許很難，整合思想，理出教法，還需教師在今后的教學(xué)中不斷鉆研、繼續(xù)努力。

參考文獻

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