極坐標(biāo)系下兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解分析

潘敬貞 杜龍安

[摘 ?要] 兩曲線相交是兩曲線的重要位置關(guān)系之一，高考題中?？疾閮汕€的交點(diǎn)坐標(biāo)或相交弦的長度等有關(guān)問題.已知兩曲線的極坐標(biāo)方程，求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)是近年來高考的高頻考點(diǎn)之一，解決此類問題的一般解法是先將兩曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程后再求解出交點(diǎn)坐標(biāo)，但求過程相對較為繁雜. 當(dāng)然，也可以直接在極坐標(biāo)系下先求出兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)再化為直角坐標(biāo)，但有時(shí)未能有效檢驗(yàn)而出現(xiàn)失根現(xiàn)象. 文章針對已知兩曲線的極坐標(biāo)方程求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)問題，結(jié)合兩道高考題的解答過程闡述極坐標(biāo)系下解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)何時(shí)需要檢驗(yàn)，怎樣檢驗(yàn)等問題.

[關(guān)鍵詞] 極坐標(biāo)系下;兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo);求解;分析

兩曲線相交是兩曲線的重要位置關(guān)系之一，高考題中?？疾閮汕€的交點(diǎn)坐標(biāo)或相交弦的長度等有關(guān)問題，在求解過程中經(jīng)常涉及不同曲線方程間的三個形態(tài)（極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程）的互化，在不同坐標(biāo)系下解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)等. 已知兩曲線的極坐標(biāo)方程，求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)是近年來高考的高頻考點(diǎn)之一，解決此類問題的一般解法是先將兩曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程后再求解出交點(diǎn)坐標(biāo)，但求過程相對較為繁雜. 也可以直接在極坐標(biāo)系下先求出兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)再化為直角坐標(biāo)，但有時(shí)未能有效檢驗(yàn)而出現(xiàn)失根現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生. 本文主要在極坐標(biāo)系下，對兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)求解問題結(jié)合2道高考題的解答過程進(jìn)行分析.

極坐標(biāo)系下，由于極點(diǎn)坐標(biāo)（ρ，θ）具有特殊性，即ρ=0，θ具有不確定性（θ∈R），而聯(lián)立方程組是尋求同時(shí)滿足兩個方程的未知數(shù)（ρ與θ）的值. 因此在極坐標(biāo)系下根據(jù)兩曲線的極坐標(biāo)方程直接聯(lián)立方程組，通過解方程組得到兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的過程中極易出現(xiàn)失根情況發(fā)生，失根的情形主要為當(dāng)極點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)時(shí). 所以在極坐標(biāo)系下，根據(jù)兩曲線的極坐標(biāo)方程直接聯(lián)立方程組通過解方程組求出ρ與θ的值后，需要檢驗(yàn)極點(diǎn)是否都在兩曲線上，即分別對兩個極坐標(biāo)方程進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)令ρ=0時(shí)看θ是否有解，若θ有解（θ不一定是0）則說明極點(diǎn)在該曲線上，否則說明極點(diǎn)不在該曲線上.

因此，當(dāng)已知兩曲線的極坐標(biāo)方程，求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可直接聯(lián)立兩曲線的極坐標(biāo)方程通過解方程組得到兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)方程只有一個解時(shí)，只需檢驗(yàn)極點(diǎn)是否為兩曲線的交點(diǎn)即可，此種解法方便、簡潔、有效.