淺議波利亞解題思想與關(guān)鍵能力培養(yǎng)

朱捷

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)背景下，高中數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力. 關(guān)鍵能力的培養(yǎng)不是空洞的，是需要載體的，是需要理論基礎(chǔ)的. 借助于波利亞解題思想，思考其中對能力培養(yǎng)的要求，并與關(guān)鍵能力培養(yǎng)結(jié)合起來，可以發(fā)現(xiàn)該思想確實(shí)可以與關(guān)鍵能力的培養(yǎng)形成良好的結(jié)合關(guān)系. 在實(shí)際教學(xué)中，利用典型問題的解決，讓學(xué)生體驗(yàn)波利亞解題思想，并從中尋找關(guān)鍵能力培養(yǎng)的契機(jī)，尤其是借助于學(xué)習(xí)反思，既培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力，同時又能夠提升反思能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力的養(yǎng)成，而事實(shí)證明，這是關(guān)鍵能力的重要組成部分.?

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);波利亞解題思想;關(guān)鍵能力

波利亞是數(shù)學(xué)界的名人，這位出生于匈牙利后入籍美國的世界知名的數(shù)學(xué)家，擁有著出色而不凡的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)教育思想，其對學(xué)生思考問題與分析問題的能力無比關(guān)注，他的解題思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育界研究的一個熱門選擇. 需要指出的是，此處所說的波利亞的解題思想，與我國應(yīng)試形態(tài)下的解題并非一回事，如果說我們的解題更多的是基于應(yīng)試需要而給學(xué)生一些解題技巧或者說是經(jīng)驗(yàn)的積累，那波利亞的解題思想則真正的是一種思想，一種問題解決的思想. 筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，在核心素養(yǎng)背景下理解波利亞的解題思想，似乎有著更為切合實(shí)際的價值意義. 因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)關(guān)注的一個基本內(nèi)容，就是“關(guān)鍵能力”，而所謂的關(guān)鍵能力，其內(nèi)涵之一就是一個人在新情境、陌生情境中所表現(xiàn)出來的適應(yīng)情境、解決問題的能力，作為一種關(guān)鍵能力，其在高中數(shù)學(xué)中如何得以培養(yǎng)，這是一個值得思考的問題. 而梳理波利亞的解題思想，則可以為關(guān)鍵能力的培養(yǎng)提供有益的幫助.

核心素養(yǎng)背景下波利亞解題思想解讀

核心素養(yǎng)立足培養(yǎng)的重點(diǎn)之一，就是關(guān)鍵能力，核心素養(yǎng)落地的重要標(biāo)志之一，就是關(guān)鍵能力的養(yǎng)成. 在這個背景下我們思考波利亞解題思想，琢磨他對解題的相關(guān)表述，可以獲得一些新的理解. 比如說，波利亞在其著作《怎樣解題》中，提出“當(dāng)遇到一個新問題時，我們應(yīng)該在腦海中回憶以前學(xué)習(xí)過的相關(guān)題目的知識、解題方法和解題技巧并對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移，用于找到現(xiàn)有問題的解答方案”的解題思想.

如果純粹從數(shù)學(xué)解題的角度來看，這樣的判斷就是一個解題的技巧，最多可以理解為解題的范式;而如果從核心素養(yǎng)背景下去理解，那波利亞所說的“新問題”，就可以理解為一個新情境，而“學(xué)習(xí)過的相關(guān)題目的知識、解題方法和解題技巧”就是在新情境中解決問題的工具，工具使用如何才能有效，關(guān)鍵取決于“遷移”，遷移才是“找到現(xiàn)有問題的解答方案”的關(guān)鍵，而一個人在實(shí)際生活中遇到問題的時候，所要遵循的不正是這種解決思路嗎？而這不正是生活所需要的關(guān)鍵能力嗎？因此可以認(rèn)為波利亞解題思想確實(shí)蘊(yùn)含著學(xué)生甚至是一個人成長所需要的內(nèi)涵.

波利亞的著作《怎樣解題》中，對其解題思想的概括可以從四個步驟來理解，這四個步驟分別是：第一步，弄清問題;第二步，擬定計劃;第三步，實(shí)現(xiàn)計劃;第四步，回顧反思. 弄清問題是解決問題的基礎(chǔ)，也是問題解決能力（關(guān)鍵能力）體現(xiàn)的重要標(biāo)志，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決中，常常弄不清自己要解決的問題，這意味著其缺乏分析問題中的已知條件與自己經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中已有知識的關(guān)系，弄不清所要解決的問題與已知條件的可能的關(guān)系. 從數(shù)學(xué)解題的角度來看，解決這個問題，通常是需要形成圖示（思維導(dǎo)圖）來表示解題思路的，這個圖未必要畫出來，但一定會出現(xiàn)在問題解決者的大腦中，這就是“弄清問題”的關(guān)鍵，也是關(guān)鍵能力形成的前提;擬定計劃是問題解決的關(guān)鍵，也是梳理解題思路的重要環(huán)節(jié)，波利亞在描述尋找已知與未知聯(lián)系的時候，提出了“輔助問題”的觀點(diǎn)，即“一個與當(dāng)前問題有關(guān)，且已經(jīng)能夠被解決的問題”，這實(shí)際上是在已知和未知之間尋找一個橋梁，尋找輔助問題，本身就是關(guān)鍵能力的表現(xiàn). 這實(shí)際上是在提醒我們，如果超越了數(shù)學(xué)范疇而面臨生活中的任何一個問題的解決，那在問題解決比較困難的時候，應(yīng)當(dāng)從已知問題中分析得出一個輔助問題，以使其能夠促進(jìn)對新問題的理解，實(shí)際情形中，無論是高端的科學(xué)研究，還是生活問題解決，這樣的思想都是客觀存在且能夠充分發(fā)揮作用的.

由此可見，波利亞解題思想對于關(guān)鍵能力培養(yǎng)來說，確實(shí)可以說是一個重要源泉.

基于波利亞解題思想去培養(yǎng)關(guān)鍵能力

上面從理論上論證了基于波利亞解題思想去培養(yǎng)關(guān)鍵能力的可能性，那這種可能性能不能變成實(shí)踐中的可能性呢？盡管我們還不能從當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中立即培養(yǎng)出學(xué)生在未來可用的關(guān)鍵能力，但為這種能力奠定堅實(shí)基礎(chǔ)，那還是可行的，也是必需的. 這里就以數(shù)學(xué)解題中的相關(guān)思考為例來闡述.

其實(shí)，波利亞十分注重對學(xué)生“反思性思維能力”的培養(yǎng)，倡導(dǎo)解題（問題解決，筆者注）過程中數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，他主張對解題結(jié)論的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的想象力. 在類似于上面的習(xí)題解決的過程中，筆者認(rèn)為最后一步反思回顧是最重要的，真正有效的反思回顧過程應(yīng)當(dāng)是兩步：先回顧，后反思. 回顧的內(nèi)容包括自己最初是如何思考問題的，是如何尋找解決問題的辦法的，然后將這個過程與正確的解決思路進(jìn)行對比，以發(fā)現(xiàn)自己思路的可取的地方與不足的地方，同時還需要重點(diǎn)反思的是：自己怎樣才能像標(biāo)準(zhǔn)解法一樣，更迅速地尋找到解決問題的辦法. 波利亞說這是一個想象的過程，實(shí)際上是非常準(zhǔn)確的，因?yàn)閷W(xué)生在反思回顧的過程中，需要想象自己如果能夠正確、迅速地解決問題情境，并想象其中自己的思維應(yīng)當(dāng)是怎樣的. 這種基于已有解題經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建理想情況下的解題過程，是能力形成的最關(guān)鍵的一環(huán). 其可以在以后的類似問題的解決中得到檢驗(yàn)，同時也是形成關(guān)鍵能力的至關(guān)重要的一步.

筆者在上面一個問題中引導(dǎo)學(xué)生思考：在弄清問題的環(huán)節(jié)，自己有沒有想到從已知條件中的兩個三角函數(shù)去通過共同的形式進(jìn)行處理;在制定計劃中，自己在建立條件與所求之間關(guān)系的時候是否順利;而在實(shí)現(xiàn)計劃中，最關(guān)鍵的一步，就是讓學(xué)生思考利用不等式來轉(zhuǎn)換原有問題是不是自己的第一反應(yīng)，如果不是，那怎樣才能是？這樣的問題，往往能夠驅(qū)動學(xué)生形成超越某一試題本身的思考，尤其是對于高中學(xué)生而言，這樣的思考確實(shí)可以借助于他們的理性思考能力，從而轉(zhuǎn)換為解決包括數(shù)學(xué)問題在內(nèi)的所有問題的關(guān)鍵能力.

值得注意的是，對反思回顧這一環(huán)節(jié)本身的回顧，也是有意義的，這相當(dāng)于促進(jìn)學(xué)生生成一種元認(rèn)知能力，即關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知，從心理學(xué)的角度來看，這對于關(guān)鍵能力的形成具有提純、矯正作用，不能忽視.

以學(xué)習(xí)反思培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

其實(shí)，在筆者看來，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視反思能力的培養(yǎng)，怎么強(qiáng)調(diào)都不算過分. 當(dāng)前應(yīng)試形態(tài)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，確實(shí)能夠幫學(xué)生奠定堅實(shí)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，也能夠培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的問題解決能力. 但最關(guān)鍵的一點(diǎn)是，由于應(yīng)試背景下，學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力非常大，他們往往在解完一道題之后就想著去解決另一道試題，根本沒有時間進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，這是非常遺憾的，也是數(shù)學(xué)教學(xué)之美中不足.

筆者以為，就一些重要的或經(jīng)典的試題進(jìn)行學(xué)習(xí)反思能力的培養(yǎng)非常必要，而且學(xué)習(xí)反思要么不做，做就要做扎實(shí)，要讓學(xué)生真正領(lǐng)會到反思的作用，要讓學(xué)生真正能夠感覺到反思是可以提升其解題能力的（這可以通過變式訓(xùn)練來讓學(xué)生體會成就感）. 實(shí)踐表明，一旦學(xué)生認(rèn)識到反思的價值，那在其他場合他們也能夠自覺地運(yùn)用反思，我們說在生活中，其實(shí)也是需要這種反思能力的，因而這樣的教學(xué)過程恰恰就是關(guān)鍵能力培養(yǎng)的重要組成部分.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，波利亞解題思想是有著源源不斷的智慧力量的，在核心素養(yǎng)背景下，借助于這個思想培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力也是可行的，筆者感覺同行們應(yīng)當(dāng)努力嘗試.