基于流量脈動系數(shù)的齒輪泵齒廓的主動設計及特性分析

(1.南京工程學院 機械工程學院， 江蘇 南京 211167； 2.中南大學 機電工程學院， 湖南 長沙 410083；3.廈門理工學院 機械與汽車工程學院， 福建 廈門 361024)

引言

齒輪泵具有體積小、重量輕、轉速范圍大、自吸性能好等優(yōu)點，被廣泛應用于機床、冶金、礦山、航天等機械產(chǎn)品的液壓系統(tǒng)中。齒輪泵輸出流量脈動大的缺陷(流量脈動高達15%～27%)限制了齒輪泵的使用范圍[1-3]。目前，降低齒輪泵流量脈動的方法主要有[4]：采用級聯(lián)齒輪泵，通過二級并聯(lián)齒輪泵的輸出流量進行疊加，可使齒輪泵的總體輸出流量脈動下降，三級以上的并聯(lián)齒輪泵可使流量脈動下降的更多，但制造和裝配的難度更大；采用平衡式復合齒輪泵，由于平衡式復合齒輪泵內(nèi)部各齒輪的相位相錯， 使得其流量脈動有所下降；采用非對稱漸開線齒輪泵，采用非對稱漸開線齒形齒輪泵，其瞬時流量的脈動頻率增高，振幅自然有所下降。另外，還有通過增設濾波器、采用雙模數(shù)齒輪、采用新型結構等降低齒輪泵的流量脈動，但效果均不明顯[1,5]。綜上所述，有些降低齒輪泵流量脈動的方法效果不明顯，而有些方法雖然降低了齒輪泵的流量脈動，但是其結構較為復雜，使得齒輪泵的加工成本增加。

利用主動設計方法，可以在設計階段對齒面?zhèn)鲃有阅苓M行直接、有效的控制，以此獲得齒廓曲線方程或基本產(chǎn)形齒條方程。近年來，基于功能需求或預定嚙合性能或給定運動規(guī)律的齒廓主動設計已經(jīng)成為齒輪領域的研究熱點。YE等[6]以傳動性能指標最優(yōu)為設計條件，建立了基本產(chǎn)形齒條的齒廓方程，并以線接觸斜齒輪為例，研究了設計參數(shù)對共軛齒廓曲率半徑、齒面潤滑油膜最小厚度的影響。LIN等[7]引入嚙合角函數(shù)的概念，建立了描述平面齒輪共軛齒廓幾何特征的通用數(shù)學模型，并設計了圓形及非圓齒輪齒廓。田興等[8]采用少齒數(shù)的非對稱漸開線直齒輪主動設計方法，計算了不同齒數(shù)齒輪副的參數(shù)以及齒輪副嚙合所能達到的最大重合度。王建等[9]提出了一種基于壓力角函數(shù)的高重合度齒輪的主動設計方法。陳廣艷等[10]根據(jù)齒面印痕的偏移，識別相應的當量錯位，并將其反饋到齒面設計中，提出了弧齒錐齒輪的主動設計方法。

本研究將主動設計引入到齒輪泵設計領域，以齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為設計變量，建立了基于流量脈動系數(shù)的齒廓齒廓的數(shù)學模型，給出了齒廓約束限制條件，通過預設定齒輪泵的流量脈動系數(shù)，可以實現(xiàn)對齒輪齒廓進行直接、有效的控制。

1 基于流量脈動系數(shù)的齒廓主動設計的數(shù)學模型

1.1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪齒廓的數(shù)學描述

如圖1所示，坐標系∑1(x1,o1,y1)與主動齒輪相固連，坐標系∑2(O2,x2,y2)與從動齒輪相固聯(lián)，∑0(O0,x0,y0)為固定坐標系，定義極距λ表示齒輪嚙合點P1到節(jié)點P的距離，α為壓力角函數(shù)，其可表示為轉角φ的一次函數(shù)，即：

(1)

其中，C0和C1分別為壓力角函數(shù)的系數(shù)，C0的取值范圍為0

圖1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪嚙合坐標系

若采用λd表示當嚙合點位于主動齒輪的齒根圓和節(jié)圓之間時的極距，采用λa表示當嚙合點位于主動齒輪的齒頂圓和節(jié)圓之間時的極距，由文獻[9]可知，下式成立:

(2)

主從動齒輪的齒廓方程可表示為[9]:

(3)

(4)

其中，u表示齒輪傳動比，r1表示主動齒輪的節(jié)圓半徑，E和F可表示為：

E=sin(C0+C1φ)-sinC0

F=sin(C0-C1φ)-sinC0

當φ取正值時，式(3)和式(4)分別代表從動齒輪齒根和主動齒輪齒頂部分的方程，反之，當φ取負值時，式(3)和式(4)分別代表從動齒輪齒頂和主動齒輪齒根部分的方程。

1.2 齒輪泵流量脈動系數(shù)的數(shù)學模型

流量脈動系數(shù)的值越大，表示出口處流量脈動越嚴重，反之越平緩。流量脈動系數(shù)δ可表示為：

(5)

式中， (Qsh)max， (Qsh)min分別表示瞬時流量的最大值以及最小值。

圖2為齒輪泵的工作原理圖，由文獻[11]可知，主從動齒輪包圍壓油腔的齒面所掃過的容積dV1和dV2可分別表示為：

(6)

(7)

其中，re1，rc1分別表示主動齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑，re2和rc2分別表示從動齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑，B為齒輪齒寬。

在dt時間內(nèi)，齒輪泵排出油液的體積為主從動齒輪掃過的容積之和，即dV1=dV1+dV2，則瞬時流量可表示為：

(8)

根據(jù)齒輪泵中主從動齒輪的齒數(shù)、模數(shù)和壓力角分別相等，式(8)可進一步簡化為：

(9)

其中，r表示兩齒輪的節(jié)圓半徑，λ表示極距，是φ的函數(shù)。

圖2 齒輪泵工作示意圖

由式(9)可知，齒輪泵的瞬時流量隨著極距λ或轉角φ呈拋物線規(guī)律變化。當嚙合點與節(jié)點重合時，即當λ=0時，瞬時流量最大，其最大值可表示：

(10)

圖3為齒輪嚙合示意圖，其中B點和E點分別表示嚙合起始點和脫離嚙合點，兩齒輪在B點進入嚙合并開始排油，到C點時排油結束，而在C點和E點之間的過程，第1對輪齒不參與排油，此為1個周期，以后各對輪齒都重復上述周期。根據(jù)文獻[11]，外嚙合齒輪泵瞬時流量的最小值發(fā)生在齒輪剛進入嚙合開始排油的時刻，由式(3)和式(9)可知，其最小值可表示為：

(11)

其中，φB為B點所對應的φ角值。

圖3 齒輪嚙合示意圖

將式(10)、式(11)帶入式(5)可得，齒輪泵的流量脈動系數(shù)可表示為：

1.3 基于流量脈動系數(shù)的齒廓數(shù)學描述

將式(12)進一步變換并代入式(3)和式(4)，齒廓方程可表示為：

φ≥0

φ≤0

(13)

φ≥0

φ≤0

(14)

1.4 齒廓約束限制條件

齒廓的形成與壓力角函數(shù)系數(shù)的C1和C0的取值有很大關系，若C1和C0的取值不當則齒廓會出現(xiàn)尖點或交叉，因此必須限制C1和C0的取值，以避免發(fā)生齒頂變尖和齒廓交叉。

圖4為一個輪齒齒頂部分(分度圓和齒頂圓之間)的兩側齒廓，虛線為輪齒中心線，由圖4可知，當齒廓k0與中心線相交時，齒頂圓上的齒寬為0，即齒頂變尖。此時的流量脈動系數(shù)即為最小值δmin。

圖4 齒廓曲線示意圖

由圖4可知，齒頂圓的直角坐標方程為：

(15)

聯(lián)立式(3)和式(15)，可得C1和C0的關系式為：

Ecos[C0+(1+C1)φ]=C1(cosφ+sinφ) (16)

其中，φ為齒輪轉角，其值為φ=90/z。

根據(jù)式(16)，對C1賦值，可求出C0的值。將C0和C1分別帶入式(12)，可得δmin為：

(17)

因此，要避免齒頂變尖，預先給定的流量脈動系數(shù)的限制條件為δ>δmin，即:

(18)

齒輪1上點的曲率為:

(19)

由式(19)可知，當曲率為正時，齒廓為凸齒廓，因此齒廓出現(xiàn)尖點的條件為曲率半徑為0，即:

(20)

即通過式(18)和式(20)即可確定壓力角函數(shù)系數(shù)C0和C1的取值范圍。同理可知，式(18)和式(20)對齒輪2同樣成立。

2 設計實例

圖5 流量脈動系數(shù)曲線

C0π/6π/7π/8π/9C1[0.01,0.7)[0.08,1.3)[0.1,1.6)[0.2,2)

根據(jù)圖5，選擇C0=π/6，π/7，π/8的曲線，預先給定齒輪泵的流量脈動系數(shù)分別為δ=10%，11%，12%，則對應的C1的值分別為0.18，0.4，1.09，將其帶入式(13)和式(14)，可分別得到主動齒輪和從動齒輪齒廓的方程。圖6為繪制的3種流量脈動系數(shù)下的齒輪齒廓曲線，為了便于比較，圖6還給出了相同參數(shù)(除壓力角不同外，其壓力角為α=20°)的漸開線齒輪的齒廓曲線。

由圖6可知：在分度圓和齒頂圓之間，隨著流量脈動系數(shù)的增大，齒輪的輪齒寬度逐漸增大，且均小于漸開線齒輪輪齒的齒寬；在分度圓和齒根圓之間，隨著流量脈動系數(shù)的增大，齒輪的輪齒寬度逐漸減小，且均大于漸開線齒輪輪齒的齒寬，有利于提高齒輪的齒根彎曲強度。

圖6 齒廓曲線對比

3 齒輪泵結構設計及特性分析

3.1 結構設計

本研究設計的齒輪泵屬于低壓齒輪泵，故齒輪泵采用三片式結構?；诹髁棵}動系數(shù)的齒輪泵的參數(shù)為：C0=π/6，C1=0.18，流量脈動系數(shù)δ=10%。如圖7所示的整體結構圖，主要由泵體、齒輪、前端蓋、軸承、骨架油封等零部件組成，齒輪與軸之間采用平鍵連接。泵體、前、后端蓋材料為QT500-7球墨鑄鐵，齒輪材料為40Cr，軸材料為45鋼，軸承為SF-1無油潤滑軸承或滾針軸承。圖8和圖9分別為加工出的齒輪和裝配好的齒輪泵。

1.前蓋 2.定位銷 3.密封圈 4.從動輪 5.滑動軸承 6.從動軸 7、8.平鍵 9.主動軸 10.滾動軸承 11.主動輪 12.殼體 13.后蓋 圖7 齒輪泵整體結構圖

圖8 加工出的齒輪

設計參數(shù)取值功率P/kW0.21額定轉速n/r·min-11450額定壓力F/MPa2.5傳動比u1.0額定流量Q/L·min-14總效率η80%使用壽命/h5000齒寬B/mm8

圖9 裝配好的齒輪泵

3.2 特性分析

1) 瞬時流量

齒輪泵的瞬時流量可以從微觀的角度反映出齒輪泵的吸油排油過程。將齒輪泵的結構參數(shù)代入式(11)和式(12)可得，齒輪泵瞬時流量的最大值和最小值分別為4.373 L/min和3.936 L/min。為了便于比較，本研究同樣計算出了相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的最大和最小瞬時流量，分別為4.373 L/min和3.964 L/min。與漸開線齒輪泵相比，所設計的齒輪泵的最小瞬時流量增加了6.6%，最大瞬時流量和漸開線齒輪泵相同，上述結果表明，所設計齒輪泵的瞬時流量波動幅度、嚙合沖擊和運轉平穩(wěn)性均優(yōu)于漸開線齒輪泵。

2) 幾何排量

齒輪轉動1周，吸油和排油各1次，齒輪泵的排量可表示為：

q=zVn

(21)

其中，Vn表示1對輪齒在1次嚙合過程中所排出液體的體積，可利用下式求得：

(22)

利用數(shù)值計算方法，可得齒輪泵的排量為：

(23)

將齒輪參數(shù)分別帶入式(23)，可得所設計出齒輪泵的排量為2.759 mL/r。根據(jù)文獻[12]，可計算出相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的排量為2.733 mL/r。與漸開線齒輪泵相比，所設計齒輪泵的排量增加了0.9%。

3) 平均流量

平均流量表示排油量的平均值，可以從宏觀的角度反映齒輪泵的吸排油過程，可表示為：

Qm=q·n

(24)

利用上式計算可得所設計齒輪泵和漸開線齒輪泵的平均流量分別為4 L/min和3.963 L/min。通過對比可知，所設計出的齒輪泵的平均流量比漸開線齒輪泵增加了0.9%。

4) 流量脈動系數(shù)

將齒輪泵瞬時流量的最大值和最小值分別代入式(5)，可計算得到所設計齒輪泵和漸開線齒輪泵的流量脈動系數(shù)分別為10%和15.5%。為了便于和理論結果進行比較，利用MATLAB軟件，對齒輪泵的最大和最小瞬時流量、流量脈動系數(shù)在(0, 8 ms)內(nèi)進行了仿真，如圖10所示。表3同時給出了其具體數(shù)值。為了進行比較，本研究利用如圖11所示的齒輪泵試驗臺在額定轉速和額定壓力下進行了測試，測試時間5 min，測試結果如表3所示。

a.本研究設計的齒輪泵 b.漸開線齒輪泵圖10 仿真曲線

齒輪泵最大瞬時流量Qmax/L·min-1最小瞬時流量Qmin/L·min-1平均流量Q/L·min-1流量脈動系數(shù)δQ/%本研究設計的齒輪泵仿真值4.3733.9034.13810.5實驗值4.2543.8394.0499.75漸開線齒輪泵仿真值4.3733.7084.04115.2實驗值4.1563.6373.88912.5

圖11 齒輪泵測試試驗臺

由表3可知：

(1) 從仿真結果來看，兩齒輪泵最大瞬時流量相同，本研究所設計齒輪泵的最小瞬時流量比相同參數(shù)的漸開線齒輪泵增大了5.3%，平均流量增大了2.4%，流量脈動系數(shù)減小了29.6%；

(2) 從試驗結果來看，本研究所設計的齒輪泵的最大瞬時流量、最小瞬時流量比漸開線齒輪泵分別增加了2.3%和5.3%，流量脈動系數(shù)減少了22%；

(3) 本研究所設計的齒輪泵的流量脈動系數(shù)的初始給定值為10%，仿真得出的數(shù)值為10.5%，試驗測得的值為9.75%，均在誤差允許的范圍內(nèi)，說明了本研究設計方法的正確性。

4 結論

傳統(tǒng)的降低齒輪泵流量脈動的方法是以結構復雜為代價的，齒輪泵的結構和工藝在各類液壓泵中結構最簡單的優(yōu)點近乎喪失。本研究從齒輪齒廓的設計入手，推導了采用極距和壓力角函數(shù)描述的齒廓方程，以齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為設計變量，建立了基于流量脈動系數(shù)的齒廓主動設計的數(shù)學模型。其優(yōu)點是將齒輪泵的流量脈動系數(shù)作為一個給定值，即在設計的同時，就已經(jīng)知道了流量脈動系數(shù)的大小。研究成果可為緩解齒輪泵的流量脈動提供理論依據(jù)和技術支持，并為齒輪泵的設計提供一個新的思路和更為廣闊的研究空間。