移動的隧道軸向激勵作用下兩相多孔介質(zhì)動力反應(yīng)

包漢營， 陳文化

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044)

城市地下軌道交通的迅猛發(fā)展，緩解了路面交通的擁堵狀況，同時也產(chǎn)生了許多環(huán)境振動與噪聲等問題。對于這一熱點(diǎn)問題的研究主要包括兩個方面：一是地鐵列車與軌道系統(tǒng)的研究；二是地鐵振動在地基中的傳播及其對地面建筑影響的研究。

針對振動的傳播及其影響的研究主要有以下內(nèi)容：① 單相均質(zhì)土體在內(nèi)部移動荷載作用下的動力響應(yīng)研究。該方向的研究將土體視為單相均勻介質(zhì)，根據(jù)是否考慮隧道結(jié)構(gòu)，振動荷載的形式又包括埋置移動荷載和隧道內(nèi)部移動荷載兩種類型，研究方法主要有理論解析法[1-2]和有限元法[3-5]；② 兩相多孔均勻介質(zhì)在內(nèi)部移動荷載作用下的動力響應(yīng)研究?？紤]到富水(地區(qū)隧道往往處于地下水位以下，因此這一階段的研究將土體視為飽和土體，用Biot飽和多孔介質(zhì)模型來模擬地基土，振動荷載的形式包括完全對稱式[6-7]和非對稱式[8-10]，Lu等利用波函數(shù)展開法分別研究了無襯砌隧道和襯砌隧道內(nèi)部移動環(huán)形荷載作用下全空間飽和土體的動力響應(yīng)問題；曾晨等分別采用有限元法和Biot飽和多孔介質(zhì)理論等研究了地鐵列車荷載引起的隧道-飽和土體的動力響應(yīng)問題；③ 移動荷載作用下分層介質(zhì)的動力響應(yīng)研究。該方向的研究對象包括單相分層介質(zhì)[11-12]和兩相多孔分層介質(zhì)[13-14]，研究方法主要為數(shù)值方法和半解析-半數(shù)值的方法。Sheng等采用離散波數(shù)虛擬力法、薄層法等研究了內(nèi)部移動荷載作用下單相層狀半空間的動力響應(yīng)，胡安峰等采用傳遞反射矩陣法、格林函數(shù)法等研究了成層飽和地基在移動荷載作用下的動力響應(yīng)，并討論了荷載移動速度、荷載頻率等因素對動力響應(yīng)的影響。

地鐵列車在進(jìn)出站以及緊急制動過程中會產(chǎn)生沿隧道軸向的激勵作用，這種沿行駛方向的激勵作用是引起隧道和周圍介質(zhì)振動的重要因素之一。目前針對沿列車行駛方向激振力所產(chǎn)生的動力問題的研究，主要集中在普通鐵路中列車-高架橋梁動力響應(yīng)分析[15]，以及地鐵地面線路中軸向激勵對地鐵車站的影響等[16]，對于城市地下軌道交通中，移動的隧道軸向激振力作用下半空間飽和土體動力響應(yīng)的研究相對較少。本文利用波函數(shù)展開法、鏡像原理、傅里葉變換法等，推導(dǎo)了頻域內(nèi)隧道軸向激勵作用下飽和土體動力響應(yīng)的解析解，并給出了飽和土體臨界速度的經(jīng)驗(yàn)公式；通過快速傅里葉逆變換得到了時-空域內(nèi)飽和土體的動力響應(yīng)，并研究了激振力移動速度、土體剪切模量、隧道埋深、角度、孔隙率等對飽和土體動力響應(yīng)的影響，研究成果對探究地鐵隧道振動的響應(yīng)規(guī)律以及減振降噪方面有一定的參考價值。

1 軸向激勵作用下兩相多孔介質(zhì)動力響應(yīng)求解

1.1 軸向激勵作用下兩相多孔介質(zhì)動力分析模型

圖1 移動的隧道軸向激勵作用下飽和土體分析模型

1.2 兩相多孔介質(zhì)振動控制方程及求解

將土體視為飽和多孔彈性介質(zhì)，不計體力，由Biot飽和土理論[17]，隧道外圍飽和土體及孔隙水的本構(gòu)方程和運(yùn)動方程為

σij=2μεij+λδije-αδijp

(1)

p=-αMe+M?

(2)

(3)

(4)

式中：σij、εij(i，j=1、2、3)為飽和土體應(yīng)力張量和應(yīng)變張量；p為孔隙水壓力；δij為克羅奈克符號；e、?分別為土體骨架體積應(yīng)變和單位體積內(nèi)孔隙流體改變量，e=ui,i，?=-wi,i；ui、wi(i=1、2、3)分別為土體骨架位移和孔隙水的滲透位移分量；λ、μ為土體的拉梅常數(shù)；α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的Biot系數(shù)；ρb、ρf分別為飽和土體密度和孔隙水密度，ρb=(1-ne)ρs+neρf，ρs為土體骨架密度；ne為土體的孔隙率；m=a∞ρf/ne，a∞為孔隙流體彎曲系數(shù)；η為孔隙流體黏性系數(shù)；k為孔隙流體動力滲透系數(shù)。

分別取隧道半徑r0，土體拉梅常數(shù)λ和孔隙水密度ρf為特征尺度，引入以下無量綱變量，對式(3)、(4)進(jìn)行無量綱化處理

其中X表示與r0有相同量綱的變量，如ui、wi、r、H等。將以上無量綱變量代入式(3)、(4)即可將運(yùn)動方程變?yōu)闊o量綱運(yùn)動方程，為簡化表達(dá)方式，后續(xù)公式中的無量綱變量將省略上標(biāo)“*”。

在求解控制方程時，需對控制方程進(jìn)行傅里葉正、逆變換，本文采用以下傅里葉變換對

(5)

(6)

式中：Ω表示時間或空間坐標(biāo)變量；ζ表示頻率或波數(shù)。

為求解式(1)～式(4)，用Helmholtz勢函數(shù)表示位移

(7)

(8)

將式(7)、(8)代入式(3)、(4)，并對飽和土體運(yùn)動方程進(jìn)行時域到頻域的傅里葉變換得

(9)

(10)

對式(9)、(10)進(jìn)行空間坐標(biāo)z1到波數(shù)ξ的傅里葉變換得

(11)

(12)

(13)

(14)

針對軸向激振力引起的介質(zhì)波動特性，采用如圖2所示的鏡像原理，以自由表面為鏡面對稱出虛擬振源。根據(jù)鏡像原理可得

(15)

(16)

由此可得總波場為

(17)

(18)

圖2 鏡像原理

由Graf加法公式及貝塞爾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得

(19)

其中

將式(19)代入式(17)、(18)得

(20)

(21)

參考文獻(xiàn)[2,6-7]中的處理方式，隧道內(nèi)部邊界條件為

(22)

對式(22)進(jìn)行t到ω，z1到ξ的雙重傅里葉變換得

(23)

由以上各式及邊界條件可得

(24)

其中

L1=

柱坐標(biāo)系下土體骨架位移及應(yīng)力為

(25a)

(25b)

后續(xù)推導(dǎo)以位移響應(yīng)為例，對式(2)、(25a)進(jìn)行t到ω，z1到ξ的雙重傅里葉變換得

(26)

(27)

將式(20)代入式(26)得

(28)

(29)

(30)

對式(28)～式(30)進(jìn)行ξ到z1的傅里葉逆變換，得到頻域內(nèi)位移和孔隙水壓力的解答

(31)

(32)

(33)

式中：L1、L2、L3、rt中的ξ=-ω/v。

2 動力響應(yīng)及參數(shù)分析

2.1 確定土體臨界速度vcr

由式(31)～式(33)計算r1=1.5r0處飽和土體的動力響應(yīng)，圖3～圖5中(a)圖為ω=10、(b)圖為ω=20時的動力響應(yīng)，橫坐標(biāo)為無量綱速度。其中文獻(xiàn)[18]采用的是最小二乘法處理自由表面邊界，雖然文獻(xiàn)[18]分析的是單相介質(zhì)問題，但是其處理自由表面邊界的方法可以應(yīng)用于兩相介質(zhì)當(dāng)中，圖3～圖5即為兩種不同邊界處理方法計算得到的兩相飽和介質(zhì)的動力響應(yīng)。由圖可以看出，兩種方法的計算結(jié)果能夠較好的吻合，且不同角頻率下的動力響應(yīng)隨著激振力移

(a)

(a)

(a)

vcr=a(μ/λ)bv0

(34)

圖6 剪切模量對土體臨界速度的影響

(35)

由式(35)及圖3～圖5可以看出移動的隧道軸向常激勵作用下，飽和土體的臨界速度僅與土體的剪切模量以及密度有關(guān)，與隧道埋深、響應(yīng)頻率等因素?zé)o關(guān)，同時，臨界速度的數(shù)值接近于1.1倍的剪切波速。后續(xù)內(nèi)容將分別討論以下兩種工況，工況一:速度小于臨界速度，取0.65v0；工況二：速度大于臨界速度，取2.60v0。

2.2 剪切模量對動力響應(yīng)的影響

土體的無量綱剪切模量分別取1.0、1.5、和2.0，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，圖7～圖9分別為時域內(nèi)剪切模量對土體徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的影響曲線。

由圖7～圖9可以看出：工況一中各動力響應(yīng)隨著μ的增大而減小，但達(dá)到最大振幅的時間不隨μ的增大而變化；工況二中各動力響應(yīng)隨著μ的增大而增大，uθ達(dá)到最大值的時間隨著μ的增大而減?。怀龔较蛭灰仆?，對于同一響應(yīng)，μ取相同數(shù)值時，工況一的響應(yīng)幅值明顯小于工況二的響應(yīng)幅值，達(dá)到幅值的時間明顯大于工況二的時間。

(a) v

(b) v>vcr

Fig.7 Influence of shear modulus on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.8 Influence of shear modulus on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.9 Influence of shear modulus on the axial vibration displacement of a particle

2.3 隧道埋深對動力響應(yīng)的影響

無量綱隧道埋深H分別取3、5、10、12、15(由于H對不同動力響應(yīng)的影響程度不同，為了清楚的反映其影響規(guī)律，以下計算中H的取值略有不同)，無量綱剪切模量取1.0，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，圖10～圖12為隧道的埋深對土體徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的影響曲線。

(a) v

(b) v>vcr

Fig.10 Influence of embedded depth on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.11 Influence of embedded depth on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.12 Influence of embedded depth on the axial vibration displacement of a particle

由圖10可以看出：工況一和工況二兩種情況下，ur隨H的變化較小，但工況一對應(yīng)的最大振幅大于工況二對應(yīng)的最大幅值，這與2.2節(jié)中μ=1.0時兩種工況下徑向位移的響應(yīng)規(guī)律相符；由圖11可以看出：uθ隨著H的增加而減小，工況一中達(dá)到最大振幅的時間不受H影響，工況二中達(dá)到最大振幅的時間隨著H的增加而增加；由圖12可以看出：uz隨著H的增加有小幅度減小，工況一中，當(dāng)H超過10時，uz趨于穩(wěn)定；工況二中，uz隨著H的增加波動性減弱，這是由于隨著埋深的增大，自由表面的反射波對響應(yīng)的影響越來越小。

2.4 不同角度的動力響應(yīng)規(guī)律

無量綱剪切模量取1.0，無量綱隧道埋深取10，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，角度分別取π/12、π/4、π/2、3π/4、11π/12。圖13～圖15分別為不同角度處土體的徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移曲線圖。

由圖13、圖15可以看出：工況一中，不同角度處土體的ur和uz變化很小，而工況二中ur和uz都出現(xiàn)了第二波峰，這說明荷載速度大于臨界速度時自由表面反射波對響應(yīng)的影響更大；由圖14可以看出：兩種工況下，水平位置處的uθ最大，由水平位置向拱頂和仰拱處逐漸減小，拱頂處位移略大于仰拱處位移。

2.5 孔隙率對動力響應(yīng)的影響

圖16～圖18分別為移動的隧道軸向常激勵作用下，r1=6r0處單相土體和不同孔隙率的飽和土體的徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的變化曲線。無量綱剪切模量取1.0，無量綱隧道埋深取15，飽和土體的孔隙率分別取0.30和0.48。當(dāng)飽和土體的參數(shù)α、M、ne、a∞、η/k等取值趨于零時，可將飽和土體退化為單相土體，軸向激勵的移動速度取0.65v0和2.60v0，其中v0取ne=0.3時的速度，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)。

由圖16～圖18可以看出：兩種工況下，介質(zhì)的孔隙率對振動響應(yīng)的影響規(guī)律截然相反。工況一中，單相土體的動力響應(yīng)幅值最大，隨著飽和土體孔隙率的增加，動力響應(yīng)幅值逐漸減?。还r二中，飽和土體的孔隙率越大，動力響應(yīng)幅值越大，單相土體的動力響應(yīng)幅值最小。由此可知，實(shí)際工程計算中，當(dāng)vvcr時，用單相土體所計算的結(jié)果是不安全的，因此，此種工況下必須將地基視為多孔介質(zhì)進(jìn)行計算。

3 結(jié) 論

(1) 利用波函數(shù)展開法、傅里葉變換法、鏡像原理等推導(dǎo)了移動的地鐵隧道軸向激勵作用下，兩相多孔介質(zhì)動力響應(yīng)的解析解；飽和土體在隧道軸向移動激振力作用下存在臨界速度，當(dāng)速度達(dá)到臨界速度時，飽和土體的動力響應(yīng)幅值達(dá)到最大；臨界速度只與飽和土體的剪切模量和密度有關(guān)，與響應(yīng)頻率、隧道埋深等因素?zé)o關(guān)；移動的軸向常激勵作用下，飽和土體臨界速度接近于土體剪切波速的1.1倍。

(a) v

(b) v>vcr

Fig.13 Influence of angel on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.14 Influence of angel on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.15 Influence of angel on the axial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.16 Influence of porosity on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.17 Influence of porosity on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.18 Influence of porosity on the axial vibration displacement of a particle

(2)vvcr時，振動位移隨著剪切模量的增大而增大。隧道埋深對飽和土體的環(huán)向位移的影響較大，隨著埋深的增加環(huán)向位移有明顯的減小；對徑向位移和軸向位移的影響較小，v

(3) 移動的軸向常激勵作用下，不同角度處的環(huán)向位移變化較大，不論vvcr，水平位置處土體的環(huán)向位移始終最大，仰拱處土體環(huán)向位移最小。vvcr時，動力響應(yīng)幅值隨著土體孔隙率的增加而增大，單相土體的動力響應(yīng)幅值最小。