基于Tikhonov正則化迭代求解的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

夏志鵬， 王樹青， 徐明強， 王皓宇

(中國海洋大學 海洋工程系， 山東 青島 266100)

海洋平臺結(jié)構(gòu)長期服役在惡劣的海洋環(huán)境中，容易產(chǎn)生各種形式的損傷，使結(jié)構(gòu)的承載能力下降，甚至導致平臺失效，造成巨大經(jīng)濟損失及人員傷亡[1]。因此，針對海洋平臺結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測與損傷識別非常重要。目前結(jié)構(gòu)損傷檢測的方法眾多[2-3]，基于振動測試的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)相對較為簡單且成本較低，是非常具有發(fā)展前景的損傷識別技術(shù)[4]。其中，基于模態(tài)參數(shù)的損傷檢測是近年來新興且有效的檢測手段。

在某些情況下，基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷識別過程可以簡化為線性方程組Cα=b的求解問題。當不考慮測量噪聲或噪聲干擾較小時，該系統(tǒng)的求解往往可以得到滿意的結(jié)果；而當結(jié)構(gòu)測量模態(tài)信息受噪聲影響較為嚴重時，系統(tǒng)的求解結(jié)果往往會振蕩發(fā)散，導致檢測方法失效。因此，噪聲魯棒性是此類損傷識別技術(shù)在發(fā)展過程中必須考慮的問題。

從數(shù)學的角度看，利用結(jié)構(gòu)的振動測試數(shù)據(jù)識別其損傷是求解反問題的過程，其不適定性體現(xiàn)在所構(gòu)建系統(tǒng)的病態(tài)上，即微小的測量誤差都可能導致解的振蕩發(fā)散。為解決這一問題，學者們做了大量研究[5-11]。其中，基于Tikhonov正則化[12]的方法應(yīng)用較為廣泛，其基本思想是：用一族與原問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的真實解。王藝霖等將Tikhonov 正則化方法用于結(jié)構(gòu)的損傷識別，一定程度上改善了系統(tǒng)的不適定性，提高了損傷識別精度，并指出正則化方法的作用可通過剛度矩陣條件數(shù)的減小來明確衡量。Hua等將Tikhonov正則化與基于靈敏度分析的有限元模型修正方法相結(jié)合，進行了簡單框架結(jié)構(gòu)的損傷識別，該方法體現(xiàn)出較好的抗噪性。應(yīng)用Tikhonov正則化雖然能在一定程度上抑制噪聲，改善損傷識別結(jié)果的穩(wěn)定性，但它的解是過度光滑的，不具有稀疏性[13]。換言之，應(yīng)用該方法雖然能篩選出真實的損傷信息，但也引入了過多的虛假損傷信息，給損傷識別帶來困難。為改善這一問題，張純等[14]在Tikhonov罰函數(shù)項中引入光滑函數(shù)，并結(jié)合基于靈敏度分析的模型修正方法進行損傷識別研究，明顯改善了損傷識別效果；張純等[15-16]先后將L1和L1/2范數(shù)正則化模型修正方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別，有效地改善了基于Tikhonov正則化損傷識別結(jié)果過度光滑的缺陷。

利用正則化方法求解線性不適定系統(tǒng)，關(guān)鍵在于正則化參數(shù)的選擇。上述正則化及其改進方法大都采用L曲線法選取正則化參數(shù)，而L曲線的繪制過程往往需要進行大量的試算，對于大型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，試算過程更加復(fù)雜。對于Tikhonov正則化，其參數(shù)的合理取值范圍一般較小，系統(tǒng)求解效果對正則化參數(shù)的依賴性很高，并且當噪聲水平較高時，L曲線趨于平直，很難通過該方法選取合適的正則化參數(shù)[17]。

解的過度光滑及正則化參數(shù)選擇時試算量過大是制約Tikhonov正則化應(yīng)用于損傷檢測的兩大難題。對此，本文綜合上述正則化方法的優(yōu)勢及缺陷，提出了一種基于Tikhonov正則化的迭代求解方法，用于測量噪聲影響下?lián)p傷識別線性系統(tǒng)的求解。該方法基于Tikhonov正則化理論，能夠在迭代過程中利用二分法自適應(yīng)調(diào)整正則化參數(shù)，并通過迭代的方式重構(gòu)正則化權(quán)重矩陣，能夠充分抑制噪聲，保留實際損傷信息。通過一個數(shù)值算例，驗證了本文方法的有效性。

1 基本理論

1.1 交叉模態(tài)應(yīng)變能方法

交叉模態(tài)應(yīng)變能(CMSE)方法[18-21]是一種典型的以線性系統(tǒng)求解結(jié)構(gòu)損傷信息的識別方法。該方法計算簡單，并且可以同時識別結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度。與其他的檢測方法相比，該方法有如下優(yōu)點：不需要質(zhì)量歸一化的振型；僅利用結(jié)構(gòu)損傷前后的較少幾階模態(tài)即可判斷結(jié)構(gòu)的健康狀況。因而，應(yīng)用CMSE方法進行損傷檢測具有很好的發(fā)展前景。

設(shè)K和M分別為結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量矩陣，λi和Φi分別表示第i階特征值和特征向量。結(jié)構(gòu)損傷前后的特征方程可表示為

KΦi=λiMΦi

(1)

(2)

本文中，上標“*”用來表示損傷后的情況。

(3)

(4)

對式(3)兩邊取轉(zhuǎn)置，并考慮矩陣K和M的對稱性得

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)，并考慮到M*=M，可以得到：

(6)

本文中，單元損傷通過桿件模量的等效折減進行模擬，即對第n個結(jié)構(gòu)單元，其損傷后的模量值

(7)

式中，En為損傷前第n個單元的模量，αn為相應(yīng)的損傷程度。則損傷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可寫為

(8)

式中：Ne為結(jié)構(gòu)單元的總數(shù)；Kn為第n個單元損傷前的單元剛度矩陣。

將式(8)代入式(6)并整理后得

(9)

用Ni和Nj分別表示結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)階數(shù)，可以構(gòu)建Nq=Ni×Nj個線性方程，將其寫成矩陣形式

Cα=b

(10)

(11)

可采用奇異值分解法(SVD)尋求最小二乘解。對系數(shù)矩陣C作奇異值分解

(12)

(13)

當測量模態(tài)空間不完備時，采用Guyan擴階法[22]對不完備振型進行如下擴階處理

(14)

1.2 Tikhonov正則化方法

Tikhonov方法的思想是將最小二乘解和最小范數(shù)解綜合考慮。對于式(9)所示的線性系統(tǒng)，可建立目標函數(shù)如下

(15)

其中L為Ne階正則化矩陣，一般作變換將L轉(zhuǎn)化為單位矩陣I[23]。ξ為正則化參數(shù)，用于控制最小二乘解和最小范數(shù)解之間的平衡。

當L為單位矩陣時，式(14)等價于求解

(CTC+ξ2I)α=CTb

(16)

該方程的解為

(17)

對系數(shù)矩陣C作式(11)所示的奇異值分解，則式(17)可表示為

(18)

其中

(19)

稱為Tikhonov過濾因子，顯然，f(σi)的大小依賴于奇異值σi和正則化參數(shù)ξ。而當ξ?σi時，式(18)轉(zhuǎn)化式(13)所示的最小二乘解。

2 基于Tikhonov正則化的迭代求解方法

Tikhonov方法的正則化矩陣一般為單位矩陣，這表明Tikhonov正則化方法對各單元損傷參數(shù)進行了相同的加權(quán)平滑處理，其解不具有稀疏性。而對于損傷結(jié)構(gòu)而言，其損傷參數(shù)是稀疏分布的，即除個別損傷單元外，解向量的大部分元素均為零。因此，傳統(tǒng)的Tikhonov正則化應(yīng)用于損傷檢測時存在一定的缺陷。適合損傷識別的理想正則化方法應(yīng)具有如下特性：對于真實的損傷信息，正則化的平滑作用較小以便保留結(jié)構(gòu)的實際損傷信息，即正則化矩陣中對應(yīng)的權(quán)重較小；當出現(xiàn)虛假損傷時，增強平滑作用以消除噪聲導致的虛假損傷信息，即正則化矩陣中對應(yīng)的權(quán)重較大。為了達到這一效果，本文考慮通過具有稀疏性的損傷參數(shù)來重新構(gòu)造正則化矩陣，構(gòu)造形式如下

L(α)=diag{(|α1|+ε)-1,…,(|αn|+ε)-1}

(20)

其中αi為第i個單元對應(yīng)的損傷參數(shù)，ε為一正常數(shù)，避免因αi→0而導致矩陣對角元素趨于∞。

當L為一般的對角矩陣時，式(15)等價于求解

(CTC+ξ2LTL)α=CTb

(21)

該方程的解為

(22)

由于正則化矩陣L(α)需用損傷參數(shù)α來構(gòu)造，而α為待求的未知量，因此，需要采用迭代的方式進行求解。

需要注意的是，正則化參數(shù)ξ的選取是利用正則化方法求解線性不適定問題的關(guān)鍵。前述研究中，學者們一般采用L曲線法選取正則化參數(shù)，而L曲線的繪制通常需要進行大量的試算，尤其是對于復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。此外，當噪聲水平較高時，L曲線趨于平直，很難通過該方法選取合適的正則化參數(shù)。為解決正則化參數(shù)選取時需要大量試算的問題，提出了一種奇異值二分法用于本文新方法中正則化參數(shù)的選取。

基于Tikhonov正則化迭代求解(Tikhonov Regularization Iterative Method，TRIM)的損傷識別過程如下：

步驟1構(gòu)建損傷檢測線性系統(tǒng)，求得系統(tǒng)的初始解

根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)信息利用損傷檢測方法(如CMSE)構(gòu)建方程組Cα=b。對系數(shù)矩陣C進行奇異值分解，獲得系統(tǒng)的r個奇異值σ1≥σ2≥…≥σr≥0。

(23)

步驟2調(diào)整正則化參數(shù)，重構(gòu)正則化矩陣，進行第k次迭代求解

(1) 基于奇異值二分法調(diào)整正則化參數(shù)ξ

(24)

相應(yīng)的正則化參數(shù)調(diào)整為

(25)

上述選擇和調(diào)整正則化參數(shù)的方法，我們稱之為奇異值二分法。

(26)

(27)

此處ε統(tǒng)一取為0.01%，以減小對損傷檢測結(jié)果的影響。

(3) 進行第k次求解

應(yīng)用新的迭代參數(shù)ξk和矩陣Lk，計算新的解向量

(28)

步驟3重復(fù)步驟2所述過程，直到前后兩次迭代求解的向量差值滿足如下條件

(29)

其中δ為收斂閾值，本文建議δ=0.1%，在保證求解精度的同時，控制所需要的迭代步數(shù)?；谛路椒ǖ淖罱K損傷識別結(jié)果為

(30)

基于Tikhonov正則化迭代求解的CMSE損傷檢測(簡稱CMSE-TRIM)流程如圖1所示。

圖1 CMSE-TRIM損傷檢測流程圖

3 數(shù)值算例

3.1 海洋平臺結(jié)構(gòu)

本算例的研究對象為一個近海導管架平臺結(jié)構(gòu)[24]，如圖2所示。該結(jié)構(gòu)由36個外徑為17.8 cm，壁厚為0.89 cm的均勻鋼管構(gòu)件組成，每根鋼管劃分為一個單元。結(jié)構(gòu)三層標高分別為9.14 m，18.29 m和27.43 m。底部和頂部的邊長分別為10.97 m×10.97 m和3.66 m×3.66 m。平臺的四條腿固定于地面。選用材料為鋼材，彈性模量2.1×1011Pa，密度7 850 kg/m3，截面面積2.825×10-3m2，截面慣性矩2.89×10-6m4。按照有限元方法組建整體質(zhì)量矩陣(采用集中質(zhì)量法)和整體剛度矩陣，進行特征值分析，得到有限元模型的前三階頻率分別為7.51 Hz、8.80 Hz和8.88 Hz。平臺前三階振型如圖3所示。

圖2 海洋平臺結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 有限元模型前三階振型

3.2 損傷工況設(shè)置

由于實際測試中結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)一般難以激勵，轉(zhuǎn)動自由度信息難以測量，因此本文算例中假設(shè)僅能測得損傷結(jié)構(gòu)1～3階頻率以及振型中的平動自由度信息，并且所測振型信息含有一定水平的噪聲。

為了研究本文提出的方法在不同因素影響下的損傷識別效果，算例中設(shè)置了四類影響因素：① 損傷位置敏感性；② 損傷程度敏感性；③ 噪聲水平敏感性；④ 模態(tài)階數(shù)敏感性。分別探討不同影響因素下的損傷識別效果。結(jié)構(gòu)損傷后的振型信息添加一定水平噪聲，噪聲添加方式如下

φi,j=φi,j(1+μGi,j)

(31)

式中,μ為噪聲水平；Gi,j為均值為0、方差為1的高斯隨機數(shù)；φi,j為對應(yīng)于第i個自由度的第j階振型值。實測頻率信息一般較為準確，因此算例中不考慮噪聲對頻率的影響。

4 損傷識別與結(jié)果分析

本文采用Guyan擴階方法對仿真模擬得到的損傷后模態(tài)振型進行擴階處理，利用損傷前后的模態(tài)信息構(gòu)建CMSE方程，求解36個單元(n=36)的損傷參數(shù)。并對比CMSE-Tikhonov(基于Tikhonov正則化求解的CMSE損傷檢測)和CMSE-TRIM的損傷識別效果。

4.1 損傷位置敏感性

設(shè)置噪聲水平1%，損傷程度25%，選用結(jié)構(gòu)損傷后1～3階模態(tài)，研究損傷方法對不同類型損傷構(gòu)件(工況S1：13，工況S2：20，工況S3：23)的損傷識別效果。

工況S1設(shè)置13號單元發(fā)生25%損傷，在測量模態(tài)空間不完備及1%噪聲影響下利用CMSE-Tikhonov方法進行損傷識別，具體求解過程如下：首先根據(jù)1.1節(jié)內(nèi)容構(gòu)建CMSE方程組Cα=b，對系數(shù)矩陣C進行奇異值分解，并將得到的所有奇異值分別假設(shè)為正則化參數(shù)，根據(jù)式(16)進行試算并繪制L曲線圖(如圖4)；找出L曲線最大曲率點所對應(yīng)的奇異值，作為最終選用的正則化參數(shù)，進而求解損傷向量。由L曲線法選取的正則化參數(shù)為ξ=7.20×107，根據(jù)式(16)進行求解，最終識別結(jié)果如圖5(a)所示，其中，深灰色表示干擾項，淺灰色表示損傷單元的損傷指標。此外，圖中DS(damage severity)，表示實際損傷單元的損傷程度；RE(relative error)，表示評估的損傷程度與真實值的相對誤差；c表示迭代的總次數(shù)。

應(yīng)用CMSE-TRIM對工況A進行損傷識別的過程如下：構(gòu)建CMSE方程組Cα=b，對矩陣C進行奇異值分解，并直接選取矩陣C的中間奇異值σ18=1.06×108作為初始的正則化參數(shù)；按照圖1所示流程進行迭代求解，迭代9次后計算結(jié)果達到收斂閾值，最終求解結(jié)果如圖5(b)所示(圖中c表示迭代次數(shù))。工況B和工況C損傷識別過程與工況A類似，具體流程不再贅述，最終求解結(jié)果分別見圖6和圖7。應(yīng)用TRIM方法所得損傷單元各迭代步下的計算結(jié)果如圖8所示。

圖4 工況S1 “L曲線”圖

對比三種不同損傷位置下CMSE-Tikhonov求解結(jié)果，可以看出，該方法對立柱單元損傷檢測效果最好，斜撐次之，橫撐檢測效果最差。相比之下，CMSE-TRIM方法對上述三工況的損傷識別結(jié)果都非常好，無論是在損傷定位還是損傷程度識別方面都明顯優(yōu)于CMSE-Tikhonov方法。從圖8中損傷單元各迭代步計算結(jié)果可以看出，13號橫撐損傷時迭代次數(shù)最多(9次)，20號斜撐次之(5次)，識別23號立柱損傷所需迭代次數(shù)最少(4次)。迭代次數(shù)的多少側(cè)面反映出不同類型損傷單元的損傷識別難易程度，即相同條件下，立柱損傷最容易識別，斜撐次之，橫撐損傷最不易識別。此外，從圖8中13號單元迭代結(jié)果變化可以看出，該計算結(jié)果經(jīng)歷了由大變小，由小變大，最后逐漸趨于穩(wěn)定這幾個階段，體現(xiàn)出TRIM方法能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)計算結(jié)果的特性。

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

圖8 各損傷單元不同迭代步的損傷程度計算結(jié)果

4.2 損傷程度敏感性

設(shè)置噪聲水平1%，損傷單元23，選用結(jié)構(gòu)損傷后1～3階模態(tài)，研究損傷方法對不同損傷程度(工況D1：5%，工況D2：15%，工況D3：25%)的損傷識別效果。兩種方法識別結(jié)果如圖9～圖11所示。

由圖9～圖11可以看出，當單元的損傷程度較小時，使用CMSE-Tikhonov方法會出現(xiàn)大量的虛假損傷掩蓋真實的損傷信息，從而無法完全損傷檢測；隨著損傷程度的增加，求解結(jié)果中的干擾項逐漸減少，損傷程度識別誤差也逐漸減小。相比之下，CMSE-TRIM對三種不同損傷程度的工況均能正確識別出損傷單元的位置，而且沒有出現(xiàn)虛假損傷。在損傷程度識別方面，CMSE-TRIM的識別誤差明顯小于CMSE-Tikhonov方法。此外，從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出，在其他影響因素相同的條件下，TRIM方法需要較多的迭代次數(shù)來計算小損傷工況。

4.3 噪聲水平敏感性

設(shè)置損傷單元23，損傷程度25%，選用結(jié)構(gòu)損傷后1～3階模態(tài)，研究損傷方法在不同噪聲水平(工況N1：1%，工況N2：3%，工況N3：5%)下的損傷識別效果。識別結(jié)果如圖12～圖14所示。

分析圖12～圖14可以看出，當噪聲水平相對較低時，使用CMSE-Tikhonov方法能夠較好地識別出損傷位置及損傷程度，干擾項較少。隨著噪聲水平的提高，該方法損傷識別效果逐漸變差：在損傷定位方面，虛假損傷干擾項逐漸增多，掩蓋了真實的損傷信息；損傷程度識別誤差也逐漸增大。與之相比，CMSE-TRIM在不同噪聲水平影響下均能正確判定出損傷位置，不摻雜任何虛假損傷，而且損傷程度識別精度明顯高于CMSE-Tikhonov。此外，從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出，在其他影響因素相同的條件下，當影響實測模態(tài)的噪聲水平提高時，TRIM方法計算所需的迭代次數(shù)相應(yīng)增加。

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

4.4 模態(tài)階數(shù)敏感性

設(shè)置噪聲水平1%，損傷單元23，損傷程度25%，研究使用結(jié)構(gòu)損傷后不同階數(shù)模態(tài)(工況M1：1，工況M2：1～2，工況M3：1～3)的損傷識別效果。兩種方法識別結(jié)果如圖15～圖17所示。

從圖15～圖17可以看出，當取用的損傷后模態(tài)只有第1階時，使用CMSE-Tikhonov和CMSE-TRIM都無法完成損傷識別；當取用的損傷后模態(tài)為前2階時，CMSE-Tikhonov方法雖然能夠識別出23號單元發(fā)生損傷，但是求解結(jié)果中摻雜多處虛假損傷干擾項，損傷程度求解誤差為14.20%；當取用的損傷后模態(tài)為前3階時，CMSE-Tikhonov求解結(jié)果中干擾項明顯減少，損傷程度識別精度有所提高。相比之下，當取用的損傷后模態(tài)為前2階或前3階時，CMSE-TRIM方法均能正確判定出損傷位置，不摻雜任何虛假損傷，而且損傷程度識別精度明顯高于CMSE-Tikhonov。此外，從計算所需的迭代次數(shù)上可以看出，在其他影響因素相同的條件下，取用的損傷后模態(tài)階數(shù)越多，TRIM方法計算所需的迭代次數(shù)越少。

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

(a) CMSE-Tikhonov

(b) CMSE-TRIM

5 結(jié) 論

針對測量噪聲影響下?lián)p傷檢測“病態(tài)”方程組的求解問題進行了研究，提出了一種基于Tikhonov正則化的迭代求解方法來抑制測量噪聲對損傷檢測的影響。選取一個海洋平臺結(jié)構(gòu)開展數(shù)值模擬，探討了新方法在不同因素(損傷位置，損傷程度，噪聲水平，取用模態(tài)階數(shù))影響下的損傷識別效果，并同傳統(tǒng)Tikhonov正則化求解下的損傷檢測進行了對比，結(jié)論如下：

傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法和本文提出的基于Tikhonov正則化的迭代求解方法均能在一定程度上解決噪聲影響下“病態(tài)”方程組的求解問題。相對于傳統(tǒng)的Tikhonov正則化求解方法，本文方法能夠有效地抑制虛假損傷、不遺漏真實損傷，具有更好的噪聲魯棒性。此外，本文方法直接選取方程組系數(shù)矩陣的中間奇異值作為初始正則化參數(shù)，通過迭代來自適應(yīng)調(diào)整正則化參數(shù)及矩陣，無需通過大量試算來繪制L曲線圖，減少了計算工作量。數(shù)值分析表明，CMSE-TRIM方法對海洋平臺結(jié)構(gòu)不同類型及不同損程度的損傷工況均能正確地識別，具有較好的噪聲魯棒性。損傷位置不敏感、損傷程度較小、噪聲水平較高以及取用的模態(tài)階數(shù)較少都會增加損傷檢測的難度，相應(yīng)地會增加TRIM方法的迭代計算次數(shù)。