一種半主動(dòng)動(dòng)力吸振器參數(shù)優(yōu)化及性能比較

郎 君， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

動(dòng)力吸振器(Dynamic Vibration Absorber，DVA)是一種加裝在主系統(tǒng)上控制振動(dòng)的吸振裝置。自1909年Frahm[1]發(fā)明DVA以來，動(dòng)力吸振器經(jīng)歷過一百多年發(fā)展，不斷優(yōu)化改進(jìn)，如今在高大建筑、橋梁、機(jī)械設(shè)備、交通工具等諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。動(dòng)力吸振器經(jīng)歷了被動(dòng)控制、半主動(dòng)控制、主動(dòng)控制三個(gè)發(fā)展階段。被動(dòng)式動(dòng)力吸振器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且可靠性高，目前應(yīng)用最為廣泛。Ormondroyd等[2]最早提出帶有阻尼的Voigt型動(dòng)力吸振器，并先后由Hahnkamn[3]和Brock[4]給出該模型最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比公式。Asami等[5-6]提出三要素型動(dòng)力吸振器，發(fā)現(xiàn)在同樣質(zhì)量比情況下，三要素型動(dòng)力吸振器要比Voigt型動(dòng)力吸振器效果更好。Ren[7]提出一種將吸振阻尼接地的新型動(dòng)力吸振器，王孝然等[8]又將其拓展為彈簧阻尼串聯(lián)接地的動(dòng)力吸振器。研究表明以上兩種動(dòng)力吸振器吸振效果均優(yōu)于Asami的三要素型動(dòng)力吸振器。主動(dòng)式動(dòng)力吸振器較被動(dòng)式動(dòng)力吸振器多了可調(diào)致動(dòng)器，按控制原理可分為調(diào)頻式和非調(diào)頻式。調(diào)頻式動(dòng)力吸振器包括磁浮式[9]、電動(dòng)式[10-13]、電磁彈簧[14-15]等類型。非調(diào)頻式動(dòng)力吸振器包括主動(dòng)變剛度[16-18]、主動(dòng)變質(zhì)量阻尼系統(tǒng)[19-22]和智能材料(如磁流變彈性體)[23]控制等。半主動(dòng)動(dòng)力吸振器是將吸振器的結(jié)構(gòu)剛度或者阻尼進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)以改善主系統(tǒng)振動(dòng)的吸振器。依據(jù)控制原理，可分為變剛度式動(dòng)力吸振器和變阻尼式動(dòng)力吸振器。Brennan[24]設(shè)計(jì)了一種變剛度空氣彈簧動(dòng)力吸振器。Williams等[25-26]設(shè)計(jì)了一種變剛度記憶合金動(dòng)力吸振器。

近年來，學(xué)者對(duì)半主動(dòng)控制策略研究也有很大進(jìn)展。Liu等[27]提出基于“天棚”系統(tǒng)的Continuous Skyhook、On-off Skyhook、Continuous Balance和On-off Balance四種半主動(dòng)變阻尼控制策略。Koo等[28]為抑制建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)，提出了兩種半主動(dòng)變阻尼吸振控制策略——半主動(dòng)開關(guān)速度-速度控制(Velocity-based on-off ground-hook control，On-off VBG)策略和半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(Displacement-based on-off ground-hook control，On-off DBG)策略。

本文將Koo的兩種離散半主動(dòng)控制策略，半主動(dòng)開關(guān)速度-速度控制(On-off VBG)策略和半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略，應(yīng)用到Voigt型吸振器中。首先，建立系統(tǒng)模型，確定參數(shù)取值范圍。然后，對(duì)兩種半主動(dòng)控制吸振系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化和參數(shù)影響性分析。最后，引入隨機(jī)激勵(lì)對(duì)不同類型吸振器進(jìn)行吸振效果對(duì)比。結(jié)果顯示半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略下主系統(tǒng)位移方差最小。驗(yàn)證了半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略的有效性。

1 動(dòng)力吸振器模型及系統(tǒng)基本參數(shù)

將傳統(tǒng)Voigt模型(圖1(a))進(jìn)行改進(jìn)，得到半主動(dòng)變阻尼式動(dòng)力吸振器(圖1(b))。其中主系統(tǒng)質(zhì)量為m1，吸振器質(zhì)量為m2，主系統(tǒng)剛度為k1，吸振器剛度為k2，阻尼器阻尼系數(shù)為c2，主系統(tǒng)位移為x1，動(dòng)力吸振器位移為x2，外加力激勵(lì)為F0cos(ωt)。

(a) Voigt型吸振器

系統(tǒng)基本參數(shù)如表1。

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

半主動(dòng)控制動(dòng)力吸振器的阻尼分為On和Off兩個(gè)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的阻尼分別記做ζ2max，ζ2min。ν是ω2與ω1之比。根據(jù)工程實(shí)際，半主動(dòng)On-off控制系統(tǒng)各參數(shù)取值范圍如表2。

表2 各參數(shù)的初始值及取值范圍

需要說明，表2中各參數(shù)取值范圍，雖參照文獻(xiàn)[28]，也按連續(xù)形式給出，但本文將各優(yōu)化參數(shù)與被動(dòng)Voigt型吸振器最優(yōu)參數(shù)聯(lián)系起來，使其和傳統(tǒng)Voigt型吸振器參數(shù)對(duì)比明顯。

2 系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化及效果比較

被動(dòng)式動(dòng)力吸振器優(yōu)化方法有多種，常見的有H2優(yōu)化和H∞優(yōu)化，這些優(yōu)化理論都很成熟。但是，對(duì)于半主動(dòng)控制動(dòng)力吸振器，優(yōu)化理論還不完善。目前，只能以實(shí)驗(yàn)或者數(shù)值仿真的方式進(jìn)行優(yōu)化。本文中通過調(diào)節(jié)參數(shù)，對(duì)比不同參數(shù)下系統(tǒng)幅頻曲線，找到參數(shù)范圍內(nèi)最優(yōu)控制效果和對(duì)應(yīng)參數(shù)，并對(duì)其中的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行特性分析。

根據(jù)系統(tǒng)模型，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(1)

兩種半主動(dòng)開關(guān)控制策略分別表示：半主動(dòng)開關(guān)速度-位移控制(On-off VBG)策略

(2)

半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略

(3)

利用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)不同控制策略下的系統(tǒng)求解并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。參數(shù)優(yōu)化過程中，調(diào)整主要參數(shù)值，不同控制策略的最終優(yōu)化結(jié)果如圖2所示。結(jié)果顯示，兩種半主動(dòng)控制策略吸振效果有較大差異：半主動(dòng)開關(guān)速度-位移控制(On-off VBG)策略主系統(tǒng)的響應(yīng)與被動(dòng)控制效果差異不大；半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略主系統(tǒng)的響應(yīng)明顯降低。綜合對(duì)比兩結(jié)果，可以認(rèn)為半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略能有效降低主系統(tǒng)振動(dòng)。

圖2中，兩種半主動(dòng)Voigt型動(dòng)力吸振器最優(yōu)吸振效果對(duì)應(yīng)參數(shù)，在表3中列出。

半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)控制策略中，有三個(gè)參數(shù)對(duì)優(yōu)化效果起關(guān)鍵作用，它們分別是開

圖2 Voigt模型兩種半主動(dòng)控制策略與被動(dòng)控制策略對(duì)比

參數(shù)On-off VBGOn-off DBGζ2max0.188 3 (1.02ζ2opt)3.692 7 (20ζ2opt)ζ2max0.180 9(0.98ζ2opt)0.036 9 (0.2ζ2opt)ν0.905 5(0.996νopt)0.845 5 (0.93νopt)

狀態(tài)阻尼比、關(guān)狀態(tài)阻尼比和頻率比。下面分別研究三者在半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略下對(duì)幅頻曲線的影響(說明：圖6～圖10中參數(shù)ζ2max、ζ2min和ν后面的數(shù)字均表示為ζopt或νopt的倍數(shù))。

2.1 開狀態(tài)阻尼比ζ2max的影響

圖3是開狀態(tài)阻尼比ζ2max對(duì)幅頻曲線的影響。從圖中可以看出，隨著開狀態(tài)阻尼比ζ2max增大，幅頻曲線兩峰下降明顯。對(duì)幅頻曲線具體影響總結(jié)如下：

圖3 開狀態(tài)阻尼比ζ2max影響

(1) 顯著降低幅頻曲線峰值。隨著ζ2max增大，幅頻曲線兩峰P、Q均顯著降低。ζ2max由0.923(5ζopt)增至3.629(20ζopt)，P峰由P1=3.569降到P2=2.547，Q峰由Q1=2.747降到Q2=1.790。

(2) 不影響谷底M。在ζ2max增大過程中，幅頻曲線谷底M未變，即ζ2max變化不影響谷底M。

(3)ζ2max呈非線性降低兩峰值，即在增大相同ζ2max時(shí)，ζ2max降低幅頻曲線兩峰能力逐漸減弱。開始時(shí)ζ2max由0.923(5ζopt)增至1.846(10ζ2opt)，P、Q兩峰分別降低0.639、0.610；但是當(dāng)ζ2max由2.769(15ζ2opt)增至20ζ2opt時(shí)，P、Q兩峰只分別下降0.150、0.116，后者峰值降低量明顯小于前者。因此，不能為獲得更低峰值而不加限制增大ζ2max值。

2.2 關(guān)狀態(tài)阻尼比ζ2min的影響

圖4是關(guān)狀態(tài)阻尼比ζ2min對(duì)幅頻曲線的影響。從中可以看出，隨著ζ2min減小，幅頻曲線峰值降低明顯。具體影響總結(jié)如下。

圖4 關(guān)狀態(tài)阻尼比ζ2min影響

(1) 顯著降低幅頻曲線峰值。隨著ζ2min減小，幅頻曲線兩峰P、Q降低明顯。ζ2min由0.148(0.8ζopt)降至0.037(0.2ζopt)，P峰由P1=3.744降至P2=2.541，Q峰由Q1=3.211降至Q2=1.790。ζ2min與ζ2max特性正好相反。

(2) 明顯影響谷底M。系統(tǒng)處在大阻尼狀態(tài)時(shí)(ζ2max=3.692 7和ζ2min=0.184 6)，兩峰匯聚到一起，影響半主動(dòng)動(dòng)力吸振器性能。隨著ζ2min減小，谷底M迅速降低，降低兩峰同時(shí)也加大兩峰的間距。這間接增大了系統(tǒng)有效工作帶寬，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有很好的提升。

(3) 過小ζ2min會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定振動(dòng)。雖然已知降低ζ2min能有效降低谷底M，但ζ2min過小，會(huì)使幅頻曲線在谷底產(chǎn)生突變尖峰，發(fā)生不穩(wěn)定振動(dòng)(如圖5)，這對(duì)機(jī)械設(shè)備會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重?fù)p害。因此，不能為追求低峰值而不加限制的降低ζ2min值。本系統(tǒng)中，半主動(dòng)Voigt型動(dòng)力吸振器的ζ2min不能低于0.037 (0.2ζ2-Off)。

2.3 頻率比ν的影響

圖6是頻率比ν變化對(duì)幅頻曲線的影響。選取不用頻率比ν，分析其對(duì)幅頻曲線的影響。

從圖中可以看出頻率比ν對(duì)幅頻曲線的影響：

(1) 有效降低兩峰，且對(duì)兩峰作用相反。隨頻率比ν增大，P峰由P1=2.235增至P2=2.547。Q峰由Q1=2.335降至Q2=1.790。正是頻率比ν對(duì)P、Q兩峰相反作用，使得我們能找到系統(tǒng)最優(yōu)幅頻曲線。

圖5 ζ2min過小引起不穩(wěn)定振動(dòng)

圖6 頻率比ν影響

(2) 輕微影響谷底M。隨頻率比ν增大，谷底值變化小于0.2，對(duì)谷底影響輕微。同時(shí)，P、Q兩峰橫向間距0.44～0.45之間，對(duì)系統(tǒng)有效穩(wěn)定帶寬影響也不大。

2.4 三個(gè)參數(shù)綜合作用最優(yōu)結(jié)果

根據(jù)三個(gè)關(guān)鍵對(duì)幅頻曲線的影響特性，利用數(shù)值法可以獲得系統(tǒng)的最優(yōu)控制幅頻曲線。不同參數(shù)值下半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)控制Voigt型吸振器的最優(yōu)幅頻曲線，如圖7所示。參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)最優(yōu)幅頻曲線的P峰為2.247，Q峰為2.216(參數(shù)：ζ2max=20ζopt，ζ2min=0.2ζopt，ν=0.93νopt)。

圖7 不同參數(shù)下半主動(dòng)On-off DBG最優(yōu)控制效果

3 系統(tǒng)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)

在實(shí)際工程中，建筑結(jié)構(gòu)受到的外力多以隨機(jī)激勵(lì)為主，因此對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)研究具有實(shí)際意義。除上文中提到的兩種振動(dòng)模型，還引入不含吸振器的單自由度系統(tǒng)和被動(dòng)Voigt型動(dòng)力吸振系統(tǒng)作對(duì)比。通過對(duì)比不同模型的隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)，比較各吸振器的減振性能。

選取50 s的均值為0方差為1的隨機(jī)激勵(lì)，其時(shí)間歷程如圖8。系統(tǒng)參數(shù)按照表1～表3中選取。圖9為不含吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程，圖10為被動(dòng)Voigt型吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程，圖11為半主動(dòng)開關(guān)速度-位移控制(On-off VBG)策略Voigt型吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程，圖12為半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略Voigt型吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程。

圖8 隨機(jī)激勵(lì)

圖9 不含吸振器的主系統(tǒng)時(shí)間歷程

圖10 被動(dòng)Voigt型吸振器的主系統(tǒng)時(shí)間歷程

結(jié)合不同類型的吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程(圖9～圖12)及表4，可以看出半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略吸振器對(duì)主系統(tǒng)的減振效果要明顯優(yōu)于其它類型動(dòng)力吸振器。其主系統(tǒng)位移方差衰減率達(dá)到91.07%，減振效果顯著。因此，半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)策略Voigt型吸振器優(yōu)于其他類型動(dòng)力吸振器。

圖11 半主動(dòng)開關(guān)速度-位移控制(On-off VBG)吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程

Fig.11 The time history of the primary system with dynamic vibration absorber under semi-active On-off VBG strategy

圖12 半主動(dòng)開關(guān)位移-位移控制(On-off DBG)吸振器主系統(tǒng)時(shí)間歷程

Fig.12 The time history of the primary system with dynamic vibration absorber under semi-active On-off DBG strategy

表4 主系統(tǒng)位移方差及衰減率

4 結(jié) 論

論文將兩種半主動(dòng)開關(guān)控制策略應(yīng)用到Voigt型動(dòng)力吸振器中，確定了半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略的有效性。其次，對(duì)影響半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略的3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：開狀態(tài)阻尼比、關(guān)狀態(tài)阻尼比和頻率比進(jìn)行了特性研究，找到了在參數(shù)允許變化范圍內(nèi)具有最優(yōu)控制效果的參數(shù)值。由于目前條件所限，不能實(shí)現(xiàn)本論文中提出的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證，故而采用隨機(jī)激勵(lì)間接驗(yàn)證模型的半主動(dòng)控制吸振效果。在隨機(jī)激勵(lì)吸振效果驗(yàn)證中，不同控制策略下吸振器的隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)不盡相同，發(fā)現(xiàn)半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略的主系統(tǒng)位移響應(yīng)方差值最小?？梢哉J(rèn)為半主動(dòng)開關(guān)位移-速度控制(On-off DBG)策略是一種有效的半主動(dòng)控制策略。關(guān)于模型吸振效果的實(shí)際驗(yàn)證，將是后續(xù)工作中的研究重點(diǎn)。