整合閱讀材料的“解三角形的實際應(yīng)用”教學

(揚州大學，江蘇 揚州 225000)

1 教學中應(yīng)用閱讀材料的現(xiàn)狀解析

與傳統(tǒng)的高中數(shù)學教材相比，不同版本的新編高中數(shù)學教材中均設(shè)有“探索與發(fā)現(xiàn)”“閱讀與思考”“信息技術(shù)應(yīng)用”等閱讀類模塊[1]，但一線數(shù)學教師普遍對閱讀材料的關(guān)注度不高.多數(shù)教師選擇讓學生課后自學閱讀材料，認為閱讀材料是適合學生的課外讀物.許多教師認為閱讀材料是教材內(nèi)容的點綴，極少有教師會將其當作正文內(nèi)容一樣對待.筆者認為出現(xiàn)這一現(xiàn)狀的根本原因有兩個：其一是教師對閱讀材料的教育價值認識有限，部分教師無法領(lǐng)會閱讀材料的編寫意圖，忽視了其中所滲透的數(shù)學思想，不認同其對學生發(fā)展的積極作用；其二是受應(yīng)試教育觀念的影響，多數(shù)教師認為閱讀材料與高考的關(guān)聯(lián)度較低，不應(yīng)占用有限的課堂教學時間.

2 閱讀材料的教育價值

閱讀材料是教材正文內(nèi)容的拓展和深化，集趣味性、科學性、教育性、知識性于一體.其目的不僅是為了滿足不同層次學生的需求，增加教材的彈性，更是為了引導學生體會數(shù)學的科學價值和人文精神.閱讀材料具有啟發(fā)性強、針對性強的特點，與學生現(xiàn)階段所學的知識密切聯(lián)系，其教育價值是課外讀物不可比擬的[2].將數(shù)學文化與高考題相結(jié)合已成為近年來的必然趨勢，而閱讀材料正是在教材中滲透數(shù)學文化的一種途徑和方法.因此，在教學中應(yīng)重視對閱讀材料的分析和探究，從新視角、新情境出發(fā)，激發(fā)學生的學習興趣，并在此過程中將數(shù)學核心素養(yǎng)的培育深深扎根于教材，避免數(shù)學教學的表面化與形式化.

3 教學片段

教學活動1激活舊知.

例1某市在進行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的兩邊長為68 m，88 m，其夾角為65°，這個區(qū)域的面積是多少(精確到0.1 m2)？

設(shè)計意圖教師先以邊、角與面積的關(guān)系引導學生思考角與面積是否存在關(guān)系，僅知3個角無法確定三角形大小，面積無法僅由角單獨確定，從而進一步思考邊與面積是否存在關(guān)系，層層遞進，啟發(fā)誘導，有助于學生突破思維局限，為后續(xù)教學作鋪墊.教師通過解決例1這一實際問題，提高學生對解三角形知識的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、數(shù)學抽象和邏輯推理等能力.

教學活動2鞏固提升.

事實上，在我國古代，丈量土地時并不能精確測量出兩邊的夾角，在實際生活中測量三角形的邊長更簡便.

例2我國宋代著名數(shù)學家秦九韶就曾在其著作《數(shù)書九章》中以解決土地的實際丈量提出過這樣一個問題：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何.”他將三角形的3條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，若一里按五百米計算，則其3條邊長分別為6.5 km,7 km,7.5 km，根據(jù)題意，如何建立數(shù)學模型？如果不作輔助線，你能求解上述問題嗎？

根據(jù)輸入特征圖的大小，判斷特征圖尺寸與輸出特征圖尺寸的關(guān)系，如果輸入特征圖大于輸出特征圖大小，則利用可變尺度池化層使得特征圖下采樣到固定大小的輸出，當輸入特征圖小于固定輸出特征圖大小時，利用雙線性插值，使得網(wǎng)絡(luò)輸出為固定尺寸的特征圖。

在學生解決實際問題的基礎(chǔ)上，教師進一步提出問題：如果我們將上述問題中三角形的3條邊長用更具有一般性的字母a，b，c來代替，是否就能得到三角形邊與面積的關(guān)系呢？對此，秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即下述邊與面積的關(guān)系式：

(1)

但歷史上他并未給出具體的證明過程，你能運用盡可能多的方法證明該公式嗎？

設(shè)計意圖以《數(shù)書九章》中秦九韶所提出的問題創(chuàng)設(shè)情境，利用教材中的閱讀材料激發(fā)學生的學習興趣，并通過向?qū)W生介紹我國數(shù)學家秦九韶的生平簡介及數(shù)學貢獻，在拓寬學生視野的同時使其感受數(shù)學文化所蘊含的人文精神.教師通過將具體問題抽象化，使學生感受從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法.在實際課堂中，多數(shù)學生會通過作高的方式運用勾股定理解題，教師可通過提示，引導學生盡可能多地運用所學知識解決問題.在推導秦九韶公式的過程中，通過對三角形面積公式、勾股定理、余弦定理、正弦定理等公式定理的運用，達到對解三角形知識的理解鞏固、熟練應(yīng)用的目的.

教學活動3探索發(fā)現(xiàn).

古希臘數(shù)學家海倫也曾提出過三角形邊與面積的關(guān)系式，該公式最早出現(xiàn)在他的著作《測地術(shù)》之中，與秦九韶的“三斜求積術(shù)”有異曲同工之妙.若三角形的3條邊分別為a，b，c，則其面積為：

(2)

設(shè)計意圖教師以多媒體呈現(xiàn)不同數(shù)學家對海倫公式的不同證明方法，使學生體會多角度看數(shù)學問題的思想.通過對比中西方不同數(shù)學家對同一問題所得的不同結(jié)果，教師可引導學生在體會兩式本質(zhì)等價、形式不同的基礎(chǔ)上，感受數(shù)學“變中存不變”的美感.

教學活動4應(yīng)用拓展.

通過剛才的探究，我們發(fā)現(xiàn)了三角形邊與面積的關(guān)系，這樣的關(guān)系能否推廣到四邊形中？請同學們以小組合作的方式嘗試類比海倫公式求解正方形、矩形、菱形、平行四邊形的面積，并猜想四邊形邊與面積的關(guān)系式.由比較、歸納、類比以及猜想，教師引導學生得出下述關(guān)系式：

(3)

教師引導學生思考并回答下列問題：1)對比式(2)和式(3)，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？2)對任意的四邊形，式(3)都成立嗎？3)你能歸納出對于怎樣的四邊形其邊與面積具有上述關(guān)系？4)我們可以將有這樣特征的四邊形稱為“海倫四邊形”，我們還在哪里遇到過“海倫四邊形”？

(2010年江蘇省數(shù)學高考試題第14題)

1)根據(jù)題意，如何建立數(shù)學模型？

2)你認為應(yīng)該運用哪些知識求解，請盡可能多地給出不同解法，并說說你認為哪種方法更為簡便.

設(shè)計意圖在實際教學中，將結(jié)論推廣延伸，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.在對海倫公式的推廣研究活動中，教師通過引導學生以合作交流的方式，運用猜想、比較、歸納等數(shù)學思想方法，提升其數(shù)學分析和直觀想像等能力，并使其感受發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程.從特殊四邊形猜想一般結(jié)果，再推廣到對任意四邊形的思考，這是由易到難的過程，符合學生從特殊到一般的認知規(guī)律.最后引導學生歸納總結(jié)，并提出“海倫四邊形”這一新的定義，同時結(jié)合實際問題，在求解過程中使學生體會解三角形的本質(zhì).

4 教學思考

本節(jié)課是在應(yīng)用解三角形知識的基礎(chǔ)上，結(jié)合閱讀材料引導學生探究和推廣海倫—秦九韶公式.在教學過程中，引導學生體會解三角形知識的實際運用，在對正文內(nèi)容加以鞏固與深化、拓寬學生視野的基礎(chǔ)上，滲透從特殊到一般、運算變形、類比猜想、一題多解等數(shù)學思想方法，潛移默化地發(fā)揮數(shù)學文化的顯性和隱形價值，進一步提升學生直觀想象、數(shù)學分析、邏輯推理等方面的數(shù)學核心素養(yǎng).

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：在教學中，要注重數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，使學生了解我國及世界各國的數(shù)學成就，同時體會數(shù)學在日常生活、科學技術(shù)及社會生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用[3].在實施過程中，教師應(yīng)當增強自身的文化素質(zhì)，轉(zhuǎn)變教學觀念，結(jié)合教學內(nèi)容有意識地將閱讀材料融入到教學實踐中，并善于挖掘其中蘊含的文化價值.教師應(yīng)不斷加強自身數(shù)學修養(yǎng)，才能更好地運用閱讀材料的價值，從而提高課堂質(zhì)量，促使師生共同進步.