一題一乾坤 素養(yǎng)即世界
——以2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題為例

(杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)，浙江 杭州 310030)(魯迅中學(xué)，浙江 紹興 312000)

2019年是浙江省新一輪高考改革數(shù)學(xué)文理合卷考試的第3年.2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷的形式與結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定；穩(wěn)在基礎(chǔ)與重點(diǎn)，穩(wěn)中有變、變中有新；注重基礎(chǔ)知識(shí)、主干知識(shí)的考查，又側(cè)重于知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在知識(shí)的交匯處匠心獨(dú)具，為不同層次的考生提供了相應(yīng)的思考空間，獲得不同的發(fā)展；試題漸次推進(jìn)，入口容易深入難，注重學(xué)生的思維品質(zhì)、學(xué)科素養(yǎng)的考查，有較高的區(qū)分度.填空壓軸題第17題是一道向量題，向量題已經(jīng)成為浙江特色，“源于課本又高于課本”，韻味獨(dú)特、立意清新；突出考查了平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理，突出基底意識(shí)、模的運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算，需要考生具備邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可謂簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單！

1 試題分析

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

解法1(基本定理+模的運(yùn)算+數(shù)據(jù)分析) 由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，得

由于λi(其中i=1，2，3，4，5，6)取遍±1，可得

λ1-λ3+λ5-λ6=0，λ2-λ4+λ5+λ6=0，

取λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1，λ2=-1，得所求最小值為0.

解法2(基本定理+局部消元+數(shù)據(jù)分析)

|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0.

此時(shí)T=0，其中等號(hào)成立的條件為λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1.

要使得T最大，只需|λ1-λ3+2|，|λ2-λ4|最大，即

|λ1-λ3+2|=4， |λ2-λ4|=2,

從而

解法3(基底意識(shí)+模的運(yùn)算+先局部再整體數(shù)據(jù)分析)

由于|λ5-λ6|,|λ5+λ6|中必有一個(gè)為0，一個(gè)為2，且λ1-λ3∈{-2,0,2}，λ2-λ4∈{-2,0,2},因此

當(dāng)λ1+λ5=λ3+λ6=λ2+λ5=λ4-λ6=0時(shí)，取λ1=λ3=λ2=1,λ5=λ6=λ4=-1，得Tmin=0.

解法4(基底意識(shí)+模的運(yùn)算+部分變量定值法再整體數(shù)據(jù)分析，運(yùn)用減少變量的思想)

不妨設(shè)λ5=λ6=1，則

評(píng)注解法1～4將向量問題化歸為基底的選擇與優(yōu)化問題，其次轉(zhuǎn)化成根號(hào)下多變量平方和的最值問題，減少變量、局部變量賦值、變量取值討論等都是問題解決的好方法，注重?cái)?shù)學(xué)直覺和猜想能力，培養(yǎng)數(shù)感.

解法5(基底意識(shí)+模的運(yùn)算+數(shù)據(jù)分析)

于是

解法6(坐標(biāo)法+模的運(yùn)算+數(shù)據(jù)分析)

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),從而

接下來(lái)處理的步驟同解法1～4.

評(píng)注坐標(biāo)法是解析幾何思想的重要體現(xiàn)，是解決向量問題的好方法.

解法7(幾何法—位移—繞來(lái)繞去的向量，從物理角度建立數(shù)學(xué)模型)

位移最?。豪@成兩個(gè)三角形，位移為0，故Tmin=0(如圖1)；

圖1 圖2 圖3

解法8(幾何法—位移—繞來(lái)繞去的向量，從物理角度建立數(shù)學(xué)模型)

2 探源與改編

基礎(chǔ)和經(jīng)典不怕重復(fù)，注重技巧和包裝的題目永遠(yuǎn)只能是曇花一現(xiàn)，經(jīng)不起時(shí)間的考驗(yàn).2019年浙江省向量題所蘊(yùn)含的思想方法和代數(shù)特征有跡可循，可以從以前的競(jìng)賽題和高考題中找到它的影子：

2.1 從位移角度探源

例2某動(dòng)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含第一象限x,y軸上的整點(diǎn))，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(m,n)→(m+1,n+1)或者(m,n)→(m+1,n-1).若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，6步運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(6,2)，則有______步不同的運(yùn)動(dòng)軌跡(答案：9).

(2013年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第17題)

例3設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3，0)(允許重復(fù)過此點(diǎn))處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有______種(答案：5).

(2004年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

例1可以拓展為：

例1還可以改編為：

2.2 從數(shù)據(jù)分析和絕對(duì)值形式探源

絕對(duì)值以及多變量的最值(范圍)問題在2016年浙江省數(shù)學(xué)高考卷中就有出現(xiàn)，很好地考查了學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力.賦值分析是一種很好的數(shù)感體現(xiàn)，考查數(shù)學(xué)思維和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

例6已知實(shí)數(shù)a，b，c,

( )

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

分析在選項(xiàng)A中，令a=b=10,c=-110;在選項(xiàng)B中，令a=10,b=-100,c=0;在選項(xiàng)C中，令a=100,b=-100,c=0,即可排除這3個(gè)選項(xiàng).故選D.

3 悟題思教,回歸本質(zhì)

2019年浙江的向量題可以說又是一道好的高考題.好的高考題之所以成為經(jīng)典，是因?yàn)樗梢宰寣W(xué)生學(xué)會(huì)更好地解題，讓教師能更好地教數(shù)學(xué).一道好的高考題，考的就是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

3.1 觀題悟題

學(xué)會(huì)觀題，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.要學(xué)會(huì)觀數(shù)學(xué)題，根據(jù)題目的表述分析它到底想考什么知識(shí)點(diǎn)，從而構(gòu)建合適的解題路徑，選擇合適的方法.浙江省的向量試題一直有它獨(dú)特的味道，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，圍繞向量的兩大主線：代數(shù)與幾何.代數(shù)的本質(zhì)是數(shù)與多項(xiàng)式，幾何的本質(zhì)是位移；以幾何圖形為研究對(duì)象，通過研究圖形方法、思想統(tǒng)整幾何代數(shù)內(nèi)容形成主線，以多項(xiàng)式運(yùn)算應(yīng)用、向量代數(shù)體系建立及其應(yīng)用形成輔線，建立數(shù)學(xué)基本模型.

3.2 感悟方法

研究圖形的基本方法主要有4種：1)綜合幾何方法，其中幾何基本圖形包括直線、平面圖形(三角形、四邊形、圓、圓錐曲線)、空間圖形；幾何基本位置關(guān)系包括平行、垂直，圖形度量關(guān)系包括距離(長(zhǎng)度)、角度.2)解析幾何方法，即坐標(biāo)法.3)向量幾何方法.4)微積分方法.

代數(shù)處理的方法主要是通過與數(shù)和多項(xiàng)式運(yùn)算進(jìn)行類比，感悟向量代數(shù)運(yùn)算的特有規(guī)則，加強(qiáng)兩個(gè)數(shù)感的培養(yǎng)，即代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析與變形轉(zhuǎn)化能力、數(shù)據(jù)分析能力.代數(shù)求解的策略有三點(diǎn)共線、四邊形對(duì)角線向量、矩形大法、三項(xiàng)平方、極化恒等式、向量三角不等式(系數(shù)的拼湊)等.

( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

分析對(duì)b2-4e·b+3=0進(jìn)行代數(shù)結(jié)構(gòu)分析可知這是二次方程的結(jié)構(gòu)，想到因式分解，將代數(shù)式進(jìn)行合理變形，變成b2-4e·b+3e2=0就可以因式分解了.

3.3 為素養(yǎng)而教

數(shù)學(xué)是思維的體操，教的不是題海，是思維，讓學(xué)生參與問題求解的整個(gè)過程，總結(jié)提煉思想與方法，感悟數(shù)學(xué)問題中所蘊(yùn)含的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).2019年全國(guó)及其他省份的向量題其代數(shù)形式和幾何理解相對(duì)簡(jiǎn)單一些，素養(yǎng)的層次要求更集中一些，以坐標(biāo)法、數(shù)量積、模的運(yùn)算為主，突出向量所蘊(yùn)含的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等.難度在中等以及中等偏下，如：

( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

(2019年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

分析該題主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，答案為C.

( )

A．-3 B．-2 C．2 D．3

(2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第3題)

分析該題主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力，答案為C.

例10已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a⊥b，則m=______.

(2019年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

分析該題主要考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，答案為8.

(2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第13題)

圖4

(2019年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

例13已知非零向量a，b滿足，|a|=2|b|,且(a-b)⊥b，則a與b的夾角為

( )

(2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第7題)

分析該題主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，答案為B.

(2019年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析該題主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象能力，答案為-1.

總之，在平面向量的教學(xué)中，既要關(guān)注其“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)，又要充分發(fā)揮其“形”的直觀，以“兩個(gè)定理”(共線定理和平面向量基本定理)為基點(diǎn)，以“四大運(yùn)算”為主線，在推理的同時(shí)關(guān)注運(yùn)算，在運(yùn)算的過程中體會(huì)推理，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析以及幾何直觀等核心素養(yǎng)融為一體，相得益彰.在向量解題活動(dòng)中，教師選好題，把握好難度，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，在潛移默化中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).