馬登理論在排列組合教學(xué)中的應(yīng)用與啟示

(浙江師范大學(xué)附屬蕭山二中,浙江 杭州 311251)(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

“現(xiàn)象圖式學(xué)”是由瑞典教育家馬登所發(fā)展起來的一個(gè)教學(xué)理論，也被稱為“馬登理論”．其中，鑒別和差異是該理論的核心內(nèi)容，馬登借助這兩個(gè)核心概念提出了一些學(xué)習(xí)活動(dòng)的新見解．

第一，學(xué)習(xí)是一種鑒別.馬登指出，學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)事物或者現(xiàn)象就是從對(duì)象中區(qū)分出一些主要特征，并將注意力集中于這些共性．這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中，多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的情景，鼓勵(lì)學(xué)生將陌生的學(xué)習(xí)對(duì)象轉(zhuǎn)化成自己熟悉的知識(shí)，將新的問題套用已有的模型進(jìn)行處理，從而提高解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的能力．

第二，差異可以是變異．與題海戰(zhàn)術(shù)相比，教師在教學(xué)中應(yīng)該更加關(guān)注練習(xí)所包含的變異性，因?yàn)閷W(xué)生能夠體驗(yàn)到的關(guān)于學(xué)習(xí)對(duì)象的各個(gè)方面越多，他能夠進(jìn)行的學(xué)習(xí)空間就越大．如何使有效的變異發(fā)生？這就要求教師平時(shí)有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行積累、歸類以及變式研究，同時(shí)在課堂上多提供一些差異性的情景和不同角度、維度的變式練習(xí)．

筆者從上述兩個(gè)方面結(jié)合高中數(shù)學(xué)排列組合中的幾個(gè)案例，談?wù)勛约旱目捶?，望有助于促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性．

1 排列組合問題的變式探究

著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某一些有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智和推理能力．”[1]根據(jù)這一想法，教師應(yīng)注重在練習(xí)題的變化和區(qū)分中，不斷促進(jìn)學(xué)生從表層學(xué)習(xí)向深層學(xué)習(xí)的進(jìn)化．

而練習(xí)題的變式應(yīng)側(cè)重兩個(gè)方面：一方面，對(duì)于同一問題的“垂直變式”，教師應(yīng)準(zhǔn)確拿捏“漸變”的力度，從容易理解的角度出發(fā)，逐漸增加題目的難度和認(rèn)知的負(fù)荷，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)使學(xué)生的思維得到延展，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生鑒別問題和解決問題的能力進(jìn)一步提升；另一方面，對(duì)于看著相似但解題方法和思路卻截然不同的“水平變式”，教師可以多設(shè)置類似的問題，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中培養(yǎng)他們的思辯能力，讓學(xué)生在相同情景下體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)思維，幫助他們發(fā)掘題目的各個(gè)方面．

例16個(gè)不同的球，全部放入3個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子中．

1)任意放，有多少種放法？

2)3個(gè)盒子中的球數(shù)分別為1,2,3，有多少種放法？

3)每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，有多少種放法？

4)恰有一個(gè)盒子為空，有多少種放法？

5)每個(gè)盒子中的球數(shù)和編號(hào)一致，有多少種放法？

分析1)每個(gè)元素都有3個(gè)位置可供選擇，因此N=36.

該例的5個(gè)小問題就是典型的“垂直變式”，從乘法計(jì)數(shù)原理的相關(guān)問題出發(fā)再到一般的分組問題、平均分組問題、定序問題，由一般到特殊，層層遞進(jìn)，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一系列問題有一個(gè)全面而深刻的認(rèn)識(shí)．教師在設(shè)計(jì)這一系列問題之時(shí)要注意逐步體現(xiàn)問題的難度和深度．課前準(zhǔn)備時(shí)要反復(fù)琢磨自己設(shè)定的這些問題是否構(gòu)成一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的體系，是否能夠引導(dǎo)學(xué)生積極思考，是否能鍛煉學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問題應(yīng)具備的能力．

例26個(gè)相同的球，全部放入3個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子中．

1)每個(gè)盒子中的球數(shù)和編號(hào)一致，有多少種放法？

2)恰好有兩個(gè)盒子為空，有多少種放法？

3)恰有一個(gè)盒子是空盒，有多少種放法？

4)每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，有多少種放法？

5)任意放，有多少種放法？

分析1)因?yàn)槭窍嗤那颍苑殖?,2,3這樣的3堆只有一種分配的方法．又要與盒子上的編號(hào)一致，故只有一種放法，即N=1．

5)方法1分類討論的情況即為第2)～4)小題的情況，相加即可．

例2是例1的變式，小球由“不同”變成“相同”之后，解題的思路和方法發(fā)生了改變，這就是“水平變式”．教師可以根據(jù)例1的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生用類似分類討論的方法來解決例2的相關(guān)問題，然后再來探索更為簡潔的“隔板法”．例1和例2中小題放置的順序發(fā)生了一些變化，例1中的小題按照從一般到特殊排序，體現(xiàn)了學(xué)生思維的發(fā)展過程；例2中則是由特殊到一般，符合題目難度從淺到深、學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷逐漸增加的特征．教師在上課過程中應(yīng)積極主動(dòng)地觸發(fā)“有效的變式”，使得課堂環(huán)環(huán)相扣、難度層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在不斷思考差異的過程中獲得解題能力和思維邏輯．

2 排列組合問題的鑒別探究

人對(duì)于問題的解決，往往首先思考的是頭腦中的固有經(jīng)驗(yàn)和模型，一旦找到了這樣能套用的模式，就能迅速找到解決問題的方法，這就是“鑒別”[2]．排列組合中的題目類型豐富，看似千變?nèi)f化，但實(shí)際上很多問題都是固定模型在不同背景或者不同實(shí)際情況下的實(shí)踐和運(yùn)用．比起傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)，教會(huì)學(xué)生思考如何在各種問題情境下鑒別出已知模型，更能幫助學(xué)生提高解題速度和正確率．

例3完成以下小題:

1) 9個(gè)名額分給6所學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少一個(gè)名額，共有______種分法;

2)從5個(gè)學(xué)校中選出8名學(xué)生組成代表團(tuán)，要求每個(gè)學(xué)校至少有1人，共有______種分法;

3)方程x+y+z=8有______組不同的正整數(shù)解.

例4完成以下小題：

1)有5本不同的書，把它們?nèi)克徒o3個(gè)學(xué)生，每人至少一本，有______種不同的送書方法；

2) 3人參加5個(gè)不同的游戲，每個(gè)游戲最多2人參加(如果2人同時(shí)參加一個(gè)游戲，不區(qū)分2人在其中的角色)，則不同的參與方式共有______種；

3)紅、黃、綠3種顏色的卡片分別標(biāo)有字母A,B,C,D,E各一張，每次取出5張，要求字母各不相同，3種顏色齊全的取法有______種.

正是有了這種學(xué)習(xí)模型的鑒別，在解決具體排列組合的問題中，才能發(fā)現(xiàn)許多問題其實(shí)可以抽象成“a個(gè)不同的球放入b個(gè)不同盒子”或者“a個(gè)相同的球放入b個(gè)不同盒子”這兩個(gè)模型，前者可以通過先分堆再分配的思路解題，后者可以用隔板法解決．學(xué)生需要在解題過程中不斷鑒別出這樣的模型，這就是馬登理論所說:學(xué)習(xí)是一種鑒別.

對(duì)于教師的課堂教學(xué)而言，也應(yīng)該積極提倡一法多用．同一種方法只有不斷地應(yīng)用于各種問題情境，才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)不同問題情境中問題解決的方法的同一性，進(jìn)而掌握該方法的實(shí)質(zhì)[3]．這就要求我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中創(chuàng)設(shè)不同特質(zhì)、不同類型、不同背景的題目，為學(xué)生營造出一法多用、鑒別模型的學(xué)習(xí)條件．作為一名數(shù)學(xué)教師，不能只刻板地、離散地傳授學(xué)生解題方法，而是要有導(dǎo)向性地創(chuàng)設(shè)變式情景、強(qiáng)化方法形成的過程、圍繞核心問題剖析重難點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何思考、如何系統(tǒng)地將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來．

馬登理論整個(gè)理論都圍繞著一個(gè)教學(xué)目的，就是更好地發(fā)展學(xué)生．著眼于當(dāng)下，是為了學(xué)生更好地提高學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量；放眼于未來，是為了學(xué)生更快地適應(yīng)社會(huì)的變化．馬登理論作為一個(gè)深層次的教學(xué)教育理論，筆者僅僅通過排列組合這塊知識(shí)展現(xiàn)了它最淺層的兩個(gè)含義．實(shí)際上，它的理念非常符合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的需要，值得我們進(jìn)一步探討和深思．