發(fā)展初中生平面幾何認(rèn)知能力的策略研究

顧瑩潔

摘 要：新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，掀起了新一輪的課程改革熱潮。新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的理念是注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使學(xué)生在各項能力上都得到充分的發(fā)展。在內(nèi)容方面，新課程標(biāo)準(zhǔn)將基礎(chǔ)教育階段的原“幾何”學(xué)習(xí)領(lǐng)域拓展為“空間與圖形”，并提出要發(fā)展學(xué)生的空間觀念，同時新增“幾何直觀”為十個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);平面幾何;認(rèn)知能力

為了落實新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，我們需要進(jìn)一步改革幾何課堂教學(xué)，教師應(yīng)該重視對學(xué)生的能力培養(yǎng)，尋找相適應(yīng)的教學(xué)策略和方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極主動性，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)適應(yīng)時代發(fā)展的要求。

一、合理利用自發(fā)性概念形成正確的平面幾何認(rèn)知

學(xué)生生活在幾何的世界里，在每天的日常生活中都會接觸到不同的幾何圖形或在其他無意識的活動中對一個概念產(chǎn)生一種不知不覺的認(rèn)識，形成了許多關(guān)于空間的自發(fā)性概念。

在幾何學(xué)習(xí)中，有時這種“想當(dāng)然”的態(tài)度會導(dǎo)致在學(xué)習(xí)過程中對幾何知識的模糊和不正確。例如，他們可能在生活中接觸過撲克牌的菱形“◇”，但對于底邊水平的菱形“■”，會認(rèn)為這不是菱形。在教學(xué)中要注意學(xué)生自發(fā)性的錯誤認(rèn)識，及時糾正，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)概念。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)對頂角的概念時，可能會形成不正確的主觀認(rèn)識，認(rèn)為由一條垂直和一條水平線構(gòu)成的角不是對頂角。所以教師抓住幾何圖形具有直觀性，利用現(xiàn)代信息技術(shù)（幾何畫板）和教具模型，讓學(xué)生觀察一條水平直線和過直線上一點的另一條運動直線構(gòu)成的對頂角的變化，學(xué)生從直觀構(gòu)建意象，通過形象思維和經(jīng)驗整合形成對頂角的正確認(rèn)知。

另一方面，學(xué)生自發(fā)性概念也可以為我們所用，利用學(xué)生在實際中獲得的直觀形象和經(jīng)驗來建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，使得抽象的概念對于學(xué)生而言變得豐富和形象起來。

例如，教師在講全等三角形的判定方法時，先不給出抽象的判定定理，而是讓學(xué)生先畫一畫，看看畫出的三角形是否是相等的，學(xué)生從直觀上認(rèn)識到“角邊角”“邊角邊”“邊邊邊”“角角邊”這些條件能夠說明三角形全等，而“邊邊角”不可以判定三角形全等。

二、達(dá)到關(guān)系性理解形成清晰全面的平面幾何認(rèn)知

很多學(xué)生對于幾何的理解是知其然，但不知其所以然。比如學(xué)生會用三角形的面積公式去求某一三角形的面積，但三角形的面積公式為什么是底×高卻不理解。學(xué)生只會單純地機(jī)械操作，對于圖形的本質(zhì)關(guān)系沒有清晰的認(rèn)識，沒有建立穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)，一旦出現(xiàn)圖形變化、公式復(fù)雜，便會手足無措，認(rèn)知能力受到限制。而達(dá)到關(guān)系性理解的學(xué)生能抓住概念、原理的本質(zhì)，將已有知識結(jié)構(gòu)和新知識建立正確穩(wěn)定的聯(lián)系。關(guān)系性理解有利于學(xué)生的記憶和對知識的遷移。

初中的平面幾何圖形之間存在著諸多聯(lián)系，教師在教學(xué)時重視概念網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，利用新舊知識的類比、推理等靈活運用圖形性質(zhì)關(guān)系使學(xué)生將已有知識與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系起來的，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時游離在外部，要讓學(xué)生將已知的知識遷移到新的知識中去。

例如，講授“平行四邊形的判定”這節(jié)課時，把剛剛學(xué)過的平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的判定關(guān)系用概念圖呈現(xiàn)出來：先從邊、角、對角線3個方面對平行四邊形的性質(zhì)分別進(jìn)行文字描述和幾何語言描述;然后對應(yīng)到判定，讓學(xué)生大膽猜想：如果知道了性質(zhì)中的描述，能否證明此四邊形是平行四邊形？如何證明？教師引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生自己證明;證明假設(shè)成立后，讓學(xué)生分別用文字語言和幾何語言將平行四邊形的判定定理描述出來。整個學(xué)習(xí)過程，教師創(chuàng)設(shè)了一個特定的情境，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)清晰的概念框架，將其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識相關(guān)的原有知識激活，學(xué)生通過對新舊知識的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題、大膽假設(shè)、積極思考、證明結(jié)論，主動完成對平行四邊形的性質(zhì)和判定的建構(gòu)。

另一方面，幾何學(xué)習(xí)要抓住概念的本質(zhì)。只有抓住了本質(zhì)內(nèi)涵才能靈活思考。例如垂徑定理是學(xué)習(xí)圓的一大難點，但可以引導(dǎo)學(xué)生將相等半徑看成等腰三角形，利用等腰三角形三線合一來理解垂徑定理就簡單很多。

三、重視幾何思維訓(xùn)練，發(fā)展平面幾何認(rèn)識

大量研究表明，初中階段是思維發(fā)展的關(guān)鍵時期、飛躍期。在發(fā)展幾何思維時要注重學(xué)生的水平上升是一個動態(tài)的過程，是連續(xù)性的，而不是間斷性的。

筆者認(rèn)為可以從設(shè)計有效問題鏈入手。在課堂提問時，教師要從幾何思維的獨特性考慮，從具體的事物入手，循序漸進(jìn)，帶領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識進(jìn)入到理性認(rèn)識層面。在提問時要有啟發(fā)性，讓學(xué)生自主探索，激發(fā)思維，靈活思考。

例如上“圓周長”一課時設(shè)計如下問題鏈：（1）猜測弧長與那些因素有關(guān)？（2）與半徑和圓心角有關(guān)，到底存在怎樣的數(shù)量的關(guān)系？（3）90°的圓心角是圓周長的幾分之幾？為什么是四分之一？90°是周角的四分之一，為什么90°所對弧長也是周長的四分之一？（4）如果將圓心角換成其他的角度，又會有怎樣的關(guān)系呢？（5）通過特殊圖形，當(dāng)圓心角為n°時，能否歸納規(guī)律？

這樣設(shè)計的問題由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從特殊到一般，幫助學(xué)生理解弧長是周長的一部分，有效推動活動進(jìn)程，在潛移默化中讓學(xué)生體會了多種數(shù)學(xué)思維方法，亦為后課扇形面積奠定解決問題的方法。這一系列的問題層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，不僅是停留在弧長公式上，在探究公式的過程中，引發(fā)了學(xué)生深層次的思考。教師在選擇題目的時候也要注重學(xué)生幾何思維的訓(xùn)練，進(jìn)一步發(fā)展幾何認(rèn)知能力，使學(xué)生不僅能理解幾何概念，還要會靈活運用，會利用幾何知識解決問題。

總之，筆者認(rèn)為在幾何教學(xué)中我們要明確一些基本原則：重視學(xué)生的主動建構(gòu)，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)基礎(chǔ)知識教學(xué)，正確認(rèn)清概念，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，了解概念實質(zhì)，提問啟發(fā)式，重視思維訓(xùn)練等教學(xué)途徑。

編輯 溫雪蓮