關(guān)注問題類型，探索解題模型

李思瑗

[摘? 要] 作為幾何中最為基本的圖形，平行四邊形具有眾多的公式定理和問題類型，學(xué)生在解析時存在一定的難度——難以準(zhǔn)確地選用對應(yīng)的公式定理，因此對問題進(jìn)行歸納，提煉解題模型十分必要. 文章從平行四邊形的基本問題入手，逐步深入探析，總結(jié)解題模型，以期對讀者有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 平行四邊形;模型;比值;三角函數(shù)

問題起源

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中最為重要的幾何圖形之一，掌握圖形的性質(zhì)，并對其加以證明是教學(xué)大綱對學(xué)生的基本要求. 雖然平行四邊形的性質(zhì)、定理較為豐富，但學(xué)生單獨理解其中的某一內(nèi)容還是比較容易的. 其難點在于解決將眾多的知識點進(jìn)行融合而構(gòu)建的相對復(fù)雜的綜合題. 考慮到學(xué)生的綜合應(yīng)用能力較弱，有時難以直切主題、高效破解，所以此時十分有必要引進(jìn)平行四邊形的解題模型，使用模型揭露問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生完成問題的分析與求解[1]. 而要引進(jìn)解題模型，就需深入了解平行四邊形的問題類型.

問題探索

兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，這是平行四邊形的定義，由此可以衍生出平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分等基本性質(zhì). 由平行四邊形的性質(zhì)和定理構(gòu)建的基本問題類型，包括判定某個四邊形為平行四邊形，證明線段相等、兩線平行，求線段的長或圖形的面積等. 下面結(jié)合問題實例加以探析.

1. 探索一：特殊關(guān)系模型

平行四邊形有對邊相等、對角線互相平分的性質(zhì)，由上述性質(zhì)可以獲得平行四邊形內(nèi)的幾組相等線段，但實際解題時，試題考查的兩條線段一般不存在上述關(guān)聯(lián)性，所以需要學(xué)生基于對平行四邊形的理解，結(jié)合相關(guān)幾何知識來構(gòu)建長度關(guān)系. 此時可以考慮從平行四邊形的內(nèi)角入手，構(gòu)建特殊的三角形，利用特殊關(guān)系來求證.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，AF平分∠BAD，與線段DC的延長線交于點F，求證：DA=DF.

[圖1][B][D][C][F][A]

解析本題除了平行四邊形的性質(zhì)外，另一個重要的條件為“AF平分∠BAD”. 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BAF=∠DAF，而平行四邊形的兩組對邊分別平行，所以有AB∥DF. 利用直線平行的性質(zhì)定理，可得∠BAF=∠F，進(jìn)而可得∠DAF=∠F. 所以△DAF是等腰三角形. 由“等角對等邊”，可證得DA=DF.

模型提煉求證線段等長問題，可以考慮采用“角平分線+平行線→等腰三角形”這一模型，即利用問題中的角平分線，結(jié)合平行四邊形的對邊平行性質(zhì)，構(gòu)建等腰三角形，隨后利用等腰三角形的性質(zhì)來構(gòu)建兩條線段的長度關(guān)系. 此外，也可以逆用該模型，由等腰三角形來逆推角平分線.

2. 探索二：等面積模型

在以平行四邊形為背景的幾何題中，除了常見的證明題外，還有求線段的長、圖形的面積等問題，即計算類問題. 要解決此類問題，還需要利用三角形的面積公式、周長公式等. 如果所求三角形的形狀較為特殊，則可以直接根據(jù)公式來探索線段長，而對于形狀較為抽象的一般幾何圖形，則可以考慮使用“等面積”模型[2].

例2如圖2，BD⊥AC，AF=FC，點E為四邊形ABCD外一點，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC.

（1）試證明四邊形ABDE為平行四邊形;

（2）若DA是∠BDE的平分線，設(shè)AB=5，AD=6，求AC的長.

解析（1）要證明四邊形ABDE為平行四邊形，只需依據(jù)平行四邊形的判定定理來探索條件. 因為AE和BD均垂直于線段AC，所以AE∥BD. 由∠ADE=∠BAD，可得AB∥ED. 故四邊形ABDE為平行四邊形.

（2）根據(jù)“角平分線+平行線”的模型，可證平行四邊形ABDE為菱形，具體過程如下：因為DA是∠BDE的平分線，所以∠BDA=∠ADE. 結(jié)合∠ADE=∠BAD，可得∠BAD=∠BDA. 再由“等角對等邊”，可得AB=BD. 根據(jù)定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”，可得四邊形ABDE為菱形. 接著連接BE，可得BE⊥AD. 對于菱形ABDE的面積，有兩種求法，即S=AD·BE，S=BD·AF，根據(jù)等面積法，可得AD·BE=BD·AF，于是可求得AF=，AC=2AF=.

模型解讀在幾何圖形中求解線段長，可以利用“等面積”模型，即從不同的角度構(gòu)建同一圖形的面積，根據(jù)面積相等構(gòu)建相關(guān)線段長的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的[3]. 另外，也可以利用等面積模型對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即根據(jù)圖形的面積相等，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)接到另一圖形上，在構(gòu)建時需要嚴(yán)格按照圖形的面積公式，對相關(guān)線段的長加以分析.

深度剖析

近幾年的中考試題越發(fā)注重對知識進(jìn)行綜合考查，同時出現(xiàn)了眾多以平行四邊形為背景，結(jié)合知識聯(lián)系點所命制的綜合類考題，如與三角函數(shù)、代數(shù)比值相結(jié)合構(gòu)建的幾何題. 該類問題一般具有很強的拓展性，可以從不同的角度構(gòu)建解題思路，也可以直接利用解題模型來加以探究，下面對其深入剖析.

1. 問題一：已知比值，求線段

幾何中的比值實際上就是線段長的數(shù)量關(guān)系，求解時可以利用方程模型，即基于方程思想，設(shè)出相關(guān)線段的長或設(shè)定關(guān)于線段長的參數(shù)，然后基于幾何關(guān)系構(gòu)建方程，通過解方程的方式來求解.

例3如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為邊AB的中線，過點D作DE⊥BC于點E，過點C作CF∥AB交DE的延長線于點F，連接BF，AE.

（1）試證明四邊形BDCF為菱形;

（2）若S=24，=，試求CF的長.

解析（1）按照先證四邊形BDCF為平行四邊形，再證其為菱形的思路進(jìn)行證明即可.

（2）題干給出了兩個關(guān)鍵條件：一是四邊形BDCF的面積，二是EC與AC線段長的比值. 考慮到利用幾何的面積公式可以將幾何面積轉(zhuǎn)化為幾何線段長的乘積，因此給出四邊形BDCF的面積，實際上就是給出了幾何線段的關(guān)系. 由=，可設(shè)EC=2a，則AC=DF=3a. 四邊形BDCF的面積可以表示為S=BC·DF，其中BC=2EC=4a，進(jìn)而可得·4a·3a=24，又a>0，所以a=2. 所以EC=4，EF=3. 根據(jù)勾股定理，可得CF=5.

模型解讀在比值類問題中構(gòu)建代數(shù)方程是求解該類問題的重要思路之一，其中的方程模型是基于幾何關(guān)系所構(gòu)建的，常見的構(gòu)建策略包括利用幾何面積、勾股定理、三角函數(shù)值等. 具體的構(gòu)建步驟為：設(shè)未知數(shù)或參數(shù)→析關(guān)系→構(gòu)方程→解未知.

2. 問題二：融合三角函數(shù)

三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中較為特殊的一類函數(shù)，在初中階段研究三角函數(shù)，一般將其放置在直角三角形中，構(gòu)建相關(guān)線段長的比值關(guān)系. 中考試題中融合三角函數(shù)的方式主要有兩種：一是直接給出三角函數(shù)值，用以分析幾何關(guān)系;二是根據(jù)已知條件來分析三角函數(shù). 無論是求解哪類試題，都可以利用解直角三角形模型來分析、破解.

例4如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=8，∠ABD的正切值為，試求線段AB的長.

解析四邊形ABCD為菱形，根據(jù)其性質(zhì)可得對角線AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，因此△AOB是以∠AOB為直角的三角形. 在該三角形中，tan∠ABD=，又BO=BD=4，所以=. 所以AO=3. 由勾股定理，可得AB==5.

模型解讀直角三角形是一種特殊的三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構(gòu)建三邊長的關(guān)系，也可以結(jié)合三角函數(shù)值構(gòu)建邊長的比值關(guān)系，因此利用直角三角形的解題模型可以巧妙地求解相關(guān)幾何問題.

解后思考

上述對平行四邊形的相關(guān)問題進(jìn)行了探究，并總結(jié)了對應(yīng)的解題模型. 實際上，解題模型是基于對問題的深度探究，是對解題思路和方法的高度概括，對加深問題理解和提升解題效率有一定的幫助.

平行四邊形的問題類型較多，但總體而言可以歸納為幾何證明、線段求值、綜合拓展等幾大類. 因此，在充分理解命題思路、剖析問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，可以構(gòu)建相應(yīng)的解題模型. 利用解題模型來分析問題，可以有效地避開問題“陷阱”，直切問題根本[4]. 而在教學(xué)中，則需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題模型的構(gòu)建過程，調(diào)動學(xué)生的思維，運用相應(yīng)的公式、定理完成模型的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生善于提煉問題的條件、結(jié)論，并合理利用模型對其加以表征. 在構(gòu)建的過程中，需要注意不能過于模型化，不能采用機(jī)械的知識灌輸方式，而應(yīng)采用科學(xué)的探究策略，從問題的特征入手，剖析問題的本質(zhì)內(nèi)涵，提煉其中的關(guān)鍵信息，探索有效的構(gòu)建策略，最后歸納解題思路，完成解題模型的構(gòu)建.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的思維發(fā)展應(yīng)是教師關(guān)注的重點，整個課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體. 無論是問題分析，還是模型構(gòu)建，都應(yīng)注重學(xué)生的思維體驗. 教學(xué)中，可以采用問題引導(dǎo)的方式，通過合理的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生不斷地遞進(jìn)思考，逐步幫助學(xué)生構(gòu)建完整的模型探究思維鏈. 同時，在模型構(gòu)建的過程中，注意合理滲透數(shù)學(xué)的思維方法，讓學(xué)生在構(gòu)建模型中明晰所采用的思想依據(jù)，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，以問題探索為依托，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]倪春花. 從人教版“18.1.1? 平行四邊形”再踐“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”之旅[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（35）：11-13.

[2]林秋萍. 基于案例的“數(shù)學(xué)模型演繹”教學(xué)與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（22）：37-38.

[3]馮玉娟. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中初步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的嘗試[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（z3）：49-50.

[4]陳光祥. “基本模型”專題復(fù)習(xí)的示例和思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（32）：31-33.