透視圖形折疊，探討問(wèn)題策略

劉燕

[摘? 要] 圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中的“變”與“不變”性質(zhì)是該類(lèi)問(wèn)題解答的關(guān)鍵. 教學(xué)中首先要使學(xué)生理解圖形折疊的本質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)，其中存在一些問(wèn)題，文章將對(duì)其加以探討.

[關(guān)鍵詞] 圖形折疊;幾何問(wèn)題;教學(xué)微設(shè)計(jì)

問(wèn)題起源

“圖形的折疊”是初中數(shù)學(xué)幾何模塊重要的知識(shí)內(nèi)容，是構(gòu)建幾何體系的關(guān)鍵，初中階段學(xué)生需要掌握?qǐng)D形折疊的本質(zhì)、關(guān)鍵參數(shù)以及圖形折疊的性質(zhì). 圖形折疊會(huì)帶來(lái)眾多的關(guān)聯(lián)問(wèn)題， 如折疊點(diǎn)的具體位置、折線的長(zhǎng)度、重疊面積以及相關(guān)的角度和線段長(zhǎng)問(wèn)題. 考慮到折疊對(duì)象涉及三角形、矩形和正方形等圖形，若學(xué)生對(duì)圖形折疊知識(shí)理解不到位，則很容易陷入思維誤區(qū)，造成解題錯(cuò)誤. 因此十分有必要對(duì)圖形折疊內(nèi)容進(jìn)行解讀，開(kāi)展教學(xué)微設(shè)計(jì)，深入探討折疊的關(guān)聯(lián)問(wèn)題.

知識(shí)解讀

幾何中的折疊實(shí)際上就是圖形變換的一種方式，折疊的過(guò)程實(shí)際上就是軸對(duì)稱(chēng)變換的過(guò)程，因此折線就是圖形的對(duì)稱(chēng)軸，折疊前后的圖形關(guān)于折線成軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系. 考慮到折疊圖形完全重合，因此折疊過(guò)程存在圖形全等關(guān)系，根據(jù)圖形全等可知折疊前后圖形的形狀、大小、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變，僅發(fā)生位置的改變，因此圖形折疊的關(guān)聯(lián)問(wèn)題是圖形的全等以及相關(guān)幾何關(guān)系的證明.

圖形的折疊相對(duì)較為復(fù)雜，在實(shí)際操作中需要繪制折線和圖形折疊前后的位置，方便圖形幾何關(guān)系的分析，而在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)同樣可以采用該種方式，通過(guò)添加輔助線的方式用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述折疊的性質(zhì)，然后利用特殊圖形和幾何定理來(lái)突破考題.

教學(xué)微設(shè)

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)除了需要指導(dǎo)學(xué)生掌握基本的知識(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探求的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，教學(xué)圖形的折疊內(nèi)容同樣不例外，需要從基本幾何知識(shí)開(kāi)展教學(xué)微設(shè).

微設(shè)一：本質(zhì)的探尋

課堂上準(zhǔn)備一矩形ABCD，如圖1，將△ABD沿著對(duì)角線BD進(jìn)行折疊，使得頂點(diǎn)A落在矩形外的點(diǎn)E處，設(shè)BE與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，AE與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，分析△ABD折疊過(guò)程中存在哪些結(jié)論.

引導(dǎo)1：關(guān)注圖形的折疊過(guò)程，分析折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以及圖形的折痕.

引導(dǎo)2：關(guān)注折疊前后圖形在大小和形狀上的關(guān)系，從幾何全等或相似角度分析.

引導(dǎo)3：分析圖形中的全等三角形，根據(jù)全等性質(zhì)從邊和角兩方面總結(jié)結(jié)論.

引導(dǎo)4：分析折疊前后圖形關(guān)于折痕的關(guān)系，從軸對(duì)稱(chēng)的角度概述折疊的本質(zhì).

微設(shè)二：通法的探尋

繼續(xù)以矩形ABCD為例，設(shè)AB=8，BC=6，此次以圖2所示情形進(jìn)行折疊，將△ABP沿BP進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)A落到矩形的邊DC上，落點(diǎn)設(shè)為E.

設(shè)問(wèn)1：上述折疊過(guò)程存在哪些特點(diǎn)？（分析折痕）

設(shè)問(wèn)2：根據(jù)已知條件還可以求出哪些線段長(zhǎng)？

設(shè)問(wèn)3：若要求AP的長(zhǎng)，如何構(gòu)建思路？

引導(dǎo)：首先讓學(xué)生分析上述圖形折疊的特點(diǎn)，根據(jù)已知條件求出一些線段長(zhǎng)，然后分析其中的直角三角形，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理構(gòu)建代數(shù)方程來(lái)求線段長(zhǎng).

類(lèi)題探析

初中數(shù)學(xué)以圖形折疊為基礎(chǔ)衍生的幾何問(wèn)題類(lèi)型較多，涉及眾多的典型問(wèn)題，中考還涉及一些關(guān)聯(lián)知識(shí)，因此在問(wèn)題分析時(shí)除了需要利用圖形折疊的知識(shí)外，還需要把握問(wèn)題的結(jié)合點(diǎn)構(gòu)建思路，下面舉例探析.

1. 通過(guò)折疊，求解線段長(zhǎng)

例1? 在圖3所示的矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿著AE進(jìn)行折疊，點(diǎn)B最終落在了點(diǎn)F處，且位于矩形的內(nèi)部，連接CF，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

分析? 本題目主要考查圖形折疊和矩形的性質(zhì)，首先需要提煉折疊的對(duì)象、折線和折疊后的圖形，根據(jù)折疊性質(zhì)明確等量關(guān)系. 求CF的長(zhǎng)需要將其放在特定的三角形中，利用三角形的相關(guān)定理構(gòu)建求解模型. 連接BF后，根據(jù)三角形的面積公式可求BH，進(jìn)而可得BF的長(zhǎng)，分析可知△BFC為直角三角形，可以利用勾股定理來(lái)求CF.

解答? 連接BF，交AE于點(diǎn)H，如圖4所示，根據(jù)折疊性質(zhì)可知BE=EF，BH=FH，AE⊥BF，對(duì)△ABE使用等面積法，可得S=AB·BE=AE·BH，可求得BH=，BF=2BH=. 由于EF=BE=CE，所以△BFC為直角三角形，即∠BFC=90°，在Rt△BFC中使用勾股定理，可得CB2=BF2+CF2，代入線段長(zhǎng)可解得CF=，即CF的長(zhǎng)為.

2. 分析折疊，求解圖形面積

例2? 如圖5所示，四邊形ABCD為一矩形，邊長(zhǎng)BC=8 cm，AB=6 cm，現(xiàn)將矩形ABCD沿著對(duì)角線BD進(jìn)行折疊，最終點(diǎn)C落在矩形外的點(diǎn)E處，設(shè)折疊后AD與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，則折疊后重疊部分△BFD的面積為_(kāi)_____.

分析? 本題為以矩形折疊為背景求重疊面積的幾何題，首先需要根據(jù)題意明確圖形折疊的過(guò)程，即矩形沿著對(duì)角線BD進(jìn)行對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E. 然后根據(jù)折疊特性提煉幾何條件，主要有兩類(lèi)：一是等角，二是等邊. 然后基于面積公式求解關(guān)鍵的線段長(zhǎng).

解答? 折疊前后的圖形為全等三角形，即△BDE≌△BDC，則∠1=∠2，BE=BC，DE=DC. 矩形中AD∥BC，則∠1=∠3，所以∠2=∠3，必然有BF=DF. 重疊的圖形為△BFD，則其面積S=BF·DE=FD·DE，在Rt△BAF中構(gòu)建求解三角形邊長(zhǎng)的方程，設(shè)FD=x，F(xiàn)A=8-x，由勾股定理可得BA2+AF 2=BF 2，及62+（8-x）2=x2，解得x=，所以S△FBD=××6= cm.

3. 透視折疊，突破三角函數(shù)

例3? 如圖6所示，將矩形ABCD的一邊AD進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)D落在矩形底邊BC上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，若矩形的AB=8 cm，BC=10 cm，則tan∠EAF=______.

分析? 本題目同樣為典型的圖形折疊問(wèn)題，特殊之處在于融合了三角函數(shù)，在初中階段求解三角函數(shù)值一般需要將其放置在直角三角形中，利用三角形的邊長(zhǎng)比值關(guān)系求解. 由題意可知△ADE≌△AFE，則△AFE為直角三角形，所以tan∠EAF=，因此只需要利用題干條件求解線段EF和AF的長(zhǎng)度即可.

解答? 四邊形ABCD為矩形，則CD=AB=8，AD=BC=10，分析折疊過(guò)程可知△ADE≌△AFE，所以∠AFE=90°，AF=AD=10，在Rt△ABF中利用勾股定理，可得BF=6. 設(shè)EF=x，則DE=EF=x，CE=8-x，CF=BC-BF=4，在Rt△CEF中利用勾股定理，可解得x=5，即EF=5. 在Rt△AEF中，tan∠EAF==.

上述剖析了與折疊相關(guān)的幾類(lèi)問(wèn)題，涉及了基本問(wèn)題以及較為復(fù)雜的綜合問(wèn)題. 從問(wèn)題分析的本質(zhì)來(lái)看，實(shí)際上就是分析圖形折疊的本質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)求解相關(guān)的條件. 無(wú)論是求解三角形面積，還是求三角函數(shù)值，均需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的線段長(zhǎng)，常規(guī)的方法主要有兩種：一是利用三角形全等或相似來(lái)直接獲得，二是借助直角三角形的勾股定理，構(gòu)建求解線段長(zhǎng)的方程，通過(guò)解方程的方式獲得.

教學(xué)反思

圖形折疊是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，從“四基”理念出發(fā)需要教師在教學(xué)中回歸教材基礎(chǔ)，剖析知識(shí)本質(zhì)，突出重難點(diǎn)，關(guān)注考點(diǎn)類(lèi)題，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 立足折疊本質(zhì)，串聯(lián)知識(shí)內(nèi)容

圖形折疊作為幾何的重要部分，有著一定的特殊性，屬于幾何動(dòng)態(tài)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)必然存在一定的難度，因此在教學(xué)中需要把握知識(shí)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生剖析圖形折疊背后的內(nèi)容，即折疊的本質(zhì)和性質(zhì). 考慮到其知識(shí)內(nèi)容又具有關(guān)聯(lián)性，教學(xué)中十分有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其加以串聯(lián)，將三角形全等、軸對(duì)稱(chēng)相結(jié)合，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)折疊的理解，為后續(xù)的問(wèn)題探析打下基礎(chǔ).

2. 關(guān)注問(wèn)題方法，構(gòu)建解題思路

圖形折疊是中考較為典型的一類(lèi)問(wèn)題，涉及求基本的線段長(zhǎng)、幾何角，以及復(fù)雜的面積、三角函數(shù)等，前者求解較為簡(jiǎn)單，但后者具有一定的綜合性，需要教師啟發(fā)思路，幫助學(xué)生掌握方法. 一般以折疊為載體的綜合性問(wèn)題，教學(xué)中首先需要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)述圖形折疊的過(guò)程，然后從中提煉關(guān)聯(lián)條件，對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，建立問(wèn)題與條件的聯(lián)系，最后借助對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解. 例如求折疊中的幾何面積，可以基于面積公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)，利用特殊三角形的性質(zhì)構(gòu)建代數(shù)方程.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維

折疊問(wèn)題的求解過(guò)程涉及眾多的思想方法，從思想內(nèi)容來(lái)看，解題的過(guò)程就是在思想方法的指導(dǎo)下完成問(wèn)題轉(zhuǎn)化與建模，其中最為重要的思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和構(gòu)造思想. 數(shù)形結(jié)合滲透在整個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程中，而方程思想和構(gòu)造思想蘊(yùn)含在求解相關(guān)線段長(zhǎng)的模型中. 教學(xué)中需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是嚴(yán)格按照思想方法的意義進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)，二是使學(xué)生經(jīng)歷利用思想方法解題的過(guò)程，領(lǐng)悟運(yùn)用思想方法的解題思路. 在教學(xué)中合理地滲透數(shù)學(xué)思想，不僅可以使學(xué)生掌握解題策略，還可以提升學(xué)生的思維，使學(xué)生獲得長(zhǎng)足的發(fā)展.