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    如何處理數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)

    2019-09-12 03:18:50陸世雄
    關(guān)鍵詞:思維定式階梯式社會(huì)實(shí)踐

    陸世雄

    [摘? 要] 教師可以“由‘社會(huì)實(shí)踐出發(fā),降低難點(diǎn)的難度”“由‘異同點(diǎn)出發(fā),構(gòu)造處理難點(diǎn)的一般途徑”“‘階梯式教學(xué)分散教學(xué)難點(diǎn)”等,有效、透徹地處理好難點(diǎn)問題,提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)難點(diǎn);社會(huì)實(shí)踐;階梯式;思維定式

    數(shù)學(xué)教學(xué)中所謂的“難點(diǎn)”,指引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)困頓,無法更好地理解和運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn);也是教師教學(xué)過程中致力于破解的教學(xué)重心;更是引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)成績差距的根本. 處理好數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn),一方面可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平,啟迪學(xué)生的智慧,引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,越站越高,越走越遠(yuǎn);另一方面,也是對教師教學(xué)水平的檢測和錘煉. 那么,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)如何理性、透徹、有效地處理好難點(diǎn)呢?下面,筆者借助自身的教學(xué)與實(shí)踐,談一點(diǎn)思考.

    由“社會(huì)實(shí)踐”出發(fā),降低難點(diǎn)的難度

    數(shù)學(xué)源于生活,又高于生活. 數(shù)學(xué)由于自身的學(xué)科特點(diǎn),知識(shí)上體現(xiàn)出了抽象化的特征,學(xué)生的想象力容易被這種抽象化的知識(shí)所限制,無法生成理解. 因此,教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,應(yīng)適時(shí)地選擇一些生活中的實(shí)例,將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化,引導(dǎo)學(xué)生在親歷中感悟知識(shí).

    比如,筆者在教學(xué)“平面直角坐標(biāo)系”這一內(nèi)容時(shí),先將學(xué)生的座位行數(shù)和列數(shù)按照一定的順序進(jìn)行編號,之后引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考:

    (1)某某學(xué)生的位置在第幾行、第幾列?

    (2)位置在第5行、第3列的學(xué)生是誰?

    (3)平面直角坐標(biāo)系是如何建立的?

    (4)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)該如何使用坐標(biāo)表示呢?

    (5)能否說說直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和它的坐標(biāo)是哪種對應(yīng)關(guān)系?

    (6)如何根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)去確定點(diǎn)的位置?

    數(shù)學(xué)家笛卡兒當(dāng)年也是借助天花板上的蜘蛛產(chǎn)生靈感,進(jìn)而創(chuàng)立了“平面直角坐標(biāo)系”. 筆者借助一系列問題情境,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梯度思考:問題(3)作為以上“問題串”的難點(diǎn),借助了問題(1)(2)的鋪墊,并在問題(4)(5)(6)中更好地實(shí)現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值[2]. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)和討論中,更好地內(nèi)化了知識(shí)技能,實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的自然生長,培育了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    由“異同點(diǎn)”出發(fā),構(gòu)造處理難點(diǎn)的一般途徑

    課堂教學(xué)中,一些知識(shí)點(diǎn)較易混淆,教學(xué)難度大,教師應(yīng)予以重視,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度剖析,找出知識(shí)點(diǎn)之間的異同,進(jìn)而透徹理解其本質(zhì),促進(jìn)思維發(fā)展,建構(gòu)知識(shí)體系.

    例如,區(qū)分an與-an,(-a)n與-(-a)n時(shí),需看清底數(shù)、底數(shù)的符號以及冪的符號. 再如,教師可以將四種銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行歸納、整合,之后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其共性:

    (1)它們的條件創(chuàng)設(shè)一致,都為直角三角形;

    (2)其中“弦”為直角邊與斜邊的比,“切”為直角邊與直角邊的比;

    (3)所謂的“正”就是角的對邊為分子,所謂的“余”就是角的鄰邊為分子;

    (4)正弦值和余弦值均在0~1之間,正切值和余切值需大于0,可以比1大;

    (5)角是自變量,比值則為因變量.

    教師通過對知識(shí)點(diǎn)的對比分析,在充分理清混淆點(diǎn)的基礎(chǔ)上,分析其中蘊(yùn)含的豐富關(guān)系,能加深對知識(shí)的深入理解,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然生長,促進(jìn)學(xué)生的思維品質(zhì).

    “階梯式”教學(xué)分散教學(xué)難點(diǎn)

    在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師可基于學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu),創(chuàng)設(shè)低起點(diǎn)、高立意的目標(biāo)習(xí)題,階梯式地由淺入深、層層推進(jìn). 這樣能讓學(xué)生在教師精心創(chuàng)設(shè)的“階梯式”教學(xué)環(huán)節(jié)中,逐級攀登. 筆者認(rèn)為,學(xué)好數(shù)學(xué)的竅門在于學(xué)會(huì)“退級”,退回到問題的本質(zhì).

    例如,教材中“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”這一內(nèi)容,在編排上就遵循了從特殊的“y=ax2(a≠0)”“y=ax2+k(a≠0)”“y=a(x-h)2+k(a≠0)”到一般的“y=ax2+bx+c(a≠0)”的基本規(guī)律. 再如,“幸運(yùn)數(shù)碼”問題——已知一串連續(xù)的自然數(shù):1,2,3,…,n-1,n,將其按照從大到小的順序按照順時(shí)針的方向圍成一個(gè)圓,先將數(shù)字1去掉,之后間隔數(shù)學(xué)2再去掉數(shù)字3……以此類推,每隔一個(gè)數(shù)字便去掉下面的一個(gè)數(shù)字,求出最后唯一僅存下來的幸運(yùn)數(shù)碼是幾. 若n=2k,那么幸運(yùn)數(shù)碼為2k;若n=2k+p,那么幸運(yùn)數(shù)碼為2p,也就是2(n-2k). 此題看似深不可測,實(shí)則盡顯由特殊到一般的思維策略.

    借助“類比”,突破思維難點(diǎn)困境

    專家曾經(jīng)說過:當(dāng)理智在沒有可靠論證思路的情況下,我們可以借助“類比”奮力前行. 數(shù)學(xué)知識(shí)是融會(huì)貫通的整體. 教師在教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生通過知識(shí)的引申、相似、相逆等諸多方面來探究類比,從而進(jìn)行推理. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,借助類比剖析難點(diǎn),成功解決難題的例子數(shù)不甚數(shù). 比如,可以利用“三角形的中位線定理”來類比“梯形的中位線定理”;利用“平面三角形”來類比“空間四面體”;利用“三角形的面積公式”來類比“扇形、圓的面積公式”等. 當(dāng)然,類比的絕對可靠性還有待考證,其優(yōu)勢主要體現(xiàn)在可以提升學(xué)生的自主探究意識(shí),能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性上面,進(jìn)而突破難點(diǎn)困境,提高有效性.

    顯露“思維定式”,剖析難點(diǎn)

    在解題中,學(xué)生往往會(huì)被基本形式規(guī)律的永恒性所左右,也就是所謂的“思維定式”,進(jìn)而出現(xiàn)一些自以為是的思路. 此時(shí),教師可以借助問題情境的參與,防患于未然,將錯(cuò)誤展露給學(xué)生,讓學(xué)生生成感悟,深度剖析問題本質(zhì),找出癥結(jié),引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)正確的認(rèn)知生長點(diǎn),準(zhǔn)確剖析難點(diǎn),激發(fā)思維結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展.

    例如,筆者在教學(xué)“完全平方公式”這一內(nèi)容的過程中,創(chuàng)設(shè)了以下問題情境:有一個(gè)發(fā)奮善思的學(xué)生,他的名字叫馬虎,他從(ab)2=a2b2,

    2=中猜想出(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2. 你認(rèn)為他的猜想正確嗎?請?zhí)顚懕?和表2進(jìn)行驗(yàn)證.

    [表1][a b (a+b)2 a2+b2 兩者之差 3 6 81 45 5 8 169 89 ][a b (a-b)2 a2-b2

    (a2+b2) 兩者之差 3 1 4 8(10) 5 2 9 21(29) ][表2]

    在填表的過程中,學(xué)生頓悟出這名馬虎同學(xué)真是名副其實(shí)的馬虎,他的猜想也僅僅是他自以為是的想法,引發(fā)了學(xué)生們的認(rèn)知沖突. 當(dāng)然,有時(shí)候錯(cuò)誤是通向成功的小徑,教師需借助這種共性錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生思考,進(jìn)而使之轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材,引導(dǎo)學(xué)生生成感悟. 筆者適時(shí)追問:“那我們思考一下兩者之差和a,b是否存在關(guān)聯(lián),又是什么聯(lián)系.”學(xué)生經(jīng)過自主探究、深入觀察,而后總結(jié)、歸納出:“差值剛好為a,b乘積的2倍. ”由此得出深度猜想(a±b)2=a2±2ab+b2. 此時(shí)筆者順?biāo)浦?,根?jù)乘方含義及多項(xiàng)式法則寫出了如下式子:

    (a+b)2=(a+b)(? ? )=a2+(? ? )+b2;

    (a-b)2=(a-b)(? ? )=a2+(? ? )+b2.

    以上案例,在外顯思維定式中,深度剖析錯(cuò)誤,引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)正確的認(rèn)知生長點(diǎn),感悟新知識(shí),最后進(jìn)行深度強(qiáng)化,并借助法則和定義進(jìn)行驗(yàn)證. 實(shí)踐證明,這種獨(dú)特的教學(xué)過程創(chuàng)設(shè),教學(xué)效果顯著. 通過這樣的情境創(chuàng)設(shè),學(xué)生丟中間項(xiàng)的錯(cuò)誤明顯減少.

    借助教法,分散、融通難點(diǎn)

    數(shù)學(xué)中,有些難點(diǎn)知識(shí)尤為重要,教師應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,運(yùn)用各種教學(xué)方法,多方位、多角度、各領(lǐng)域地集中分散、融通難點(diǎn),進(jìn)而解決難點(diǎn)問題.

    例如,筆者在教學(xué)“不等式的基本性質(zhì)3”這一內(nèi)容時(shí),首先安排了一個(gè)課時(shí)去引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)字到字母,借助數(shù)軸、相反數(shù)和有理數(shù)比較大小等知識(shí)來找尋規(guī)律,并總結(jié)歸納. 而后借助杠桿實(shí)驗(yàn)強(qiáng)化驗(yàn)證(如圖1和圖2).

    改變力的方向也就是相反意義的量,它的數(shù)學(xué)含義是同時(shí)乘“-1”,之后觀察杠桿傾斜的方向是否發(fā)生改變. 事實(shí)上,“不等式的基本性質(zhì)3”并非以一個(gè)孤立的命題形式而存在,依據(jù)“不等式的基本性質(zhì)1”進(jìn)行演繹推導(dǎo),可得“不等式的基本性質(zhì)3”,其可以幫助學(xué)生理性認(rèn)識(shí)“不等式的基本性質(zhì)3”,進(jìn)而生成感悟——“不等號的方向需改變”.

    例題已知x>a,求證:-x<-a.

    證明因?yàn)閤>a,即a

    總之,對于數(shù)學(xué)中難點(diǎn)問題的處理,不是一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)的,需要數(shù)學(xué)教師持之以恒的堅(jiān)持,低起點(diǎn),高立意,從具體走向抽象,從感性認(rèn)識(shí)走向理性認(rèn)識(shí),借助多種教學(xué)手段,培養(yǎng)學(xué)生的挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步深入和提升.

    參考文獻(xiàn):

    [1]李樹臣. 論形成和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的兩個(gè)根本途徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2002(9).

    [2]林俊偉. 數(shù)學(xué)課堂中的問題設(shè)置[J]. 中國數(shù)學(xué)教育,2011(z1).

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