基于滾動時域的艦載機甲板運動軌跡跟蹤最優(yōu)控制

劉潔，韓維，徐衛(wèi)國，劉純，袁培龍，陳志剛，彭海軍

1.海軍航空大學，煙臺 264001 2.陸軍航空兵研究所，北京 101121 3.航空工業(yè)洪都650飛機設計研究所，南昌 330024 4.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，綿陽 621000 5.大連理工大學 工程力學系，大連 116024

艦載機在甲板上調(diào)運作業(yè)的效率和安全性，直接決定其出動效率，而艦載機的軌跡規(guī)劃和跟蹤是其中的關鍵環(huán)節(jié)。通常需要先對艦載機在甲板上的路徑進行規(guī)劃，而由于在路徑規(guī)劃過程中很難將外界擾動、初始偏差等因素考慮在內(nèi)，所得出的路徑一般均為理想情況下的可行路徑。故在規(guī)劃出艦載機的運動軌跡之后，還需要考慮實際環(huán)境中的外界擾動、初始偏差等因素，使艦載機的實際運動軌跡和理想軌跡之間的偏差盡可能的小，從而可以盡量按照預定的理想軌跡進行運動，即以較高的精度實現(xiàn)對理想軌跡的跟蹤。然而，對于艦載機在甲板上的運動軌跡跟蹤問題還鮮有研究，為此本文將對這一問題進行深入研究。

艦載機在甲板上運動的軌跡跟蹤問題是通過設計合理的跟蹤方法，并結合其運動學/動力學方程以及相關約束關系，對理想軌跡進行跟蹤。目前，對于艦載機在甲板上運動的軌跡跟蹤問題，國內(nèi)外鮮有研究。而在其他領域，無人地面系統(tǒng)(UGS)，包括無人飛行器(UAV)和機器人的軌跡跟蹤被廣泛研究，因此可借鑒這些領域內(nèi)的跟蹤方法和理論對艦載機在甲板上運動的軌跡跟蹤問題進行研究[1-2]。然而，軌跡跟蹤問題中仍存在以下難點和重點：① 系統(tǒng)的非線性和耦合特性；② 控 制輸入和輸出的物理約束；③ 環(huán)境不確定性的影響[3-4]。目前常用的跟蹤控制方法可分為五大類：幾何和運動學跟蹤控制方法、經(jīng)典跟蹤控制方法、基于動態(tài)狀態(tài)反饋(線性和非線性)的跟蹤控制方法、模型預測(MPC)方法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊邏輯的跟蹤方法。

幾何和運動學控制方法主要被用于車輛的軌跡跟蹤領域，這類方法易于實現(xiàn)，但僅適用于不需要考慮系統(tǒng)動力學的情況，它主要包括Pure-pursuit和Stanley這兩種方法。Pure-pursuit是通過在運動體前方構建虛擬點，并對虛擬點進行跟蹤的方法[5-6]；Stanley是通過考慮縱向和橫向誤差，來計算轉向角需要修正的角度[7-8]，采用這類控制器很難權衡穩(wěn)定性與跟蹤性能之間的關系?；谶\動學的控制方法是根據(jù)系統(tǒng)運動學(如縱向速度、橫向速度、偏航率等)設計反饋控制器，它可改善幾何控制器的跟蹤性能。但是，由于這些方法沒有考慮系統(tǒng)的動力學，因此不能保證它們在高速運動環(huán)境中仍具有很好的適用性。

經(jīng)典控制方法主要包括比例-積分-微分(PID)控制和滑?？刂?。PID控制器原理簡單，是工業(yè)上常用的控制器，通常由實際響應和期望響應之間的誤差來進行觸發(fā)。采用經(jīng)典PID技術的跟蹤控制器具有良好的跟蹤性能，但由于系統(tǒng)運動學或者動力學的非線性特點，使得控制效果對控制器參數(shù)非常敏感。如李林琛[9]和馮劍[10]等采用PID控制理論，對機器人的路徑跟蹤問題進行了研究。Pan等[11]等提出了一種線性PID控制器，用于柔性執(zhí)行機構驅動機器人的跟蹤控制。Zhu等[12]提出了一種PID反饋控制方法，并將其應用于微自主飛行器的橫向控制中，實現(xiàn)了軌跡跟蹤。針對移動機器人的軌跡跟蹤問題，Normey-rico等[13]采用一個由積分器和延時器組成的簡單線性化移動機器人跟蹤模型。而滑?？刂?SMC)是一種成熟的非線性狀態(tài)反饋控制器，采用滑?？刂破鞯玫降目刂坡删哂辛己玫母櫨萚14-16]。如Asif等[17]利用自適應滑模控制理論提出了一種輸出反饋控制方法，并對觀測器的穩(wěn)定性進行了分析。Elmokadem等[18]針對水下機器人的跟蹤控制問題，采用滑?？刂萍夹g提出了一種軌跡跟蹤控制方案，可有效抑制外界擾動。Yang和Kim[19]基于滑模理論，提出了一種漸近穩(wěn)定的滑模控制律，對有界外部擾動具有較強的魯棒性。靳永強[20]和叢炳龍等[21]采用滑?？刂评碚?，對航天器姿態(tài)跟蹤問題進行了研究。Ouyang等[22]針對機器人系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問題，基于滑模控制和PD控制，提出了一種PD-SMC方法，該方法采用PD控制來穩(wěn)定被控系統(tǒng)，同時采用SMC來補償擾動和不確定項，從而可以較好的抑制跟蹤誤差。Boukattaya等[23]提出了一種魯棒自適應非奇異快速末端滑模(NFTSM)跟蹤控制方案，可有效抑制有界外部擾動。這些方法可有效解決特定的問題，但也存在一些缺點，即① 跟蹤控制性能對控制器采樣率敏感；② 存 在抖振；③ 僅在滑動面上具有魯棒性；④ 需要擾動和不確定性干擾的先驗知識。

基于動態(tài)狀態(tài)反饋(線性和非線性)的控制方法在考慮系統(tǒng)動力學或者運動學的同時，具有比幾何控制器更好的控制性能[24]?；诰€性二次調(diào)節(jié)器(LQR)的控制律設計簡單，但在跟蹤曲率變化較大的軌跡時，需要前饋控制來實現(xiàn)無誤差跟蹤，然而添加前饋控制會使得跟蹤控制器對參考軌跡中的不連續(xù)點敏感[25]。另一方面，基于最優(yōu)控制的方法雖然在高速運動下也能實現(xiàn)精確的軌跡跟蹤，但這只有在某些假設(如在優(yōu)化階段的速度保持不變)得到滿足時才能實現(xiàn)。近年來，非線性自適應控制技術，如Inversion &Immersion (I&I)也被用于軌跡跟蹤控制領域。初步研究表明，該方法具有魯棒的閉環(huán)跟蹤性能，但控制器對參數(shù)的不確定性敏感[26]。同時，Tagne等[26]還提出了一種具有非線性增益的軌跡跟蹤自適應比例積分(PI)控制器。仿真結果表明，該控制器具有與SMC和I&I控制器相當?shù)母櫺阅?，并且對參?shù)不敏感。然而，在存在較大曲率變化的情況下，或在系統(tǒng)動力學非線性區(qū)域運行時，控制器的增益有增大的趨勢，可能對執(zhí)行機構產(chǎn)生不利影響。

此外，為了對標準軌跡進行跟蹤，通常是采用線性化方法將原來的非線性系統(tǒng)轉化為線性時變/時不變系統(tǒng)，并基于線性控制理論設計控制器以實現(xiàn)跟蹤。Falcone等[27-29]對非線性車輛模型實時的進行線性化，進而提出了模型預測控制方法。Kühne等[30]利用線性MPC對輪式移動機器人的誤差模型進行線性化，提出了具有非完整約束的(WMR)的最優(yōu)控制策略。Bahadorian等[31-32]將移動機器人的非線性跟蹤誤差模型線性化，提出了一種魯棒模型預測控制器(RMPC)來進行軌跡跟蹤控制。Gutjahr等[33]將自主車輛的制導描述為具有約束條件的最優(yōu)控制問題，并采用線性時變MPC方法提出了橫向制導策略。Plessen和Bemporad[34]基于閉環(huán)跟蹤控制理論，設計了一種線性時變預測控制方法 。Li等[35]提出了一種基于神經(jīng)動力學優(yōu)化的MPC方法來實現(xiàn)非完整移動機器人的軌跡跟蹤。Ali等[36]將機器人的非線性行為線性化，設計了一種基于模糊邏輯理論、極點配置的混合控制器。張萬枝等[37]將農(nóng)業(yè)車輛非線性運動學模型線性化，建立了控制控器預測方程，對車輛導航路徑自動跟蹤問題進行了研究。對復雜非線性系統(tǒng)進行一階泰勒展開從而獲得線性模型的方法，可將問題簡單化，具有明顯的優(yōu)點，且有較為成熟的線性控制理論作為支撐，可實現(xiàn)快速的求解[38]。然而，由于這種方法常常忽略了高階項，當誤差或擾動較大時，線性化模型可能難以描述原系統(tǒng)的某些特征。隨著計算機技術的不斷發(fā)展，一些研究者試圖采用非線性理論和數(shù)值計算理論來解決這一問題。例如，Ostafew等[39]提出了一種基于學習的非線性MPC方法，將擾動描述為高斯過程，實現(xiàn)了對移動機器人的軌跡控制。劉昌鑫等[40]采用非線性MPC理論，對設計了欠驅動AUV的路徑跟蹤問題進行了研究。Yang等[41]基于極限學習機理論和混沌優(yōu)化算法，設計了一種非線性預測控制策略，解決了存在外部干擾情況下的跟蹤控制問題。非線性MPC可以實現(xiàn)非常精確的跟蹤，但同時由于計算量比較大，難以實現(xiàn)在線的跟蹤控制。Carvalho等[42]提出了一種基于非線性模型迭代線性化的MPC框架，設計了一種擴展線性MPC控制器，并進行了實驗驗證，這種方法有助于實現(xiàn)計算效率和精度之間的折衷。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊邏輯控制具有指導控制器進行快速決策的能力，因此在許多自適應和智能控制中都有應用[43-47]。如劉芳等[48]采用自適應深度網(wǎng)絡對無人機的目標跟蹤問題進行了研究。高鳴等[49]采用模糊邏輯理論設計了一種智能控制器，可對預設軌跡進行較好的跟蹤。利用這兩種方法實現(xiàn)的決策算法可以分為監(jiān)控型和普通型控制器型兩種，對于監(jiān)控型控制器，決策算法被用來優(yōu)化主控制器中選定的參數(shù)，而主控控制器又可以被視為自適應控制器；對于普通型控制器，決策算法將被作為主控制器以確定系統(tǒng)的控制輸入[50]。雖然自適應/智能控制器可提供一個魯棒性的解決方案，但神經(jīng)網(wǎng)絡或模糊系統(tǒng)應該具備“專業(yè)知識”或“經(jīng)驗”來做出正確的決定。因此，智能控制器中的算法需要用大量的先驗信息進行學習、訓練，從而不斷學習和獲得更多的“專業(yè)知識”，才可能根據(jù)實際情況來做出正確的反應。然而，在缺乏正式的穩(wěn)定性證明和異常處理的情況下，這些方法還不能很好的被應用于實際裝備或者設備中[51]。

由于每個研究人員都是在一個獨特的環(huán)境下演示或者驗證自己提出的跟蹤控制器，因此很難對文獻中提出的不同控制器進行直接比較。然而，Rupp和Stolz[52]設計了5種不同的軌跡跟蹤控制器(Stanley、LQR、SMC、Fuzzy和MPC)來模擬120 km/h的超車操縱。由于它們均被應用于相同的系統(tǒng)，可更加科學的、直接的比較不同控制算法。通過初步比較的結果表明：采用MPC方法得到的跟蹤誤差最小，轉向角最平穩(wěn)。

對于單架艦載機在甲板上滑行的軌跡跟蹤控制問題，飛機的運動特性與無人車或者機器人的運動屬性相類似，因此可結合飛機在甲板上滑行的運動學/動力學特性，并借鑒上述方法來實現(xiàn)其軌跡的跟蹤控制。

對于牽引飛機系統(tǒng)在甲板上的軌跡跟蹤，幾乎沒有關于的相關文獻。在一定程度上，它可以被視為是一種拖-拉系統(tǒng)，因此可以參考拖-拉系統(tǒng)跟蹤問題的控制策略。基于線性化模型的線性控制技術已廣泛應用于拖-拉系統(tǒng)的控制[53-55]。然而，如果航向角大于10°，線性化模型的精度就會降低[56]。為了提高精度，一些研究采用了用非線性控制理論來研究拖-拉系統(tǒng)，包括橫向函數(shù)法[57]、虛擬轉向法[58]、非線性模型預測控制[59]和李雅普諾夫方法[60-62]。

根據(jù)牽引系統(tǒng)的結構特點，可將飛機視為拖車，主要目標是跟蹤飛機的軌跡，使飛機可以盡可能的按照理想軌跡到達預定位置，而牽引車的狀態(tài)不是研究的重點，它的狀態(tài)可以根據(jù)系統(tǒng)的干擾進行調(diào)整。然而，在上述研究中，牽引車通常被視為激勵源，研究的重點大部分集中在對牽引車的跟蹤。此外，大部分跟蹤算法均只能解決系統(tǒng)的倒車或者正向行駛問題，而對于給定的參考軌跡，尤其是既涉及倒車又涉及正向行駛的參考軌跡，其跟蹤問題都沒有很好地得到解決。這主要是因為牽引系統(tǒng)的運動學或者動力學模型較為復雜，對于正向運動與倒車之前切換的過程很容易發(fā)散，現(xiàn)有的方法難以有效解決這一過程的軌跡跟蹤問題。

1 艦載機軌跡運動學模型的建立

艦載機在甲板上的調(diào)運方式主要分為3種：自主滑行、無桿牽引、有桿牽引。其中，自主滑行和有桿牽引這兩種方式主要用于航母艦面的飛機調(diào)運，無桿牽引這種方式主要用于機庫內(nèi)的飛機調(diào)運。如在艦載機的出動環(huán)節(jié)中，需要飛機從停機位自主滑行到對應的起飛位；而由于飛機無法自主實現(xiàn)倒車等動作，因此當飛機需要在不同停機位之間轉換或者回收時，通常需要借助牽引車來實現(xiàn)飛機的倒車，即采用有桿牽引的調(diào)運方式；而在飛機出庫(從機庫內(nèi)的停機位調(diào)運至升降機位置)或者從升降機調(diào)運至停機位時，通常是采用無桿牽引的調(diào)運方式。

由于牽引車的作用，采用牽引車牽引的調(diào)運方式較飛機自主滑行而言，使飛機的運動功能得到了豐富，飛機既可實現(xiàn)正向運動也可實現(xiàn)倒車運動，但隨著牽引車(或牽引桿)等連接結構的引入，使得系統(tǒng)變得更加復雜。且由于這3種調(diào)運方式所對應系統(tǒng)不一樣，其運動學規(guī)律和控制規(guī)律也存在著差異，因此有必要對這3種系統(tǒng)分別進行研究。

1.1 艦載機滑行運動學模型

當艦載機在甲板上運動時，它的運動機制可概括為：由發(fā)動機提供加速度從而使艦載機向前運動，通過前輪的轉角來進行方向控制。假設艦載機在甲板上的運動只產(chǎn)生滾動摩擦，而不發(fā)生滑動，則無需分析其水平推力、摩擦力或慣性特性即可對其運動進行分析，其運動約束為一個非完整的運動約束[63]，運動關系如圖1所示。

圖1 艦載機輪廓圖Fig.1 Profile of carrier-based aircraft

圖中：L1為沿艦載機軸線方向上，前輪與后輪之間的垂直距離；方向變量θ1為艦載機軸線與橫坐標的夾角；β1為前輪的轉向角。

則其運動學方程可表示為

(1)

式中：狀態(tài)變量X由兩個位置坐標[x1，y1]、方向變量θ1組成；控制變量U=[u1，u2]T，且u1為前輪的轉向角β1,u2為飛機的平移速度v1。

(2)

為了簡化計算，本文將基于式(2)，將控制變量構造為：U(t)=[u1u2]T，且u1=tanβ1,u2=a1。通過求解控制變量U(t)，再結合β1=arctanu1，即可實現(xiàn)對飛機轉向角和加速度的求解。由式(2)可進一步表示為

(3)

邊界條件為X(t0)和X(tf)。

1.2 無桿牽引系統(tǒng)的運動學模型

根據(jù)Karkee的結論，當系統(tǒng)的速度較小時(小于4.5 m/s)，運動學模型可以較好的描述帶拖車系統(tǒng)的運動[64]。由于無牽引車的艦載機系統(tǒng)與帶拖車系統(tǒng)的結構類似，因此該無桿牽引系統(tǒng)也可被視為一個帶拖車系統(tǒng)。在不考慮系統(tǒng)的橫向推力、摩擦或者慣性等因素的前提下，可將其運動關系進行簡化，具體如圖2所示。

圖中：θ1和θ2分別為艦載機和牽引車的軸向與橫坐標之間的夾角；x1和y1分別為被牽引飛機的橫縱坐標；β2為牽引車的轉向角；L2為牽引車的前后輪距；L1為飛機的前后輪距；M0為飛機與牽引車鉸接點與牽引車后輪之間的垂直距離。

當M0=0 m時，表示該鉸接點在牽引車兩個后輪之間，則該系統(tǒng)為軸上牽引系統(tǒng)；反之，系統(tǒng)為離軸牽引系統(tǒng)。為了不失一般性，本文將針對離軸牽引系統(tǒng)進行建模。

與艦載機滑行不同，無桿牽引系統(tǒng)的運動主要是由牽引車來提供，飛機在牽引車的驅動下，可以實現(xiàn)正向運動以及倒車運動，整個系統(tǒng)的控制核心系于牽引車，為此系統(tǒng)的控制變量主要是由牽引車的加速度以及轉向角組成。與艦載機滑行運動學模型類似，為了描述起始位置和終端位置處的速度約束，本文將速度變量引入到狀態(tài)變量中，且牽引系統(tǒng)最終的目標是將飛機調(diào)運到指定位置。為此，其狀態(tài)變量主要包括飛機的位置、角度以及牽引車的角度θ2以及速度v2。則根據(jù)系統(tǒng)的結構關系以及運動關系，可得到其運動學方程為

圖2 無桿牽引飛機系統(tǒng)的運動關系圖Fig.2 Off-axle hitching towed aircraft system without drawbar

(4)

1.3 有桿牽引系統(tǒng)的運動學模型

目前，在航母上使用的有桿牽引系統(tǒng)一般均為離軸系統(tǒng)，其結構如圖3所示。

圖3 有桿牽引系統(tǒng)組成示意圖Fig.3 Off-axle hitching towed aircraft system with drawbar

圖中：θ1、θ2以及θ3分別為飛機、牽引桿以及牽引車的方向角；[x1，y1]、[x2，y2]、[x3，y3]以及[x4，y4]分別為飛機、飛機與牽引桿鉸接點、牽引桿與牽引車鉸接點以及牽引車的位置坐標；β1、β2以及α分別為飛機、牽引桿和牽引車的轉向角；L1為飛機前后輪距；L2為牽引桿的長度；M為牽引桿與牽引車鉸接點到牽引車后輪的垂直距離；L3為牽引車前后輪的距離。飛機和牽引車的速度分別為v1和v3，根據(jù)系統(tǒng)的結構設計和使用規(guī)定，飛機和牽引車的速度、轉向角均應被約束在一定范圍內(nèi)。

且由于飛機與牽引車的速度可以表示為

(5)

(6)

式中：Δ=cosβ1cosβ2(L3+Mu1tanβ2)注：該方程的建立是基于所有的轉向角均小于55°，且M≤0.5L3，基于該假設，可使得cosβ1cosβ2(L3+Mu1tanβ2)≠0，且cosβ1≠0，cosβ2≠0。根據(jù)當前主流的相關設備，這一假設可適用于大部分拖-拉系統(tǒng)。

2 連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型及最優(yōu)控制條件

2.1 連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型

對于跟蹤控制問題的研究，一般均是基于跟蹤誤差模型或者伺服跟蹤控制模型，由于艦載機系統(tǒng)的運動學系統(tǒng)(包括艦載機滑行、無桿牽引系統(tǒng)、有桿牽引系統(tǒng)的運動學模型)均為非線性系統(tǒng)，難以推導出其跟蹤誤差模型。因此，本文將采用伺服跟蹤控制模型來進行研究。

為了更好對標準軌跡進行跟蹤，在滿足飛機系統(tǒng)的運動學約束、控制變量約束和狀態(tài)變量約束條件下，需使跟蹤誤差應盡可能小。此外，還需使控制變量盡可能的平穩(wěn)，即使能量盡可能的小，以利于工程實際應用。因此，軌跡跟蹤問題可以表示為

(7)

式中：Xr為標準軌跡；X為實際的軌跡(系統(tǒng)的狀態(tài)變量)；U為實際的控制變量；P為半正定的對角矩陣；R為正定的對角矩陣；h≤0表示相應的狀態(tài)和控制約束。

研究目標為單機滑行的軌跡跟蹤時，f(X(·)，U(·),t)為式(3)；研究目標為無桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤時，f(X(·),U(·)，t)為式(4)；研究目標為有桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤時，f(X(·)，U(·)，t)為式(6)。

不論艦載機滑行、無桿牽引系統(tǒng)、有桿牽引系統(tǒng)，本文關注的重點都是艦載機的位置和姿態(tài)，即主要是對艦載機的橫縱坐標以及角度進行跟蹤。故可通過對P矩陣進行設置來可滿足這一條件，即將艦載機的橫縱坐標以及角度對應的權重設為較大的值，以確保將橫縱坐標以及角度誤差可以被有效的抑制。

2.2 連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤最優(yōu)控制條件

由于單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)、有桿牽引系統(tǒng)的運動學方程均是非線性耦合系統(tǒng)，很難直接求解。因此，可采用擬線性化方法來解決所建立的帶約束連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤最優(yōu)控制問題。通過擬線性化處理，可將非線性最優(yōu)控制問題轉化為一系列線性二次最優(yōu)控制問題。在不失一般性的前提下，式(7)可以表示為

(8)

式中：k=0,1,2,…；(·)[k]表示在第k次的迭代中(·)的結果。目標函數(shù)及約束中相關矩陣的具體表達形式為

W[k+1]=W[k]+(X[k+1]-X[k])TE[k]+

(U[k+1]-U[k])TF[k]+

(U[k+1]-U[k])TQ[k](X[k+1]-X[k])+

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：第k次迭代的結果將作為第k+1次迭代的參考解。為表示方便，下文將不再用上標來表示，而是采用(*)pre來表示前一次迭代的結果。

通過引入非負補償向量α，使得

CX+DU+V+α=0

(14)

進而可引入Lagrange算子λ和參數(shù)乘子向量β，使得原問題變?yōu)闊o約束最優(yōu)控制問題，且參數(shù)乘子向量滿足αTβ=0，β≥0，α≥0。則目標函數(shù)可表示為

(15)

且Hamiltonian函數(shù)為

H=W+λT(AX+BU+W)+

βT(CX+DU+V+α)

根據(jù)經(jīng)典變分法，若使目標函數(shù)J最小，則需要使系統(tǒng)同時滿足控制方程、Hamiltonian正則方程和終端的橫截條件。其中，控制方程為

則可到

U=Upre-R-1(F+Q(X-Xpre)+BTλ+DTβ)

(16)

進一步可得到

(17)

而Hamiltonian正則方程可表示為

(18)

因此，可將原問題轉化為兩點邊值與線性互補(LCP)的耦合問題。

由于在跟蹤問題中，終端時間均是固定的，當終端的狀態(tài)變量為自由時，則根據(jù)終端的橫截條件，對應的Lagrange算子應為0；反之，在終端的狀態(tài)變量則應為給定的X(tf)。

3 基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制算法

3.1 全狀態(tài)的保辛偽譜法

本文所建立的連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤最優(yōu)控制模型可被視為一個帶約束的最優(yōu)控制模型，常用能量最優(yōu)型或者時間-能量最優(yōu)型目標函數(shù)的被積分項中均為狀態(tài)變量和控制變量的標準二次型，而所提出的最優(yōu)跟蹤目標函數(shù)中引入了標準軌跡所對應的常數(shù)項。因此，本節(jié)將根據(jù)第三類生成函數(shù)以及跟蹤模型中目標函數(shù)的不同，提出全狀態(tài)保辛偽譜算法。

全狀態(tài)保辛偽譜算法的第1步是采用LGL偽譜法對X、λ、β和α這4個自變量進行近似化處理，具體的步驟可參照文獻[65-66]。

在單個區(qū)間內(nèi)，根據(jù)第三類生成函數(shù)的穩(wěn)態(tài)條件，由兩點邊值問題以及起始和終端的邊界條件，可得

Kjσj+ξjβj+γj=rj

式中：j表示在第j個區(qū)間內(nèi)；Kj、ξj和γj的具體表達式為

由控制方程可將邊界約束等式進行進一步整理成：

(19)

式中：

進一步可將式(19)整理為

最后，再采用文獻[65-66]中的方法對整個區(qū)間進行求解，得到最優(yōu)解。

為了提高所提出方法的計算效率，本文將初始猜測解設為

1)當終端狀態(tài)固定時，狀態(tài)變量的初始猜測解由初始狀態(tài)和終端狀態(tài)進行插值而得到；當終端狀態(tài)自由時，將狀態(tài)變量的初始猜測解設為初始狀態(tài)。

2)將控制變量的初始猜測解設置為控制變量的上限。

3)將Lagrange算子的初始猜測解設置為1。

則全狀態(tài)保辛偽譜算法的步驟可總結如下：

1)設置各個區(qū)間內(nèi)的LGL配點個數(shù)，以及收斂條件ε。

2)設置初始猜測解X[0]、U[0]、λ[0]，并對時間區(qū)間進行離散化處理。

3)對自變量X、λ、β以及α進行近似化處理。

4)在單個區(qū)間內(nèi)采用基于第三類生成函數(shù)的全狀態(tài)保辛偽譜算法。

5)將整個區(qū)間的對矩陣進行組裝，并結合邊值條件對相應的矩陣進行修改。

3.2 時間窗口邊界條件的確定

本文基于滾動時間窗口理論，將整個時間區(qū)間上的最優(yōu)跟蹤控制問題轉化到不同小時間區(qū)間(時間窗)內(nèi)的最優(yōu)控制問題進行求解。通過對每一個時間窗口內(nèi)的最優(yōu)跟蹤控制問題進行求解，并不斷向前滑動時間窗口，即可實現(xiàn)對標準軌跡的在線跟蹤。根據(jù)最優(yōu)控制模型，需要確定系統(tǒng)在起始和終端時刻的邊界條件，即需要確定每一個時間窗口左側的起始狀態(tài)變量和右側的終端狀態(tài)變量。

除此之外，也可將窗口右側的邊界條件設為自由。這樣處理是因為在目標函數(shù)中已將偏差考慮在內(nèi)，所以在計算時為了得到較小的目標函數(shù)值，也會盡可能的縮小與標準軌跡之間的誤差，但這種處理方法無法確保在窗口右側的誤差為0。這兩種處理方式可視具體要求和問題進行采用。

3.3 基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制方法求解框架

根據(jù)以上思路，基于滾動時域(RHC)的在線跟蹤最優(yōu)控制方法的具體計算步驟可以概括為：

3.4 算法的保辛證明

由于所提出的在線跟蹤最優(yōu)控制算法是將本文提出的全狀態(tài)保辛偽譜法應用到每一個滾動時間窗口內(nèi)，因此只要證明了所提出的全狀態(tài)保辛偽譜法是保辛的，即能說明在線跟蹤最優(yōu)控制算法也是保辛的。

對于采用基于第三類生成函數(shù)的全狀態(tài)保辛偽譜法所得到相鄰兩個時間區(qū)間內(nèi)的解soluj=[Xjλj]T和soluj-1=[Xj-1λj-1]T，假設存在如下映射關系：

soluj=Ψ(soluj-1)

(20)

若轉移矩陣的Jacobi矩陣是辛矩陣，則說明本文提出的全狀態(tài)保辛偽譜法是保辛的[67-68]，其中轉移矩陣的Jacobi矩陣可表示為

(21)

根據(jù)辛理論，若上述的Jacobi矩陣為辛矩陣，則應該滿足如下關系：

JTTSJT=S

(22)

式中：單位辛矩陣S為

(23)

進而，由式(21)和式(22)可得到：

(24)

(25)

(26)

若上述3個方程得到了滿足，則說明本文提出的算法是保辛的。

定理1對于式(7)中描述的連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)軌跡跟蹤模型，基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制求解算法是保辛的。

證明：由于所提出的在線跟蹤最優(yōu)控制算法將本文提出的全狀態(tài)保辛偽譜法應用到每一個滾動時間窗口內(nèi)，而全狀態(tài)保辛偽譜法是基于第三類生成函數(shù)所提出的，若所提出的全狀態(tài)保辛偽譜法是保辛的，則基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制算法是保辛的。

對Xj-1求偏導數(shù)，并結合鏈式求導法則，則可得到

(27)

將式(27)進一步整理可得

(28)

式中：

對λj-1求偏導數(shù)，并結合鏈式求導法則，則可得到

(29)

將式(29)進一步整理可得

(30)

式中：

由式(30)進一步可得

(31)

此外，由式(30)可得

(32)

由式(30)還可得

(33)

結合式(28)，可得到

(34)

則

(35)

(36)

進而可證明式(26)是正確的。

通過以上討論，式(24)、式(25)以及式(26)均得到滿足。因此，基于第三類生成函數(shù)所提出的全狀態(tài)保辛偽譜法是保辛的，則基于全狀態(tài)保辛偽譜法以及滾動時域所提出的在線跟蹤最優(yōu)控制算法也是保辛的。

由于本文提出的算法是保辛的，則根據(jù)算法得出的結果可保留原連續(xù)哈密頓系統(tǒng)的辛屬性，結果的精度更高，且所得的跟蹤結果滿足最優(yōu)控制條件，可從理論上確保所得到的結果是最優(yōu)的。

4 單機滑行的軌跡跟蹤控制

4.1 存在初始偏差

為了驗證本文所提出的在線跟蹤的準確性和實時性，本文選取圖4中綠線所示的滑行軌跡作為標準軌跡。

根據(jù)所提出的連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型，以及艦載機滑行的運動學方程和相關的約束關系，采用本文所提出的在線跟蹤最優(yōu)控制算法，可實現(xiàn)對艦載機滑行的軌跡跟蹤。

根據(jù)艦載機在甲板上滑行的安全規(guī)定，其滑行速度應該滿足相應的約束，即0 m/s≤v1≤1.5 m/s；飛機的轉向角也應滿足其結構約束，|u1|≤1.5；飛機的加速度應不大于2 m/s2，即|u2|≤2 m/s2。由于實際軌跡與標準軌跡不可能完全重合，實際軌跡和標準軌跡之間的偏差是不可避免的。為此，在進行軌跡規(guī)劃時，一般會增加一個緩沖區(qū)(擴大障礙物的實際輪廓線)。若實際的軌跡和標準軌跡之間的偏差在緩沖范圍內(nèi)，則說明實際軌跡沒有與障礙物發(fā)生碰撞；反之，則說明實際軌跡與障礙物之間發(fā)生了碰撞。所以，實際的軌跡還應滿足如下關系：

(x1-x1r)2+(y1-y1r)2≤dist2

(37)

式中：x1r和y1r為標準軌跡對應的橫縱坐標點；dist為緩沖距離，本文取dist=1 m。

為此，艦載機的軌跡跟蹤問題為一個狀態(tài)變量和控制變量約束的跟蹤控制問題。

由于目標函數(shù)中的權重矩陣反映了各個變量的重要程度，而不同的權重也會引起不同的結果。為研究不同的權重系數(shù)對跟蹤效果的影響，以便選取合適的權重系數(shù)進行下一步研究，本文將R=diag(R1,R2)設置為單位矩陣，并采取不同的權重系數(shù)P=diag(P1,P2,P3,P4)來進行仿真實驗。而跟蹤的主要目標是為了保證艦載機按照預定的軌跡運動，所以主要的觀測指標為艦載機的位置以及角度。此外，無桿牽引系統(tǒng)的初始偏差分別設為Δx1=0.5 m、Δy1=-0.5 m、Δθ1=0.05、Δv1=0 m/s，則P矩陣的取值可見表1。

將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。分別采用不同的權重系數(shù)進行仿真實驗，具體結果如圖5所示。

圖4 標準軌跡Fig.4 Standard trajectory

表1 單機滑行中不同權重系數(shù)Table 1 Different weight coefficients for singlecarrier-based aircraft system

圖5 不同權重系數(shù)情況下的單機滑行軌跡跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors with different weight coefficientsfor single carrier-based aircraft system

圖5為在不同的權重系數(shù)下，3個狀態(tài)變量的誤差隨時間的變化關系。由圖5可分析出，Case 1比Case 2～4對應的調(diào)節(jié)時間長、超調(diào)量?。粚τ贑ase 2～4，其調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量均很接近。這主要是因為隨著權重系數(shù)的增加，即狀態(tài)變量的重要性相對控制變量越來越大時，為了抑制誤差以確保跟蹤目標函數(shù)數(shù)值盡可能的小，系統(tǒng)會盡可能在較短的時間內(nèi)去調(diào)節(jié)誤差，因此誤差的變化將更加劇烈，超調(diào)量會增大，調(diào)節(jié)時間會變小。但當權重系數(shù)達到一定程度時，由權重系數(shù)的增大所引起的變化將越來越小。

此外，在考慮誤差的抑制情況時，還需考慮控制的平穩(wěn)性，為了研究不同權重系數(shù)對控制平穩(wěn)性的影響，本文給出了對應的控制變量，具體如圖6所示。由圖6可分析出，Case 1對應的控制變量最平穩(wěn)，其次為Case 2對應的控制變量，Case 3和Case 4對應的控制變量變化均較為劇烈。這主要是因為隨著權重系數(shù)的增加，即狀態(tài)變量的重要性相對控制變量越來越大時，為了抑制誤差以確保跟蹤目標函數(shù)數(shù)值盡可能的小，跟蹤系統(tǒng)會盡可能在較短的時間內(nèi)去調(diào)節(jié)誤差，因此需要更快、更大幅度地去調(diào)節(jié)控制變量，以達到修正誤差的目的，則控制變量的平滑度將變差。為了平衡誤差的變化和控制變量的變化，本文將P矩陣的取值設置為1×103量級。

圖6 不同權重系數(shù)情況下的單機滑行系統(tǒng)控制變量Fig.6 Control variables with different weight coefficientsfor single carrier-based aircraft system

為研究系統(tǒng)對不同初始偏差的敏感程度以及所提出的跟蹤算法對初始偏差的抑制效果，本文選取4組不同的初始偏差組合進行仿真實驗，權重系數(shù)P=diag(1×103,1×103,1.5×103,0)，具體初始偏差參數(shù)如表2所示。

根據(jù)上述初始偏差，采用本文所提出的算法，可得到橫縱坐標以及角度的誤差變化如圖7所示。由圖7可分析出：Case 5～8對應的誤差變化均較為平穩(wěn)，且均在10 s左右可以實現(xiàn)對初始偏差的有效抑制。此外，誤差均滿足式(37)，說明采用本文提出的在線算法可有效的抑制初始偏差，所得出的實際軌跡不會與障礙物發(fā)生任何碰撞。

為了進一步驗證控制變量是否滿足對應的約束關系，本文給出了對應的控制變量，具體如圖8所示。

表2 單機滑行中不同初始偏差參數(shù)Table 2 Different initial deviations for singlecarrier-based aircraft system

圖7 不同初始偏差情況下的單機滑行軌跡跟蹤誤差Fig.7 Tracking errors with different initial deviationsfor single carrier-based aircraft system

圖8 不同初始偏差情況下的單機滑行系統(tǒng)控制變量Fig.8 Control variables with different initial deviationsfor single carrier-based aircraft system

由圖8可分析出：在起始階段，由于初始偏差的存在，需要不斷的調(diào)節(jié)控制變量，以修正初始偏差，采用本文提出的算法可以在較短時間內(nèi)完成這一過程；在有效抑制起始偏差后，對于不同的起始偏差，其對應的控制變量均呈現(xiàn)一致性的變化；所有的控制變量均在約束范圍之內(nèi)，即所得到的結果可完全滿足相應的約束。

這說明，采用本文所提出的算法，可在較短時間內(nèi)實現(xiàn)對初始偏差的修正，且所得到的結果可滿足相應的狀態(tài)變量以及控制變量約束關系。

4.2 持續(xù)外界擾動

在實際跟蹤控制過程中，由于船體的晃動、測量誤差等因素，會使實際軌跡偏離理想軌跡，為了研究本文提出的在線跟蹤控制算法在持續(xù)外界擾動情況下的控制效果，本文將外界擾動考慮在內(nèi)進行仿真實驗。

此處將外界擾動設置為x1d=0.05cos(0.5t)，y1d=0.05sin(0.5t)，而θ1和v1的外界擾動均設置為0.005倍均值為0方差為1的正態(tài)分布隨機噪聲。將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。

此外，為了進一步驗證本文算法的有效性，本文將所提出的算法與常用的BackwardSweep方法進行對比，具體結果如圖9所示。由圖9可分析出：采用本文所提出的在線跟蹤算法可以實時的處理持續(xù)外界擾動，并將誤差控制在較小的范圍內(nèi)；對于橫坐標和縱坐標而言，采用本文提出方法對持續(xù)干擾的抑制效果明顯優(yōu)于BackwardSweep方法；對角度項而言，由于角度項的外界干擾幅值較小，兩種方法沒有明顯的差別，但在末端附近，由本文提出方法所得到的角度誤差明顯小于BackwardSweep方法所得到的，且BackwardSweep方法所得到的角度誤差幅值，在末端處有放大的趨勢。

因此，較BackwardSweep方法而言，本文提出的在線跟蹤方法，可將持續(xù)外界擾動引起的誤差抑制在更小范圍內(nèi)，這說明了本文所提出的在線跟蹤算法可更好的抑制外界擾動，在存在外界擾動的情況下，仍可以在線的調(diào)整控制策略以保證跟蹤精度，這也充分說明所提出的跟蹤算法具有良好的抗干擾能力。此外，在此次實驗中，每次滾動計算平均需耗時7.43 ms，計算時間遠低于BackwardSweep的46.12 ms，這也充分反映了本文所提出算法具有計算速度快的優(yōu)點，完全可用于實時的在線跟蹤問題。

圖9 持續(xù)外界擾動情況下的單機滑行軌跡跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors with different continuous external disturbance for single carrier-based aircraft system

綜上所述，本文所提出的基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制算法，可以在存在持續(xù)外界擾動的情況下，實現(xiàn)對標準軌跡進行在線、實時的跟蹤控制，較好的解決了非線性的跟蹤控制問題，可有效的應用于艦載機滑行軌跡跟蹤問題。

5 無桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制

5.1 存在初始偏差

為了驗證本文所提出的在線跟蹤的在無桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤問題中的有效性，本文選取圖4中紅線所示的軌跡作為標準軌跡。根據(jù)所提出的連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型，以及無桿牽引系統(tǒng)的運動學方程和相關的約束關系，采用本文所提出的在線跟蹤最優(yōu)控制算法，可實現(xiàn)對無桿牽引系統(tǒng)的軌跡進行跟蹤。

根據(jù)無桿牽引系統(tǒng)的結構特點以及相關安全規(guī)定，其飛機的速度絕對值應該滿足相應的約束，設|v1|≤1.2 m/s；牽引車的轉向角也應滿足其結構約束，設|u1|≤1.2；設牽引車的加速度絕對值應不大于2 m/s2，即|u2|≤2 m/s2；飛機與牽引車軸向夾角的絕對值不大于1 rad，即|θ2-θ1|≤1。與單機滑行軌跡跟蹤類似，實際的軌跡還應滿足式(37)的關系，本文取dist=1 m。

為研究不同的權重系數(shù)對無桿牽引系統(tǒng)跟蹤效果的影響，以便選取合適的權重系數(shù)進行下一步研究，本文將R=diag(R1,R2)設置為單位矩陣，并采取不同的權重系數(shù)P=diag(P1,P2,P3,P4,P5)來進行仿真實驗。而跟蹤的主要目標是為了保證艦載機按照預定的軌跡運動，使艦載機可以被牽引至預定位置，所以主要的觀測指標為艦載機的位置信息。此外，無桿牽引系統(tǒng)的初始偏差分別設為Δx1=0.2 m、Δy1=0.2 m、Δθ1=0.005、Δθ2=0、Δv2=0 m/s，P矩陣的取值如表3所示。

將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。分別采用不同的權重系數(shù)進行仿真實驗，具體結果如圖10所示。

表3 無桿牽引系統(tǒng)不同權重系數(shù)Table 3 Different weight coefficients for towed carrier-based aircraft system without drawbar

圖10 不同權重系數(shù)情況下的無桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差Fig.10 Tracking errors with different weight coefficients for towed carrier-based aircraft system without drawbar

由圖10可分析出：Case 1比對應的調(diào)節(jié)時間最長，其次為Case 2，Case 3和Case 4最短；對于Case 2～4，其調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量均很接近。此外，在考慮誤差的抑制情況時，還需考慮控制的平穩(wěn)性，為了研究不同權重系數(shù)對控制平穩(wěn)性的影響，本文給出了對應的控制變量，具體如圖11所示。

由圖11可分析出，Case 1對應的控制變量最平穩(wěn)，其次為Case 2對應的控制變量，Case 4對應的控制變量變化相對較為劇烈。為了平衡誤差的變化和控制變量的變化，本文將對應的權重系數(shù)設為103～104量級。

為研究系統(tǒng)對不同初始偏差的敏感程度以及所提出的跟蹤算法對初始偏差的抑制效果，本文選取4組不同的初始偏差組合進行仿真實驗，其中權重系數(shù)為P=diag(104,104,103,103,104)，具體初始偏差參數(shù)如表4所示。

根據(jù)上述初始偏差，采用本文所提出的算法，可得到橫縱坐標以及角度的誤差變化如圖12所示。由圖12可分析出：Case 5～8對應的誤差變化均較為平穩(wěn)，且均在30 s左右可以實現(xiàn)對初始偏差的有效抑制。此外，誤差均滿足式(37)，說明采用本文提出的在線算法可有效的抑制初始偏差，所得出的實際軌跡不會與障礙物發(fā)生任何碰撞。為了進一步驗證控制變量是否滿足對應的約束關系，本文給出了對應的控制變量，具體如圖13所示。

圖11 不同權重系數(shù)情況下的無桿牽引系統(tǒng)控制變量Fig.11 Control variables with different weight coefficients for towed carrier-based aircraft system without drawbar

表4 無桿牽引系統(tǒng)不同初始偏差參數(shù)Table 4 Different initial deviations for towed carrier-based aircraft system without drawbar

圖12 不同初始偏差情況下的無桿牽引系統(tǒng)誤差Fig.12 Tracking errors with different initial deviations for towed carrier-based aircraft system without drawbar

圖13 不同初始偏差情況下的無桿牽引系統(tǒng)控制變量Fig.13 Control variables with different initial deviations for towed carrier-based aircraft system without drawbar

由圖13可分析出：在起始階段，由于初始偏差的存在，需要不斷的調(diào)節(jié)控制變量，以修正初始偏差，采用本文提出的算法可以在較短時間內(nèi)完成這一過程；所有的控制變量均在約束范圍之內(nèi)，即所得到的結果均可完全滿足相應的約束。

為了進一步驗證由本文提出的在線跟蹤算法可滿足無桿牽引系統(tǒng)跟蹤的相關約束關系，本文給出了艦載機與無桿牽引車軸向之間的夾角β1以及艦載機的實際速度v1隨時間的變化關系，具體如圖14所示。

圖14 不同初始偏差情況下無桿牽引系統(tǒng)中β1和v1變化關系Fig.14 Variation between β1 and v1 with different initial deviations for towed carrier-based aircraft system without drawbar

由圖14可分析出：艦載機與無桿牽引車軸向之間的夾角以及艦載機的實際速度變化均非常平緩，且艦載機與無桿牽引車縱向之間夾角的絕對值均未超過1，完全滿足|β1|≤1的約束關系；艦載機實際速度的絕對值也未超過1.2 m/s，即完全滿足|v1|≤1.2 m/s的約束關系。

這說明，采用本文所提出的算法，可在較短時間內(nèi)實現(xiàn)對初始偏差的修正，且所得到的結果可滿足相應的狀態(tài)變量以及控制變量約束關系。

5.2 持續(xù)外界擾動

為了研究本文提出的在線跟蹤控制算法在持續(xù)外界擾動情況下的控制效果，此處將外界擾動考慮在內(nèi)進行仿真實驗。設外界擾動為x1d= 0.01cos(0.5t)，y1d=0.01sin(0.5t)，θ1d=0.001 sin(0.5t)，而θ2和v2的外界擾動均設置為0。將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。

此外，為了進一步驗證本文算法的有效性，將所提出的算法與常用的BackwardSweep方法進行對比，具體結果如圖15所示。

由圖15可分析出：采用本文所提出的在線跟蹤算法可以實時的處理持續(xù)外界擾動，并將誤差控制在較小的范圍內(nèi)。在50 s之前，對于艦載機橫坐標和角度而言，采用本文提出算法對持續(xù)干擾的抑制效果明顯優(yōu)于BackwardSweep方法；對于縱坐標誤差的抑制效果而言，兩種方法沒有明顯的差別。但在50 s之后，所得到的艦載機橫、縱坐標以及角度誤差均有放大的趨勢。這主要是因為在50 s之后，無桿牽引車由拖著艦載機正向行駛變?yōu)榈雇浦炤d機進入停機位，該過程系統(tǒng)的速度由正向變?yōu)樨撓颍俣鹊姆柊l(fā)生了改變，系統(tǒng)的控制更加不穩(wěn)定，對誤差更加敏感。即使如此，由本文提出算法所得到的艦載機橫、縱坐標以及角度誤差仍明顯小于 BackwardSweep 方法所得到的。

此外，在此次實驗中，每次滾動計算平均需耗時9.12 ms，計算時間遠低于BackwardSweep的57.31 ms，這也充分反映了本文所提出算法具有計算速度快的優(yōu)點，完全可用于實時的在線跟蹤問題。

綜上所述，本文所提出的基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制算法，可有效應用于無桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題。

6 有桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制

6.1 存在初始偏差

為了驗證本文所提出的在線跟蹤的在有桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤問題中的有效性，本文選取圖4中藍線所示的軌跡作為標準軌跡。根據(jù)有桿牽引系統(tǒng)的結構特點以及相關安全規(guī)定，其飛機的速度絕對值應該滿足相應的約束，設|u2|≤1.2 m/s；牽引車的轉向角也應滿足其結構約束，設|u1|≤1.5(牽引車轉向角的絕對值不大于0.982 8)；飛機與牽引車軸向夾角的絕對值不大于1 rad，即|β1|≤1；牽引車與牽引桿軸向夾角的絕對值不大于1 rad，即|β2|≤1。與單機滑行軌跡跟蹤類似，實際的軌跡還應滿足式(37)的關系，本文取dist=1 m。

為研究不同的權重系數(shù)對有桿牽引系統(tǒng)跟蹤效果的影響，以便選取合適的權重系數(shù)進行下一步研究，本文將R=diag(R1，R2)設置為單位矩陣，并采取不同的權重系數(shù)P=diag(P1，P2，P3，P4，P5)來進行仿真實驗。此外，有桿牽引系統(tǒng)的初始偏差分別設為Δx1=0.4 m、Δy1=0.4 m、Δθ1=0.1、Δβ1=0.001、Δβ2=0.001，P矩陣的取值可見表5。

表5 有桿牽引系統(tǒng)不同權重系數(shù)Table 5 Different weight coefficients for towed carrier-basedaircraft system with drawbar

將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。分別采用不同的權重系數(shù)進行仿真實驗，具體結果如圖16所示。

由圖16可分析出，Case 1比對應的調(diào)節(jié)時間最長，其次為Case 2，Case 3和Case 4最短；對于Case 3～4，其調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量均很接近。在終端誤差方面，Case 1～4對應的終端誤差均可保持在很小的范圍內(nèi)，其中Case 3和Case 4對應的終端誤差比較接近，且較Case 1和Case 2均更小。在57～75 s這個階段，所得到的艦載機橫、縱坐標以及角度誤差均有放大的趨勢，這主要是因為在這段時間內(nèi)，牽引車由拖著艦載機正向行駛變?yōu)榈雇浦炤d機進入停機位，該過程系統(tǒng)的速度由正向變?yōu)樨撓?，速度的符號發(fā)生了切換，系統(tǒng)的控制更加不穩(wěn)定，對誤差更加敏感。

此外，在考慮誤差的抑制情況時，還需考慮控制的平穩(wěn)性，為了研究不同權重系數(shù)對控制平穩(wěn)性的影響，本文給出了對應的牽引車控制變量，具體如圖17所示。由圖17可分析出，Case 1對應的控制變量最平穩(wěn)，其次為Case 2對應的控制變量，Case 4對應的控制變量變化相對較為劇烈。為了平衡誤差的變化和控制變量的變化，本文將艦載機位置項對應的權重系數(shù)設置為103～104量級。

圖16 不同權重系數(shù)情況下的有桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差Fig.16 Tracking errors with different weight coefficients for towed carrier-based aircraft system with drawbar

為研究系統(tǒng)對不同初始偏差的敏感程度以及所提出的跟蹤算法對初始偏差的抑制效果，本文選取4組不同的初始偏差組合進行仿真實驗，其中權重系數(shù)為P=103×diag(10，10，5，0，0)，具體初始偏差參數(shù)如表6所示。

根據(jù)上述初始偏差，采用本文所提出的算法，可得到橫縱坐標以及角度的誤差變化如圖18所示。由圖18可分析出：Case 5～8對應的誤差變化均較為平穩(wěn)，且均在25 s左右可以實現(xiàn)對初始偏差的有效抑制。此外，誤差均滿足式(37)，說明采用本文提出的在線算法可有效的抑制初始偏差，所得出的實際軌跡不會與障礙物發(fā)生任何碰撞。為了進一步驗證控制變量是否滿足對應的約束關系，本文給出了牽引車的速度和轉向角，具體如圖19所示。

圖17 不同權重系數(shù)情況下的有桿牽引系統(tǒng)控制變量Fig.17 Control variables of tractor with different weight coefficients for towed carrier-based aircraft system with drawbar

表6 有桿牽引系統(tǒng)不同初始偏差參數(shù)Table 6 Different initial deviations for towed carrier-basedaircraft system with drawbar

圖18 不同初始偏差情況下的有桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差變化圖Fig.18 Tracking errors with different initial deviations for towed carrier-based aircraft system with drawbar

由圖19可分析出：在起始階段，由于初始偏差的存在，需要不斷的調(diào)節(jié)牽引車速度和轉向角以修正初始偏差，采用本文提出的算法可以在較短時間內(nèi)完成這一過程；牽引車的轉向角均未超過0.982 8，即對應的控制變量在約束范圍之內(nèi)。且在終端位置時，牽引車的速度可保持在0 m/s，根據(jù)公式艦載機與牽引車之間的速度關系可知，艦載機的速度在末端也為0 m/s。

為了進一步驗證由本文提出的在線跟蹤算法可滿足有桿牽引系統(tǒng)跟蹤的相關約束關系，本文給出了β1以及β2隨時間的變化關系，具體如圖20所示。

由圖20可分析出：艦載機與牽引桿軸向之間的夾角以及牽引車與牽引桿軸向之間的夾角變化均非常平緩，且二者的絕對值均未超1，完全滿足|β1|≤1和|β2|≤1的約束關系。

圖19 不同初始偏差情況下的有桿牽引系統(tǒng)速度和轉向角Fig.19 Velocity and steering angle of tractor under different initial deviations for towed carrier-based aircraft system with drawbar

圖20 不同初始偏差情況下的β1和β2變化關系Fig.20 Variation ofβ1 and β2 with different initial deviations

這說明，采用本文所提出的算法，可在較短時間內(nèi)實現(xiàn)對初始偏差的修正，且所得到的結果可滿足相應的狀態(tài)變量以及控制變量約束關系。

6.2 持續(xù)外界擾動

為了研究在持續(xù)外界擾動情況下的控制效果，此處將外界擾動設置為x1d=0.02cos(0.5t)，y1d=0.02sin(0.5t)，θ1d=0.002cos(0.5t)，β1d=0.002cos(0.5t)，β2d=0.002cos(0.5t)。將滾動窗口的步長設置為2 s，每個時間窗口內(nèi)分為3大段，每一大段又分為3個小段，共計10個配點，滾動步長為0.2 s，在線跟蹤算法的收斂精度為1×10-4。具體結果如圖21所示。

由圖21可分析出：采用本文所提出的在線跟蹤算法可以實時的處理持續(xù)外界擾動，并將誤差控制在較小的范圍內(nèi)。且可將終端誤差控制在較小的范圍內(nèi)，并可以較高的精度將艦載機牽引至預定位置。

此外，在此次實驗中，每次滾動計算平均需耗時11.12 ms，計算時間遠低于BackwardSweep的71.86 ms，這也充分反映了本文所提出算法具有計算速度快的優(yōu)點，完全可用于實時的在線跟蹤問題。

綜上所述，本文所提出的基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制算法，可有效應用于有桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題。

圖21 持續(xù)外界擾動情況下的有桿牽引系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差Fig.21 Variation of tracking errors with different continuous external disturbance for towed carrier-based aircraft system with drawbar

7 3種方式的軌跡跟蹤控制特性對比分析

在前文中已經(jīng)證明了本文所提出的算法可很好的應用于單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，但由于這3種方式所對應的系統(tǒng)結構以及運動學方程差別較大，因此有必要根據(jù)各自的跟蹤結果來研究這3種方式的跟蹤控制特性。

7.1 初始偏差對3種系統(tǒng)軌跡跟蹤的影響

為了研究單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)的控制特性，本文首先從不同初始偏差對控制結果的影響角度來進行分析。由于這3種系統(tǒng)運動學方程的狀態(tài)變量中均存在艦載機橫坐標、縱坐標以及角度這3項，在比較不同初始偏差對3種系統(tǒng)控制結果的影響時，可只考慮這3項的初始偏差。

表7中給出了不同的艦載機橫坐標、縱坐標以及角度初始偏差，單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)中其它狀態(tài)變量的初始偏差均記為0。由于這3種系統(tǒng)的運動學方程和約束不一樣，權重對不同系統(tǒng)的影響也會有差別，為了對比初始偏差對3種系統(tǒng)的影響，此處可根據(jù)不同系統(tǒng)的特點來設置可以使跟蹤控制效果達到最優(yōu)的權重系數(shù)。其中，跟蹤控制效果主要從以下3個角度來衡量：

表7 不同初始偏差條件下的跟蹤結果Table 7 Tracking results with different initial deviations

1)所得到的控制變量需滿足對應的約束關系。

2)所得到的狀態(tài)變量需滿足對應的約束關系。

3)末端誤差的絕對值需不大于0.05。

若以上3個衡量指標均成立，則說明可有效抑制所設置的初始偏差；否則，則視為不可抑制該初始偏差。

本文采取12組不同的初始偏差分別對3種系統(tǒng)進行跟蹤實驗，具體結果如表7所示。Case 1～4是采用固定的艦載機角度初始偏差，選取不同幅度的位置初始偏差來進行仿真實驗。由Case 1～4的實驗結果可分析出：單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)均可對不同幅度的位置偏差進行有效抑制。

Case 5～12是采用固定幅度的位置初始偏差，選取不同幅度的角度偏差來進行仿真實驗。由Case 5～12的實驗結果可分析出：單機滑行系統(tǒng)可有效抑制不同幅度的角度初始偏差，即對角度偏差敏感度低；無桿牽引系統(tǒng)可有效抑制一定幅度范圍內(nèi)的角度初始偏差，對角度偏差的敏感度較單機滑行系統(tǒng)高；有桿牽引系統(tǒng)能有效抑制角度初始偏差的范圍最小，對角度偏差的敏感度最高。

綜合分析上述結果可得出：單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)在艦載機初始角度偏差較小的情況下，均可抑制較大幅度的位置初始偏差，但有桿牽引系統(tǒng)對艦載機角度初始偏差最為敏感，在使用有桿牽引車調(diào)運艦載機的過程中，應在調(diào)運之前盡可能的將艦載機調(diào)整至預定角度；相對于有桿牽引系統(tǒng)而言，無桿牽引系統(tǒng)對艦載機角度初始偏差的敏感度要低，但若角度的初始偏差太大，也無法實現(xiàn)有效跟蹤；而艦載機滑行系統(tǒng)對初始偏差的敏感度最低。

7.2 外界擾動對3種系統(tǒng)軌跡跟蹤的影響

為了研究單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)的控制特性，同時使仿真結果更加貼近實際情況，本文還從不同幅度的持續(xù)外界干擾對跟蹤控制結果的影響角度來進行分析。由于這3種系統(tǒng)運動學方程的狀態(tài)變量中均存在艦載機橫坐標、縱坐標以及角度這三項，在比較不同幅幅度外界干擾對3種系統(tǒng)控制結果的影響時，只考慮這三項的初始偏差。設艦載機橫坐標受到的外界干擾為x1d=Δrcos(0.5t)，縱坐標受到的外界干擾為y1d=Δrsin(0.5t)，艦載機角度受到的外界干擾為θ1d=0.1Δrcos(0.5t)，其中Δr為外界干擾幅度參數(shù)。

此處可根據(jù)不同系統(tǒng)的特點來設置可以使跟蹤控制效果達到最優(yōu)的權重系數(shù)。其中，跟蹤控制效果主要從以下3個角度來衡量：

1)所得到的控制變量需滿足對應的約束關系。

2)所得到的狀態(tài)變量需滿足對應的約束關系。

若以上3個衡量指標均成立，則說明該系統(tǒng)可有效抑制所設置的持續(xù)外界干擾；否則，則視為不可抑制。

則采用本文提出的跟蹤算法，可得到不同幅度持續(xù)外界擾動條件下的跟蹤結果。本文在10組不同幅度的持續(xù)擾動信號情況下，分別對3種系統(tǒng)進行跟蹤實驗，具體結果如表8所示。

由表8可分析出：在該仿真實驗中，艦載機角度項的持續(xù)擾動幅度較小，單機滑行系統(tǒng)可對較大幅度的持續(xù)干擾進行有效抑制，有桿牽引系統(tǒng)可抑制的持續(xù)干擾幅度范圍較單機滑行系統(tǒng)小，而無桿牽引系統(tǒng)可抑制的持續(xù)干擾幅度范圍最小。

結合初始偏差的對比結果可得出如下結論：

表8 不同幅度持續(xù)外界擾動條件下的跟蹤結果統(tǒng)計表Table 8 Tracking results with continuous external disturbance of different amplitude

1)當艦載機角度項的偏差較小時，單機滑行系統(tǒng)對艦載機橫、縱坐標偏差的抑制能力最強，其次為有桿牽引系統(tǒng)，最后為無桿牽引系統(tǒng)；故在此情況下，單機滑行對海況的要求最低，其次為采用有桿牽引的方式，而采用無桿牽引的方式對海況要求最高。

2)從對艦載機角度偏差的敏感程度而言，有桿牽引系統(tǒng)最敏感，無桿牽引系統(tǒng)次之，單機滑行系統(tǒng)對艦載機角度偏差的敏感程度最低。

8 結 論

本文針對單機滑行、無桿牽引系統(tǒng)以及有桿牽引系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題進行了研究，首先將這3種系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題轉化為最優(yōu)控制問題，并建立了連續(xù)非線性艦載機系統(tǒng)的軌跡跟蹤模型；然后基于第三類生成函數(shù)，提出了適用范圍更廣的全狀態(tài)保辛偽譜算法，并結合滾動時域理論提出了基于滾動時域的在線跟蹤最優(yōu)控制方法，證明了所提出的算法是一種保辛算法。最后，通過具體的仿真實驗驗證了本文提出算法的有效性，并對3種不同方式的跟蹤特性進行了對比分析。本文所提出的算法具有以下優(yōu)點：

1)可以求解有限時間區(qū)間的最優(yōu)跟蹤控制問題，避免求解復雜的Riccati方程(ARE)，而傳統(tǒng)跟蹤控制算法難以避免。

2)艦載機系統(tǒng)的真實軌跡不能與障礙物發(fā)生碰撞，因此控制變量和狀態(tài)變量應該滿足相應的約束關系，傳統(tǒng)的跟蹤方法難以同時解決控制約束和狀態(tài)約束的跟蹤問題，而所提出的算法能較好地解決這一問題，且跟蹤精度較高。

3)降低了傳統(tǒng)非線性最優(yōu)控制算法對初始參考解和協(xié)變量的敏感程度。

4)計算效率高，可以達到實時跟蹤的目的，一定程度上解決了最優(yōu)控制算法不適用于在線跟蹤的問題，且在有擾動的情況下仍可進行高精度的、實時的跟蹤控制，魯棒性強。

為了提高算法效率，在今后的工作中需要對其進一步優(yōu)化。此外，如何平衡計算效率、精度之間的關系是另一項具有挑戰(zhàn)性的工作。