基于連續(xù)映射建模的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

王蘊(yùn)博

摘要：基于連續(xù)映射建模的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法目前主要有均勻化方法、 變厚度法、 變密度法、獨(dú)立連續(xù)映射方法（ ICM） 、Heaviside方法及其變體，本文對(duì)其發(fā)展歷程、發(fā)展現(xiàn)狀及其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了綜述。介紹了上述幾種基于連續(xù)映射建模的優(yōu)化方法的基本思想、約束條件和優(yōu)化模型，并提出其在理論研究和實(shí)際應(yīng)用的發(fā)展方向和展望。

關(guān)鍵詞：連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化;變密度法;ICM方法;Heaviside方法;連續(xù)映射建模

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的現(xiàn)代發(fā)展源于1960年Schmit提出的將數(shù)學(xué)規(guī)劃技術(shù)引進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的開創(chuàng)性思想[1]。自結(jié)構(gòu)分析與數(shù)學(xué)規(guī)劃相結(jié)合至今，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化業(yè)已相對(duì)成熟，而拓?fù)鋬?yōu)化尚處于理論探索的發(fā)展階段。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化包括離散體拓?fù)鋬?yōu)化和連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化兩種，后者為其主要研究對(duì)象[2]。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的最大優(yōu)點(diǎn)是在結(jié)構(gòu)的初始拓?fù)湫问轿粗那疤嵯?，根?jù)已知邊界條件和載荷條件以尋求結(jié)構(gòu)最優(yōu)的拓?fù)潢P(guān)系、確定出連續(xù)體較合理的結(jié)構(gòu)形式，鑒于其既不涉及具體結(jié)構(gòu)尺寸和形狀設(shè)計(jì)同時(shí)又可給出最佳參考設(shè)計(jì)方案并產(chǎn)生新的拓?fù)錁?gòu)型，對(duì)整個(gè)連續(xù)體產(chǎn)品的初始設(shè)計(jì)階段具有重要的意義。

（1） 基于連續(xù)映射建模的均勻化方法[2，4]、 變厚度法[5]、變密度法[6]、獨(dú)立連續(xù)映射方法（ ICM） [7-8] 、Heaviside方法及其變體[9-10];

（2） 非連續(xù)映射建模的啟發(fā)式算法[11]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（ ESO）[12]和水平集法（ Level set） 及其變體等[13-14]。

均勻化方法是拓?fù)鋬?yōu)化的一個(gè)重要的連續(xù)的優(yōu)化方法[2，4]，取微結(jié)構(gòu)的方向和幾何尺寸為設(shè)計(jì)變量，并根據(jù)單胞尺寸的變化刪除微結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生介于由中間尺寸微結(jié)構(gòu)組成的復(fù)合材料。將困難的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)參數(shù)的尺寸優(yōu)化模型。由于均勻化方法中每個(gè)單元有兩類設(shè)計(jì)變量，敏度計(jì)算和求解過(guò)程變得非常復(fù)雜，因此，很多學(xué)者在研究拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)盡量避免使用完整的均勻化方法。

變厚度法以可變的單元厚度為連續(xù)設(shè)計(jì)變量，通過(guò)刪除厚度處于尺寸下限的單元實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞淖兏?。程耿東等[5]主要基于變厚度法對(duì)離散體和連續(xù)體在局部應(yīng)力約束下的強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。變厚度法避免了均勻化方法中構(gòu)造微結(jié)構(gòu)的麻煩，因此可以較為方便地解決平面拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。但是，由于它把拓?fù)渥兞繏炜吭诘蛯哟蔚膯卧穸壬?，將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義尺寸優(yōu)化問(wèn)題，因此無(wú)法運(yùn)用于三維結(jié)構(gòu)中。

均勻化方法是一種經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化方法，它在數(shù)學(xué)和力學(xué)理論上極為嚴(yán)密，主要應(yīng)用于連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，不僅能用于應(yīng)力約束和位移約束，也能用于頻率約束和屈曲約束。目前用均勻化方法來(lái)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的有一般彈性問(wèn)題、熱傳導(dǎo)問(wèn)題、周期漸進(jìn)可展曲面問(wèn)題、非線性熱彈性問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題和骨改造問(wèn)題等，并被用于復(fù)合材料的有效力學(xué)行為分析中[17]。關(guān)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中不同材料模型的均勻化方法的建模理論、應(yīng)用及其推導(dǎo)過(guò)程詳見綜述性文獻(xiàn)[2]。

該方法目前能求解的問(wèn)題有限，但在理解拓?fù)鋬?yōu)化的理論框架方面有著重要的意義，主要應(yīng)用在拓?fù)鋬?yōu)化理論研究方面。針對(duì)均勻化方法中出現(xiàn)奇異最優(yōu)解的問(wèn)題，程耿東[25，26]進(jìn)行了深入研究，并指出應(yīng)力函數(shù)的不連續(xù)性是導(dǎo)致桁架和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化出現(xiàn)奇異最優(yōu)解的本質(zhì)原因，提出采用ε-松弛方法予以解決，隋允康和鐵軍則從ICM方法的應(yīng)力過(guò)濾函數(shù)出發(fā)對(duì)應(yīng)力奇異現(xiàn)象進(jìn)行了思考和推導(dǎo)[27]。隋允康等[28]利用均勻化方法的思想，結(jié)合最小二乘法深入研究了ICM方法中的過(guò)濾函數(shù)，提出了過(guò)濾函數(shù)冪指數(shù)系數(shù)的概念，得出剛度過(guò)濾函數(shù)隨重量過(guò)濾函數(shù)變化的規(guī)律。

二、基于變厚度法的連續(xù)映射建模

變厚度法的基本思想是以基結(jié)構(gòu)中連續(xù)變化的單元厚度作為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，主要用于平面結(jié)構(gòu)（如膜、板、殼等）拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，但推廣到三維問(wèn)題有一定的難度。采用變厚度法的代表性工作有：Tenek 和Hagiwara 對(duì)薄殼結(jié)構(gòu)的研究[5]， 程耿東和張東旭對(duì)平面膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究[5]，王健和程耿東對(duì)具有應(yīng)力和厚度約束的薄板和平面彈性體結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究[5]，王健和程耿東應(yīng)用變厚度分層優(yōu)化方法研究多工況應(yīng)力約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，周克民和胡云昌等用變厚度單元法對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，隨后又將此方法與拓?fù)浞治鱿嘟Y(jié)合。賴云山和馬海濤研究了基于單元節(jié)點(diǎn)厚度設(shè)計(jì)變量利用變厚度雜交應(yīng)力單元的二維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

下面給出以重量最小為目標(biāo)的基于變厚度法的平面彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型 [5] 。

由于變厚度法把拓?fù)渥兞繏炜吭趩卧穸壬?，拓?fù)渥兞渴チ霜?dú)立的層次，導(dǎo)致連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義尺寸優(yōu)化問(wèn)題，從而受到尺寸優(yōu)化層次的制約，優(yōu)化效率難以得到提高。

三、基于變密度法的連續(xù)映射建模

變密度法以均勻化方法為基礎(chǔ)并加以改進(jìn)，有效克服了基于均勻化理論的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型中設(shè)計(jì)變量眾多且分析計(jì)算工作量非常龐大的缺點(diǎn)，是典型的連續(xù)映射建模的拓?fù)鋬?yōu)化方法。

變密度法中的材料插值方法決定著結(jié)構(gòu)的單元屬性與結(jié)構(gòu)單元的材料密度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系， 對(duì)結(jié)構(gòu)的最終拓?fù)浞植计鹬P(guān)鍵作用， 使用不同材料插值方法其計(jì)算過(guò)程會(huì)有所差別，最后得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也可能有所不同， 因此材料插值方法在變密度法中至關(guān)重要。具有代表性的密度插值模型有兩種，一是 SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）材料插值模型]，二是 RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。

Bends?e和 Sigmund證明了SIMP方法在優(yōu)化求解過(guò)程中出現(xiàn)的中間密度單元所對(duì)應(yīng)的微觀構(gòu)型的存在性，進(jìn)一步從理論上完備了變密度法。

近十年來(lái)變密度法得到快速發(fā)展，Sigmud和Clausen等人先后于2000年和2011年發(fā)表了基于SIMP模型變密度法的matlab程序，促使更多學(xué)者對(duì)變密度法加以了解、使用、研究和發(fā)展。Sigmund 研究了多物理場(chǎng)作動(dòng)器構(gòu)型設(shè)計(jì)，Olhoff研究連續(xù)體震動(dòng)問(wèn)題，羅震等基于變密度法和優(yōu)化準(zhǔn)則法推導(dǎo)并建立柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的一種顯式的設(shè)計(jì)變量收斂格式，結(jié)合分布式柔性機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的人工彈簧模型和虛擬載荷法，提出一種新型的分布式柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的多準(zhǔn)則優(yōu)化模型，并用激光快速成形技術(shù)驗(yàn)證柔性機(jī)構(gòu)概念設(shè)計(jì)的合理性。París等研究了在應(yīng)力約束下以重量最小為目標(biāo)的基于變密度法連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，其優(yōu)化模型如下：

在連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中經(jīng)常存在局部極值、棋盤格和網(wǎng)格依賴性方面的數(shù)值困難。羅震等[51]基于帶權(quán)重的折衷規(guī)劃法和SIMP密度函數(shù)插值模型，對(duì)多工況載荷條件下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)的棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出一種二重敏度過(guò)濾技術(shù)以消除優(yōu)化結(jié)構(gòu)中的棋盤格式，使優(yōu)化結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出較好的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性。徐勝利等[52]基于SIMP方法通過(guò)最小柔順性問(wèn)題提出了一種體積守恒型Heaviside函數(shù)的密度過(guò)濾方法，可以有效消除灰色區(qū)域并使優(yōu)化過(guò)程更穩(wěn)定。

四、基于Heaviside方法的連續(xù)映射建模

Heaviside方法是最近提出的一種連續(xù)映射建模方法[9，19]。在連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用SIMP方法的建模過(guò)程中，Guest[9]和Kawamoto[12]等人使用帶有Heaviside函數(shù)的密度過(guò)濾法克服棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，分別以不同的方式提出了獨(dú)立連續(xù)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的概念。其中Guest等使用輔助變量<C：＼Users＼lenovo＼Desktop＼中國(guó)房地產(chǎn)業(yè)2019-3（封面）＼Image＼image4.pdf>作為獨(dú)立設(shè)計(jì)變量并利用函數(shù)

五、基于ICM方法的連續(xù)映射建模

隋允康1996年提出了ICM（獨(dú)立、連續(xù)、映射）方法[7]，以一種獨(dú)立于單元具體物理參數(shù)的變量來(lái)表征單元的“有”與“無(wú)”，這就是“獨(dú)立拓?fù)渥兞俊?，將拓?fù)渥兞繌囊栏接诿娣e、厚度等尺寸優(yōu)化層次變量中抽象出來(lái)，恢復(fù)了拓?fù)渥兞康莫?dú)立性，為模型的建立帶來(lái)方便，同時(shí)為了求解簡(jiǎn)捷，構(gòu)造了過(guò)濾函數(shù)和磨光函數(shù)，使獨(dú)立連續(xù)的拓?fù)渥兞勘平x散拓?fù)渥兞?，把本質(zhì)上是0-1離散變量的獨(dú)立拓?fù)渥兞坑成錇閇0，1]連續(xù)變量，在按連續(xù)變量求解之后再把拓?fù)渥兞糠囱莩呻x散變量。ICM方法吸取了變厚度法和變密度法不再構(gòu)造微結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，又避免了把拓?fù)渥兞繏炜坑诔叽缁蛐螤顚用婺酥寥嗽觳牧仙系淖龇?，使拓?fù)渥兞炕謴?fù)了理應(yīng)有的獨(dú)立地位，同時(shí)，定義連續(xù)的拓?fù)渥兞?，從而可以吸納數(shù)學(xué)規(guī)劃中卓有成效的連續(xù)光滑的解法。

ICM 方法以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)，從而將截面優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)統(tǒng)一規(guī)范化，獨(dú)立、連續(xù)拓?fù)渥兞扛拍畹奶岢霾粌H有效地解決了應(yīng)力、位移、頻率等約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，從而更有利于工程實(shí)際應(yīng)用，也實(shí)現(xiàn)了骨架類結(jié)構(gòu)和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的統(tǒng)一，做出了不少令人滿意的結(jié)果，其統(tǒng)一的優(yōu)化模型如下：

隋允康、鐵軍、彭細(xì)榮和葉紅玲等[15-17]對(duì)ICM方法進(jìn)行了深入探討和梳理：（1）通過(guò)選取不同的過(guò)濾函數(shù)可以不進(jìn)行每步刪除而得到清晰的拓?fù)鋱D形，對(duì)應(yīng)力約束、頻率約束、位移及頻率約束、簡(jiǎn)諧載荷激勵(lì)下動(dòng)位移幅值約束等拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究。計(jì)算算例表明ICM方法在處理靜力問(wèn)題及動(dòng)力問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化都是可行的。

（2）基于ICM方法，建立了以連續(xù)體結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)的應(yīng)力約束下多工況的三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。利用 Von Mises強(qiáng)度理論，提出了應(yīng)力約束全局化方法，從而將局部的應(yīng)力約束轉(zhuǎn)化為全局的應(yīng)變能約束，由此減少了約束數(shù)目，降低了問(wèn)題的規(guī)模，避免了敏度分析。另外，利用對(duì)偶理論，將建立的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為對(duì)偶模型，用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行了求解，從而減少了設(shè)計(jì)變量的數(shù)目，提高了求解效率。

（3）為了得到汽車車架的概念化設(shè)計(jì)基于ICM方法，給出了汽車車架結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的有效方法。他們采用應(yīng)力全局化策略，將局部的應(yīng)力約束轉(zhuǎn)化為全局的應(yīng)變能約束問(wèn)題，建立了以結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)，應(yīng)力約束下的汽車車架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，研究了多工況應(yīng)力約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。

（4）為了使求解位移和應(yīng)力約束下重量最輕的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題ICM（ 獨(dú)立連續(xù)映射）方法得到更清晰的拓?fù)湫问?，引入拓?fù)渥兞侩x散性條件作為目標(biāo)之一，與原目標(biāo)組成多目標(biāo)規(guī)劃模型，使拓?fù)渥兞肯?或1兩端靠近，減小了刪除率對(duì)結(jié)果的影響;用圖形處理方法消除了棋盤格現(xiàn)象及網(wǎng)格依賴性;通過(guò)初選準(zhǔn)有效約束及選擇設(shè)計(jì)區(qū)域等，提高了求解效率。算例表明改進(jìn)后的算法雖然迭代次數(shù)比原算法略多，但更穩(wěn)鍵，更實(shí)用。

（5）為解決多工況下多位移約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，引入了拋物型K-S函數(shù)對(duì)位移約束進(jìn)行集成化處理。在建立優(yōu)化模型時(shí)， 基于莫爾定理按ICM方法導(dǎo)出約束點(diǎn)位移與設(shè)計(jì)變量之間的近似顯函數(shù)關(guān)系，然后采用Lagrange乘子法進(jìn)行求解。

（6）為克服應(yīng)力約束下拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題約束數(shù)目多、應(yīng)力敏度計(jì)算量大的困難，提出了應(yīng)力約束化凝聚化的ICM方法。在利用強(qiáng)度理論將應(yīng)力約束轉(zhuǎn)換成應(yīng)變能約束后，提出了應(yīng)力約束凝聚化的兩條途徑 其一為應(yīng)力全局化的方法，其二為應(yīng)力約束集成化的方法 由此建立了多工況下以重量為目標(biāo)、以凝聚化應(yīng)變能為約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，并利用對(duì)偶理論對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了求解。該方法具有較高的計(jì)算效率，得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比較合理，不僅適用于二維連續(xù)體結(jié)構(gòu)，也適用于三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)。

（7）基于ICM（獨(dú)立、連續(xù)、映射）方法建立了以結(jié)構(gòu)重量最小為目標(biāo)，以屈曲臨界力、應(yīng)力同時(shí)為約束的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化模型，有效地解決屈曲與應(yīng)力約束共同作用的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。

（8）基于ICM方法和拓?fù)鋬?yōu)化的困難，]提出應(yīng)變比能和畸變比能約束的概念發(fā)展了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中全局化的方法，同時(shí)提出上、下階躍函數(shù)和快濾函數(shù)的概念提高了拓?fù)鋬?yōu)化的效率和克服棋盤格與網(wǎng)格依賴性問(wèn)題。

六、結(jié)語(yǔ);

本文對(duì)基于連續(xù)映射建模的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述，以獨(dú)立連續(xù)拓?fù)渥兞繛榛A(chǔ)的拓?fù)鋬?yōu)化研究和并行計(jì)算技術(shù)將成為今后研究的重點(diǎn)。

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