利用等效法求解豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)分析

柏東寬

摘 要：文章主要闡述高中物理教學(xué)中最常用的等效法在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用，從基本模型的介紹到模型的深入應(yīng)用，深入淺出的介紹這種方法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等效法；圓周運(yùn)動(dòng)；豎直平面

等效法在高中物理學(xué)科解決問題中最重要的一種科學(xué)思維方法之一，等效方法的實(shí)質(zhì)是相互替代的效果相同，等效方法的結(jié)果，可以使復(fù)雜問題變成簡單問題，使感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。在中學(xué)物理中合力和分力，合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)，平均速度，重心，交流電的平均值物理概念均是根據(jù)等效方法引入的。本文就質(zhì)點(diǎn)在豎直平面上的圓形軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，利用等效法的思想從基本模型和擴(kuò)展方面做出一些分析研究。

一、基本模型

物體在圓形軌道中繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)，由于軌道只能提供彈力，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力，在最低點(diǎn)受重力和彈力，合力提供向心力，所以在最高點(diǎn)：（1）質(zhì)點(diǎn)過最高點(diǎn)的臨界條件：質(zhì)點(diǎn)達(dá)最高點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物體的彈力剛好為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)的向心力全部由物體的重力來提供，這時(shí)有FN+mg=mv2/R，當(dāng)FN=0時(shí)v最小，是小球通過最高點(diǎn)的最小速度叫臨界速度；（2）質(zhì)點(diǎn)能通過最高點(diǎn)的條件是 。在最低點(diǎn)：（1）質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)合力提供向心力FN-mg=mv2/R；（2）質(zhì)點(diǎn)能通過最高點(diǎn)的條件是v≥0。（3）要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)mg·2R=mv2/2-mvmin2/2，則過最低點(diǎn)的速度 。

二、帶點(diǎn)粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)

例一、（2013年全國二卷）如圖，勻強(qiáng)電場中有一半徑為r的光滑絕緣圓軌道，軌道平面與電場方向平行。a、b為軌道直徑的兩端，該直徑與電場方向平行。一電荷量為q（q> 0）的質(zhì)點(diǎn)沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小分別為Na和Nb。不計(jì)重力，求電場強(qiáng)度的大小E、質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能。

分析：帶電粒子在電場中可以等效為在重力場中，本題把電場力等效為重力，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，就完全可以參照基本模型來處理。

a點(diǎn)即為等效最高點(diǎn)，由基本模型Na+mg=mva2/R

b點(diǎn)即為等效最低點(diǎn)，由基本模型Nb-mg=mvb2/R

a到b，由動(dòng)能定理qE·2R=mvb2/2-mva2/2

本題利用等效法來處理可以快速的解決問題，只要把模型理解透徹會(huì)很快的處理完成，由于本文只是針對(duì)知識(shí)進(jìn)行講解，后續(xù)解答就不詳細(xì)贅述，

三、帶電粒子在重力場和電場中的運(yùn)動(dòng)

例二、如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定的圓形絕緣軌道的圓心為O、半徑為R、內(nèi)壁光滑.該區(qū)間存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場，一質(zhì)量為m、帶電的小球恰好能在軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度最大，O、P連線與豎直方向的夾角θ=60°，重力加速度為g.求：

（1）小球所受到的靜電力的大小；

（2）小球?qū)A軌道的壓力最大值是多少？

分析：本題把電場和重力場等效為一個(gè)場，即把電場力和重力等效為一個(gè)力F，如右圖。P點(diǎn)速度最快，即P點(diǎn)即為等效最低點(diǎn)，由P點(diǎn)受的場力可以輕松算出靜電力F電=qE=mgtanθ，則等效力F=mg/cosθ

P點(diǎn)速度最快，即P點(diǎn)即為等效最低點(diǎn)，在等效最低點(diǎn)有：Np-F=mvp2/R

在圓上沿直徑方向上P點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為等效最高點(diǎn)，本題中有關(guān)鍵詞“恰好”，即在等效最高點(diǎn)就為等效力F提供向心力即：F=mvo2/R

在等效最高點(diǎn)和等效最低點(diǎn)之間用動(dòng)能定理，即：F·2R=mvp2/2-mvo2/2

由等效思想我們知道，對(duì)圓軌道的最大支持力就是等效最低點(diǎn)的支持力，由牛頓第三定律知，最大壓力大小即為NP，綜合上述五個(gè)公式既可求出。

例三、（2018年全國卷三）如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點(diǎn)相切。BC為圓弧軌道的直徑。O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，sinα=3/5，一質(zhì)量為m的小球沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道通過C點(diǎn)，落至水平軌道；在整個(gè)過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此時(shí)小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱?。重力加速度大小為g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小；

（2）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)量的大?。?/p>

（3）小球從C點(diǎn)落至水平軌道所用的時(shí)間。

分析：本題把可以利用例二的思想，把電場力換成水平恒力即可，即把水平恒力和重力等效為一個(gè)力F，如右圖，由題目所給的信息，“在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此時(shí)小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱恪保碈點(diǎn)為等效最高點(diǎn)，即水平恒力F1=mgtanθ，則等效力F=mg/cosθ，由此C點(diǎn)的速度也可以快速求出，即F=mvc2/R。

若本題要求求解B點(diǎn)的速度，那就直接用上面的規(guī)律就能解出，由于本文只是針對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行講解，后續(xù)解答就不詳細(xì)贅述。

四、總結(jié)

等效法求解豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，最主要的就是找等效最高點(diǎn)和等效最低點(diǎn)，找到以后利用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)進(jìn)行求解，可以快速處理這類題型。

參考文獻(xiàn)

[1]閆俊仁.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題歸納[J].高中數(shù)理化.2005（01）

[2]韓友慶. “等效替代法”在高中物理中的妙用.科學(xué)大眾·科學(xué)教育.2011（09）