數(shù)形結合思想滲透于高中數(shù)學教學中的研究

邱俊

【摘要】：數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系、直觀的幾何圖形、位置關系等等數(shù)學知識相結合起來，通過抽象思維和具體思維的結合，從而達到復雜問題簡單化、抽象問題具體化、解題最優(yōu)化的目的。數(shù)學的種種知識都離不開數(shù)形結合思想的影子，所以高中數(shù)學教師如何在教學中滲透數(shù)形結合的思想方法，讓學生掌握學習思維方式。本文作者結合多年來的工作經(jīng)驗，對高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想進行了研究，具有重要的參考意義。

【關鍵詞】：高中數(shù)學 數(shù)形結合 滲透

新課程標準指出，高中數(shù)學課程的目標之一是“使學生獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質(zhì)，了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用”。關注數(shù)學思想方法教學已成為當代數(shù)學教育的一大特色，在新課程改革中，中學數(shù)學內(nèi)容在要求和處理上都力圖體現(xiàn)出對數(shù)學思想方法的注重。然而，在數(shù)學課堂教學中雖不乏思想方法內(nèi)容，但一些學生在運用時一旦面臨新的情境就會不知所措，數(shù)學思想沒能被內(nèi)化。中學數(shù)學思想方法教學存在什么問題呢？是否在高三總復習時匆忙地復習幾個專題就可以了呢？筆者認為其實應該分布在各個模塊、各個章節(jié)有計劃、有規(guī)律地滲透這些數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法很多，下面我結合自己的教學實踐，以數(shù)形結合思想為例，談談如何提高使學生的數(shù)形結合能力。

筆者認為在平時的高中數(shù)學教學中應該時常滲透數(shù)學思想方法，讓學生感悟數(shù)學思想。只有平時積累，到高三復習時才不會覺得唐突。以下用案例說明如何讓學生既掌握數(shù)學方法，又能從數(shù)學思想的高度增強數(shù)學方法的意識和能力。在進行人教A版必修1教學時，最能體現(xiàn)的是數(shù)形結合思想，表現(xiàn)在三方面。

一、解決集合問題

在集合運算中常常借助于數(shù)軸、VENN圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。在講集合的運算這一節(jié)時，先讓學生試著從字面上理解“交”“并”“補”的含義，然后讓他們利用維恩（VENN）圖，從直觀上感受“交”“并”“補”的意義，最后以集合語言加以闡述，讓學生從各個不同的角度體會集合的“交”“并”“補”運算，再次滲透數(shù)形結合思想。

【教學片斷1及分析】某班共有30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，求喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)。

分析：先將文字語言轉化為集合語言，設u為全班學生組成的集合，a，b分別表示喜愛籃球運動的學生組成的集合，喜愛乒乓球運動的學生組成的集合，再利用VENN圖可直觀得出答案。

設計意圖：解答有關集合的實際應用題時，首先將文字語言轉化為集合語言，然后借助VENN圖分析，結合集合的交、并、補運算處理，體現(xiàn)VENN圖的簡明、直觀。

二、解決函數(shù)問題

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法。

設計意圖：根據(jù)問題1給出的圖像，選擇觀察的方向，分析其中的數(shù)量關系，訓練學生的識圖能力，能直觀感受從圖像的“上升”與“下降”，理解函數(shù)的單調(diào)性。最后運用數(shù)學符號語言將文字語言的描述提升到單調(diào)性的定義。問題2通過學生動手實踐，讓學生親歷了“數(shù)―形”，“形―數(shù)”的思考過程，獲得基本體驗，從兩個方面理解數(shù)形結合方法的含義，理解數(shù)與形轉換的意義，進行數(shù)形結合的思想立意。在教學中對直觀圖形的利用，就可以讓學生直觀形象地理解抽象的概念。通過數(shù)與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還能為學生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造條件，能夠有的放矢地幫助學生從多角度、多層次出發(fā)地思考問題，養(yǎng)成多向思維的好習慣。引導學生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，更好地把握事情的本質(zhì)。

三、解決方程與不等式的問題

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

設計意圖：由“數(shù)”想到“形”，對學生本身就是一個“坎”，之所以學生“懂而不會”，是因為缺乏基本體驗。因此，教師切不可過早地“推銷”自己的解法，要給學生足夠的探索、體驗的時間。讓學生講出思維的“觸發(fā)點”，如何邁出第一步，在比較的基礎上，讓學生經(jīng)歷“數(shù)―形―數(shù)”的思維過程，獲得思想的解放，增長有“數(shù)”思“形”的見識，能夠自主地調(diào)整思維方向。調(diào)整思維方向，使學生認識有關方程的求解問題可以轉化為考查函數(shù)的交點問題，于看不見“形”的地方發(fā)現(xiàn)圖形，邁出關鍵的一步，體現(xiàn)出數(shù)形結合思想在解題中的妙處。

設計意圖：巧妙地應用數(shù)形結合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，達到優(yōu)化解題途徑的目的。從“數(shù)”的嚴謹性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果。

“數(shù)形結合”就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結合，使抽象思維和形象思維相結合，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要的數(shù)學思想，也是一種常用的數(shù)學方法。數(shù)形結合包括“以形助數(shù)”、“以數(shù)輔形”和“數(shù)形互助”三個方面。巧妙地應用數(shù)形結合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，達到優(yōu)化解題途徑的目的。從“數(shù)”的嚴謹性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果。正如我國著名的數(shù)學家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休。”

教師要認真研究教材，從數(shù)學發(fā)展的全局著眼，從具體的教學過程著手，逐步滲透數(shù)形結合思想，能做到“眼”中有形，“心”中有數(shù)，就能“成功人生”。讓學生養(yǎng)成數(shù)形結合的良好習慣，使它成為分析問題、解決問題的工具，這是所有數(shù)學教育工作者都應該追求的目標。

【參考資料】

【1】高中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的應用探析[J]. 孫美榮. 考試周刊. 2016（17）

【2】數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的運用[J]. 盧江嘯. 求知導刊. 2015（13）

【3】滲透數(shù)形結合思想，提高高中數(shù)學教學效果[J]. 陳榮輝. 數(shù)學學習與研究. 2015（09）

【4】高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想應注意的幾個問題[J]. 范粵. 數(shù)理化學習（高三版）. 2014（07）