對(duì)海森堡不確定原理的證明與詮釋

王永熙

摘 要：不確定性原理（uncertaintyrelation）是1927年由維爾納·海森堡（WernerKarlHeisenberg）博士所提出的并因他而命名的。如今這一原理是量子力學(xué)中最為基本和起始的理論，在粒子的研究中具有普遍的意義。它描述稱對(duì)微觀粒子的觀測(cè)無法同時(shí)精確獲得其位置和動(dòng)量（即速度）。針對(duì)此原理的結(jié)論，本文將簡(jiǎn)單引入量子力學(xué)的基本理念和哥本哈根詮釋的觀點(diǎn)，同時(shí)與之結(jié)合，利用簡(jiǎn)化的高斯型波函數(shù)給出對(duì)不確定性原理的相關(guān)數(shù)學(xué)證明及其對(duì)應(yīng)物理意義的闡釋。

關(guān)鍵詞：不確定性原理;動(dòng)量;位置;波函數(shù);表象;量子論

式中，指在某一時(shí)刻，對(duì)一已知微觀粒子位置坐標(biāo)的觀測(cè)值與該粒子本身客觀絕對(duì)的位置坐標(biāo)的誤差，指與在觀測(cè)粒子位置的同一時(shí)刻，對(duì)粒子的動(dòng)量（即速度）進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值與真實(shí)值的誤差。二者的觀測(cè)同時(shí)發(fā)生，因此二者的觀測(cè)值對(duì)于觀測(cè)者而言是同時(shí)得到的，但是二者的誤差乘積不為零，最精細(xì)情況下也是大于一個(gè)常數(shù)的（）。這實(shí)際上說明，在同一時(shí)刻下對(duì)于微觀粒子物理狀態(tài)的觀測(cè)是無法同時(shí)精確得出的，二者的誤差必不為零。也因此，微觀粒子本身的性質(zhì)無法完全給出，粒子處于一種不確定的狀態(tài)之下——這即為海森堡曾提出的不確定性原理。

這一原理在量子力學(xué)中曾一直在發(fā)展，海森堡本人首次提出時(shí)僅為一不包含準(zhǔn)確數(shù)學(xué)計(jì)算的概念，在此之后，他才寫下這一不等式用以闡明原理。這一結(jié)果的反直覺，極大程度上沖擊了當(dāng)時(shí)人的哲學(xué)和物理理念，也絕對(duì)劃分了宏觀物體的物理與解決微觀問題的量子物理的界限。

3.對(duì)不確定性原理和量子論的思考與前景

自上世紀(jì)初普朗克首次提出量子并正確提出了黑體輻射之后，量子物理展開了快速發(fā)展，其理念之新奇曾一直難以讓人接受，但直到如今，量子力學(xué)早已成為一門最為成功和成熟的物理學(xué)科之一了。量子物理的建立，同時(shí)也帶動(dòng)了如量子電動(dòng)力學(xué)、凝聚態(tài)物理等等學(xué)科的興起和快速發(fā)展，而作為量子論最為基礎(chǔ)且本質(zhì)的不確定性原理，也在不斷更新著。

起初，海森堡等人曾認(rèn)為這種無法同時(shí)觀測(cè)到同時(shí)刻物理狀態(tài)的不確定性在于觀測(cè)的手段，因?yàn)榧幢闶亲罹?xì)、能夠?qū)Ρ挥^測(cè)物造成影響最小的方式，也終是會(huì)對(duì)粒子有一定影響，例如，一粒光子在打到粒子上的時(shí)候，因光子本身具有的動(dòng)量，也會(huì)對(duì)粒子造成一定影響，導(dǎo)致粒子真實(shí)的位置、或者動(dòng)量受到影響，而使觀測(cè)值有一定的不確定性，這一誤差通過理論計(jì)算得以體現(xiàn)。但是后來，隨著量子論的不斷發(fā)展，理論的完備使人們相信引起這種不確定性的更多的在于量子態(tài)的交纏，換言之儀器與觀測(cè)的物理影響本身并非必要條件，直接影響的原因是微觀粒子本身的量子性質(zhì)。

近代，量子理論的基礎(chǔ)已基本完善，雖仍留下許多反直觀的問題和現(xiàn)象，但在數(shù)學(xué)上已經(jīng)達(dá)到自洽。小澤不等式的建立也使不確定性原理也得到了更精確的描述。考慮上粒子自旋、能場(chǎng)的影響等等之后，小澤正直（MasanaoOzawa）提出了對(duì)海森堡不確定性原理更細(xì)致和符合實(shí)際情況的修改，并成功利用實(shí)驗(yàn)超過了經(jīng)典量子論中的測(cè)量極限。但本質(zhì)上，二者的理論是相通的，只是隨時(shí)代發(fā)展而準(zhǔn)確化了。

在對(duì)于量子共振的理論計(jì)算上，不確定性原理還有另外一種表達(dá)：

其中E為能量，t為時(shí)間。上式也可以不等式方式寫出，這一海森堡能量-時(shí)間不確定度關(guān)系在本質(zhì)上與動(dòng)量-位置關(guān)系不同，但仍以一種不確定性的形式影響實(shí)驗(yàn)，也是對(duì)不確定關(guān)系的一個(gè)補(bǔ)充，以及對(duì)微觀物理本質(zhì)的一次發(fā)現(xiàn)。阿爾伯特·愛因斯坦（Albert.Einstein）曾一直對(duì)哥本哈根詮釋的自洽性有著質(zhì)疑，在提出光箱實(shí)驗(yàn)并被玻爾（Niels.Henrik.David.Bohr）一夜解決之后，愛氏聯(lián)另外兩位科學(xué)家（B.Podolsky&N.Rosen）共同提出了EPR佯謬，這一對(duì)量子糾纏態(tài)的攻擊一方面指出了量子物理中的無法遵守狹義相對(duì)論的超距作用，另一方面則對(duì)量子物理最根本的物理詮釋造成了沖擊。但后來，這種思想實(shí)驗(yàn)卻也恰巧成了對(duì)量子糾纏現(xiàn)象的最基本原型之一，人們的確發(fā)現(xiàn)并成功利用了這種現(xiàn)象，引發(fā)了量子計(jì)算和量子信息的可能性。當(dāng)初為了說明這一佯謬而由貝爾（J.Bell）所提出貝爾不等式，后來被實(shí)驗(yàn)打破極限，薛定諤（Erwin Schr?dinger）提出著名的薛定諤的貓也在之后成為了對(duì)量子態(tài)最形象的描述。這一結(jié)果看似巧妙，但仍說明有很多難以認(rèn)清的問題。因此，雖然現(xiàn)在科技的發(fā)展、理論物理的飛躍和穩(wěn)固是與眾目睹的，但人類對(duì)于量子物理所描述的微觀世界的本質(zhì)的探索，如今仍然有著極大的發(fā)展空間。

參考文獻(xiàn)

[1]《新概念物理教程量子物理》（第二版）趙凱華，羅蔚茵著高等教育出版社

[2]《量子力學(xué)教程》胡行編機(jī)械工業(yè)出版社

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[4]《統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)導(dǎo)論》趙成大，梁春于編著吉林人民出版社