芻議“水滴型”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

鄺鳳玲

【摘要】在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)定理。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；水滴型；切線(xiàn)長(zhǎng)定理

切線(xiàn)長(zhǎng)定理是在學(xué)習(xí)了切線(xiàn)的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)切線(xiàn)性質(zhì)的研究，是在垂徑定理之后對(duì)圓的對(duì)稱(chēng)性又一次的認(rèn)識(shí)。體現(xiàn)了圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的變換、圖形的證明的有機(jī)結(jié)合。

切線(xiàn)長(zhǎng)定理的內(nèi)容包括：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角，共三個(gè)內(nèi)容。在應(yīng)用的時(shí)候我們主要利用它證明線(xiàn)段相等或角相等。但是由于切線(xiàn)長(zhǎng)定理是一個(gè)相對(duì)內(nèi)容比較多的定理，所以學(xué)生往往掌握得不全面。為此，我給學(xué)生提煉出切線(xiàn)長(zhǎng)定理的模型——“水滴型”，如圖1

利用“水滴型”可以讓學(xué)生直觀(guān)體會(huì)圖形的對(duì)稱(chēng)性，從而加深對(duì)“切線(xiàn)長(zhǎng)相等”與“點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩切線(xiàn)組成的角”的理解。那么在解題過(guò)程中，我們可以通過(guò)“水滴型”這種模型思想來(lái)使問(wèn)題主干突出，從而攻破難點(diǎn)。

例1：如圖2，在△ABC中，AB=5cm ，BC=7cm，AC=8cm，⊙O與BC、AC、 AB分別相切于 D、 E 、F，求 AF、 BD 、CE的長(zhǎng)？

分析：在本題中表面上看只有一個(gè)三角形和一個(gè)圓，但是我們可以把它看成三個(gè)不同方向的“水滴型”，根據(jù)水滴的性質(zhì)，我們知道AE=AF，BD=BE，CD=CF。一下可以得到三組相等的線(xiàn)段，并且這三組相等的線(xiàn)段中每?jī)蓷l不同的和正好就是AB、BC、AC的長(zhǎng)。這里我們可以利用方程的思想設(shè)未知數(shù)，列方程解決。

如：設(shè)AE=AF=xcm，BD=BE=ycm，則

相同類(lèi)型的題目還有下列兩例：嘗試練習(xí)1。已知，如圖3，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°.

（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；

（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r.

嘗試練習(xí)2。如圖4，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

上面的這些圖形中，“水滴型”很容易就辨別出來(lái)了，但不是所有的“水滴型”都很容易發(fā)現(xiàn).

例2：如圖5，AE、AD、BC分別切⊙O于點(diǎn)E、D、F，若AD=20，求△ABC的周長(zhǎng).

分析：不少同學(xué)看到這個(gè)圖形中只有一個(gè)“水滴型”，其實(shí)它跟上面的問(wèn)題一樣，有3個(gè)“水滴型”。從A點(diǎn)引出的兩條切線(xiàn)容易被關(guān)注，從B、C亮點(diǎn)引出的切線(xiàn)卻容易被忽略。

解：∵ AD=AE， BD=BF，CE=CF，

∴ CΔABC=AB+BC+AC

=AB+BF+CF+AC

=AB+BD+CE+AC

=AD+AE

=20+20

=40

例3：如圖6，AB、CD分別與半圓O切于點(diǎn)A、D，BC切⊙O于點(diǎn)E，若AB=4，CD=9，求⊙O的半徑。

分析：這個(gè)問(wèn)題中，由于圓沒(méi)有畫(huà)全，所以更不容易看出“水滴型”來(lái)，這個(gè)時(shí)候，只要我們把圓補(bǔ)全就能發(fā)現(xiàn)從B點(diǎn)引出兩條切線(xiàn)長(zhǎng)BA和BE與圓構(gòu)成一個(gè)水滴，從C點(diǎn)引出兩條切線(xiàn)長(zhǎng)CD和CE與圓又構(gòu)成一個(gè)水滴。由此，得到兩個(gè)隱含條件為：BE=BA=4及CE=CD=9。

解： 過(guò)點(diǎn)B作BF CD于F。

∵ AB、CD分別與半圓O切于點(diǎn)A、D，BC切⊙O于點(diǎn)E，

∴ AD⊥AB，AD⊥CD 且BE=BA=4，CE=CD=9 ，

∴ BC=BE+CE=13

∵ BF⊥ CD ∴四邊形BADF為矩形，則DF=AB=4，BF=AD

∴ CF=CD-DF=5

在RtΔBCF中，即AD=12

∴ ⊙O的半徑AO=AD=6

以上幾個(gè)例子都是利用了“水滴型”中切線(xiàn)長(zhǎng)相等這個(gè)性質(zhì)，而有時(shí)我們需要用的是平分角的性質(zhì)。

例4：已知：如圖7，⊙O內(nèi)切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm.求BC、AC的長(zhǎng).

分析：看到已知條件中有兩個(gè)關(guān)于角度的，我們應(yīng)該提醒自己還有兩個(gè)暗含的條件即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。

解：∵∠BOC=105°，

∴∠CBO+∠BCO=180°-105°=75°

∵∠CBO=∠ABO，∠BCO=∠ACO，

∴∠ABC+∠ACB=2×75°=150°

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，則∠A=30°。

∵AB=20cm，

∴BC=AB10cm，AC=

利用“水滴型”平分角的性質(zhì)的習(xí)題又如：嘗試練習(xí)3。一個(gè)鋼管放在V形架內(nèi)，如圖8是其截面圖，O為鋼管的圓心.如果鋼管的半徑為25cm，∠MPN=60°，求OP的長(zhǎng)。

上面的例子主要側(cè)重于單方面利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到線(xiàn)段相等或得到角相等，還是相對(duì)簡(jiǎn)單些。在一些較復(fù)雜的題目中兩個(gè)性質(zhì)要同時(shí)使用的時(shí)候，我們往往容易忽略其一。

例5：如圖9，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，DE與⊙O相切于D.

（1）求證：OE//AC。

（2）若tan∠OED=，DE=2，求AD的長(zhǎng).

分析：本題可以利用切線(xiàn)性質(zhì)和判定、切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到第一問(wèn)的結(jié)果。求AD長(zhǎng)則需要利用OE平分∠BED。但是同學(xué)們?cè)谧鲱}過(guò)程中可能不容易發(fā)現(xiàn)藏在里面從E點(diǎn)引出兩條切線(xiàn)構(gòu)成的“水滴型”。

（1）證明：∵∠ABC=90°，且AB為直徑

∴BC是⊙O的切線(xiàn)

又∵DE與⊙O相切于D ∴BE=DE

連接OD、BD

∵ OD=OB且BE=DE

∴ OE垂直平分BD

∵ AB為直徑

∴BD AD 則OE//AC

（2） 解：∵DE與⊙O相切于D且BC與⊙O相切于B

∴ OE平分∠BED 即：∠OEB=∠OED

∵ 由（1）知OE//AC ∴∠OEB=∠C

即tan∠C=tan∠OED=

且OA：OB=EC：EB 則EC=EB

∵ΔBCD為直角三角形，DE=2

∴BC=2DE=4

在RtΔODE中，∵tan∠OED= DE=2

∴OD= 則 AB=

在RtΔABC中，BC=4，AB=

∴則

∴在RtΔABC中，

同時(shí)，同時(shí)運(yùn)用兩種性質(zhì)的還有：嘗試練習(xí)4：如圖10，⊙O 與x軸y軸分別相切于A、B兩點(diǎn)。直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D（0，4），且與y軸成60°夾角。求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用在很多題目中有體現(xiàn)，但是學(xué)生很多時(shí)候看到切線(xiàn)先想到的是切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，容易忽略切線(xiàn)長(zhǎng)定理的內(nèi)容。在這種情況下，如果能讓學(xué)生建立“水滴型”模型，并對(duì)“水滴型”模型的印象更深刻一些，對(duì)解題會(huì)有很大的幫助。