操作中體驗(yàn)，算理與算法間穿行-

王君

算理與算法是我們計(jì)算教學(xué)中常常提到的兩個(gè)詞，看上去似乎很像不易分清，但細(xì)細(xì)深究起來，算理：即計(jì)算的原理或道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么這樣算的問題”。算法：即計(jì)算的方法，是解決問題的操作程序，解決“怎么算”的問題。算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理。也就是說計(jì)算教學(xué)由計(jì)算原理教學(xué)和技能訓(xùn)練兩部分組成。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，最后形成計(jì)算技能。

在計(jì)算教學(xué)活動中，很多教師非常注重算法的訓(xùn)練，而對算理的教學(xué)比較忽略。課堂上對于算理，教師只講一遍，一帶而過，學(xué)生的探究活動也是針對方法探究的活動多，接下來就是對計(jì)算方法的反復(fù)強(qiáng)化。老師說說計(jì)算時(shí)要注意的地方，再請學(xué)生說一說，然后就開始練習(xí)，一遍又一遍，一題又一題，達(dá)到熟能生巧， “一看見題就知道怎么寫”的程度，而不去想為什么這樣做。表面看來教學(xué)效果和學(xué)習(xí)效果都很不錯，老師教過的都掌握了，并且做到了“算的又對又快”，但是對于老師沒教過的、學(xué)生經(jīng)過知識的遷移進(jìn)行類比推理、轉(zhuǎn)化就可以自己掌握的知識，讓學(xué)生通過計(jì)算學(xué)習(xí)學(xué)會學(xué)習(xí)，感悟類比數(shù)學(xué)思想方法，教師卻很少考慮，學(xué)生失去了自我探究、教師失去了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的大好時(shí)機(jī)，這不能不說是計(jì)算教學(xué)的缺憾。在計(jì)算教學(xué)中怎樣有效進(jìn)行算理與算法的有效鏈接是值得我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師深思的問題。

人教版教材三年級上冊第六單元《多位數(shù)乘一位數(shù)》的《筆算乘法》一課，是學(xué)生在二年級已熟練掌握表內(nèi)乘法、能正確口算100以內(nèi)加、減法;在三年級，剛剛學(xué)會口算整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這節(jié)課既是乘法豎式的起始，又是本單元的重點(diǎn)。既是表內(nèi)乘法的進(jìn)一步發(fā)展，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法（多位數(shù)乘法）的重要基礎(chǔ)。因此，切實(shí)掌握好兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法，學(xué)生可以借助本課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，遷移、類推后續(xù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容，對學(xué)生日后計(jì)算內(nèi)容中算理的理解、學(xué)習(xí)能力的發(fā)展具有十分重要的意義。

本課將教學(xué)兩道例題：例1：12×3（不進(jìn)位）。在第一小節(jié)中學(xué)生已經(jīng)會口算，并且會擺小棒表示3個(gè)12相加的和，本課重在讓學(xué)生會筆算12×3。例2：16×3（一次進(jìn)位）的筆算。因教材中的例1是買水彩筆和買書的情景圖，不能較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此我在教學(xué)中將情境圖改為2015年9月3日，天安門大閱兵各種方隊(duì)的介紹。目的是為計(jì)算教學(xué)提供豐富的現(xiàn)實(shí)背景，激發(fā)興趣，對學(xué)生進(jìn)行熱愛祖國，愛好和平的教育。

因考慮到如果只教學(xué)例1（不進(jìn)位），會讓學(xué)生覺得過于簡單，不利于激發(fā)學(xué)生的探究欲望，學(xué)生也有能力在一節(jié)課中接受兩道例題的學(xué)習(xí)。所以我把例1和例2放在一課教學(xué)，想通過不進(jìn)位和進(jìn)位筆算乘法算理的對比學(xué)習(xí)，加深對多位數(shù)乘一位數(shù)算理的理解。

在筆算學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，學(xué)生已經(jīng)具備了筆算加、減法和除法的計(jì)算方法，積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。因筆算乘法與筆算加減法有很大差異，多位數(shù)乘一位數(shù)不是相同數(shù)位上的數(shù)相乘，學(xué)生第一次接觸筆算乘法時(shí)在乘法豎式的寫法和理解豎式計(jì)算中每一步的算理方面仍感到困難。

“教之道在于導(dǎo)，學(xué)之道在于悟”，本課教學(xué)，我將情境創(chuàng)設(shè)、遷移嘗試、觀察對比、交流討論、動手操作、錯例分析、溝通融合、自主練習(xí)、相互評價(jià)等有機(jī)地結(jié)合起來。讓學(xué)生結(jié)合操作探索豎式的寫法，將動作表征（操作），與符號表征（豎式）緊密結(jié)合起來，幫助學(xué)生理解豎式每一步的算理，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。過程中凸顯學(xué)生的主體地位，教師只做適時(shí)的引導(dǎo)和點(diǎn)撥。

因教材中水彩筆和買書的情景圖不能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此將情境圖改為2015年9月3日天安門大閱兵中各種方隊(duì)的介紹。目的是增強(qiáng)情境與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的興趣，對學(xué)生進(jìn)行熱愛祖國，愛好和平的教育。

從3組空中方隊(duì)和3組導(dǎo)彈方隊(duì)圖的觀察，引出兩個(gè)要解決的問題：3組空中方隊(duì)一共有多少架飛機(jī)？3組導(dǎo)彈方隊(duì)一共有多少輛車？

對于12×3展示學(xué)生口算想法后，你還能用其它的方法來計(jì)算12×3嗎？在談話中，幫助學(xué)生找到新課的生長點(diǎn)，明確要解決的新問題。順應(yīng)學(xué)生的思路，喚起學(xué)生對已有知識的回憶，“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加減法和除法豎式，還沒有學(xué)過乘法豎式”，從而揭示今天的課題。在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)上，搭建一個(gè)橋梁，讓學(xué)生感受到新舊知識間密不可分。

在計(jì)算12×3時(shí)，預(yù)設(shè)學(xué)生會用連加、口算、豎式、擺小棒等多種方法來計(jì)算。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生只出現(xiàn)了口算和筆算的方法，順應(yīng)學(xué)生的思路，在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)上復(fù)習(xí)口算方法，引出乘法豎式，揭示課題。讓學(xué)生感受到新舊知識間密不可分。

充分利用學(xué)生在口算乘法中積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，自主探索筆算豎式的寫法。預(yù)設(shè)：完整的分步演算的乘法豎式;簡寫的乘法豎式?？蓪?shí)際授課中，學(xué)生只出現(xiàn)了簡寫的乘法豎式。

為了幫助學(xué)生更好地從口算向筆算方法轉(zhuǎn)化，我補(bǔ)充了完整的分步演算的乘法豎式。（預(yù)設(shè)3）

“你能找一找口算中的2×3=6，10×3=30，分別在豎式計(jì)算的什么地方？在小棒圖的什么地方嗎？”利用數(shù)形結(jié)合的思想，請學(xué)生指、圈、說溝通建立小棒圖與口筆算之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解算理，初步掌握算法。

為了幫助學(xué)生更好地從口算向筆算方法轉(zhuǎn)化，教師一邊講算理，一邊板書沿口算思路形成的豎式寫法，由此請學(xué)生對比觀察：“你認(rèn)為兩種豎式的寫法，哪種好？為什么？”學(xué)生一致認(rèn)為沿口算思路寫成的豎式特別清楚，“10×3=30，這個(gè)30怎么不見了？ ” 我把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生體會哪種豎式更為簡便。動態(tài)的課件演示：任何數(shù)和0相加還得原數(shù)。10×3=30的3可以直接寫在十位上?？谒闼悸忿D(zhuǎn)向乘法豎式的形成過程，形象地溝通了新舊知識間的聯(lián)系，有利于學(xué)生完整知識體系的建立。

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獨(dú)立完成書60頁做一做，其中包含兩三位數(shù)乘一位數(shù)的不進(jìn)位練習(xí)，思考：你是從哪一位算起的？按照什么順序算的？在理解算理的基礎(chǔ)上，明晰算法，進(jìn)一步突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

當(dāng)學(xué)生初步理解了筆算（不進(jìn)位）乘法的算理并掌握了一定的計(jì)算方法后，請學(xué)生借助剛才的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試筆算（進(jìn)位）16×3。

合理利用課堂生成的資源，先讓學(xué)生展示各自的答案（有錯、有對），再引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒的方法加以驗(yàn)證，在突破 “十位上的4是怎么來的”這一教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，先請同桌在小棒圖上找一找，說一說，再全班交流。重點(diǎn)解釋把10個(gè)一轉(zhuǎn)向十位，換來1個(gè)十。進(jìn)而說明原來的30，現(xiàn)在變成了40。教師適時(shí)板書乘法豎式的完整步驟，再將其簡化，讓學(xué)生結(jié)合小棒圖說說積每一位上的數(shù)表示的含義，進(jìn)一步理解進(jìn)位法則。

學(xué)生通過操作，將動作表征轉(zhuǎn)化為符號表征，加深對筆算進(jìn)位乘法算理的理解，掌握算法，突破教學(xué)難點(diǎn)。讓學(xué)生親歷計(jì)算方法的獲得過程，把抽象的算法和難以理解的算理直觀而具體地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用算理支撐起算法。

2.評價(jià)：討論辨析多種答案，提升認(rèn)識。

充分利用課堂生成的多種答案22、28、48、58、68等，到底哪個(gè)答案是正確的？在全班的交流、討論、辨析中，再次加深學(xué)生對進(jìn)位算理的理解，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對進(jìn)位算法的掌握。

引導(dǎo)學(xué)生思考：空中方隊(duì)和導(dǎo)彈方隊(duì)的問題在解決時(shí)有哪些地方是一樣的，有哪些地方是不同的？增強(qiáng)學(xué)生對本課重難點(diǎn)的把握，加深了對多位數(shù)乘一位數(shù)的完整認(rèn)識。

書61頁做一做1的練習(xí)，讓學(xué)生體會：進(jìn)位時(shí)滿幾十就要向前一位進(jìn)幾。辨析之后再投入練習(xí)，有效地減少了錯誤，培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真檢查的習(xí)慣，為發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力做出了有效的嘗試。

“這節(jié)課你有什么收獲？”學(xué)生們暢所欲言，從自己學(xué)習(xí)的過程進(jìn)行梳理。增強(qiáng)了學(xué)生對本節(jié)課的系統(tǒng)認(rèn)識，教師小結(jié)再次把握全課重難點(diǎn)。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生自主進(jìn)行知識建構(gòu)的過程?！八憷怼笔菍W(xué)生走向“算法”的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)“算法”的基礎(chǔ)。如果計(jì)算教學(xué)中單純地談算理的理解，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到計(jì)算教學(xué)的要求。因?yàn)椋?jì)算能力的形成是建立在熟練計(jì)算之上的，而要達(dá)成熟練的計(jì)算必然離不開計(jì)算方法的支撐。因此，本文僅以三上《筆算乘法》的教學(xué)為例引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，通過比較、分析、應(yīng)用等活動過程，使學(xué)生理解算理，掌握多數(shù)乘一位數(shù)的順序和積的書寫位置，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。以此來和大家一起明晰：計(jì)算教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，更要促進(jìn)學(xué)生對算理與算法的有效融合。當(dāng)學(xué)生積累了一定的計(jì)算方面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算方法和學(xué)習(xí)能力上質(zhì)的飛躍。