模糊粗糙集理論的簡(jiǎn)要概述

李星星

摘 ?要：在模式識(shí)別系統(tǒng)中，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，使得各個(gè)行業(yè)領(lǐng)域的信息急劇增加。鑒于信息的不確定性，這里就涉及模糊的概念。 模糊粗糙集理論作為一種處理不精確（imprecise）、不一致（inconsistent）、不完整（incomplete）等各種不完備的信息有效的工具。

關(guān)鍵詞：模式識(shí)別;模糊集;粗糙集

一、模糊粗糙集理論的引入

粗糙集理論作為一種處理不精確（imprecise）、不一致（inconsistent）、不完整（incomplete）等各種不完備的信息有效的工具，鑒于信息的不確定性，這里就涉及模糊的概念。模糊的概念來(lái)源于自然環(huán)境中各種模糊的現(xiàn)象。像“粗”與“細(xì)”二者定義，倘若得知某顆樹(shù)的直徑大約為15cm，那么很難明確其為“粗”或者“細(xì)”，因?yàn)椤按帧迸c“細(xì)”這兩個(gè)概念之間并沒(méi)有一個(gè)明確的界限，這兩個(gè)概念之間是具有模糊性的、是不精確的。

最早提出模糊性概念是在1965年，美國(guó)非常著名的控制論學(xué)者，加利福尼亞大學(xué)的L.A.扎德教授提出了模糊集（fuzzy sets）的概念以及談到了用來(lái)表示模糊性概念的隸屬函數(shù)，從此建立了模糊集理論，并探索了模糊性或者說(shuō)是不確定性等問(wèn)題的研究方法及策略，為后續(xù)模糊集理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。近幾十年以來(lái)，模糊集理論得到了飛速的發(fā)展。1982年，波蘭數(shù)學(xué)家Z. Pawlak提出了粗糙集理論思想，該理論也是作為數(shù)據(jù)分析處理的一種工具。粗糙集理論涉及大量且十分好的處理技術(shù)，深層次地應(yīng)用于信息處理、智能計(jì)算范疇。粗糙集理論主要作為一種用來(lái)處理不確定性、不一致性等一系列不完整信息而存在的有效手段，其不需要什么先驗(yàn)知識(shí)，能夠直接將它用來(lái)分析和處理數(shù)據(jù)，以至于挖掘出隱藏的知識(shí)以及潛在的規(guī)律，廣泛的應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘范疇。

二、模糊粗糙集理論概述

粗糙集理論是一種用來(lái)處理不確定性信息的強(qiáng)有力的工具，其思想主要體現(xiàn)在某一集合中一組對(duì)象之間的不可分辨性，并且該理論廣泛的應(yīng)用于屬性約簡(jiǎn)、數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)據(jù)挖掘、規(guī)則提取以及粒度計(jì)算領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)，粗糙集所涉及的對(duì)象為集合;在編程范疇內(nèi)，粗糙集所研究的對(duì)象則是一些特殊的矩陣;而在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)，粗糙集所研究的對(duì)象則是一系列的決策表。在決策表中有條件屬性（condition attribute）和決策屬性（decision attribute），這些屬性都是清晰、確定的，這些屬性所對(duì)應(yīng)的則是等價(jià)關(guān)系，在特征降維（屬性約簡(jiǎn)）過(guò)程中，樣本的屬性值必須要經(jīng)過(guò)離散化處理;然模糊集卻說(shuō)明著集合內(nèi)子類邊界的無(wú)界定性。模糊性則是精確性的一個(gè)相反的概念，在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常用模糊性的術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)自己的觀點(diǎn)以及解決一些問(wèn)題。在模糊集理論中的條件屬性（condition attribute）和決策屬性（decision attribute）均可以是模糊的，所對(duì)應(yīng)的則是相似關(guān)系，在特征降維過(guò)程中，這些屬性值并不需要離散，可以直接用來(lái)進(jìn)行后續(xù)處理。將粗糙集和模糊集兩者相結(jié)合，就有了模糊粗糙集的概念，既考慮了模糊集的粗糙近似，而且又用相似關(guān)系或者模糊劃分來(lái)得到子集的近似。模糊粗糙集模型適用于樣本關(guān)系和對(duì)象子集都是模糊近似的場(chǎng)合[1]。在模糊粗糙集模型中，我們可以用模糊等價(jià)關(guān)系（fuzzy equivalence relation）來(lái)進(jìn)行聚類分析，最終可用于判別分類。接下來(lái)給出關(guān)于模糊粗糙集的幾個(gè)重要定義：

定義1：若 為一個(gè)非空有限集合，R為 的一個(gè)二值關(guān)系矩陣，若R符合如下三個(gè)條件，即可認(rèn)為R為集合 上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。

（1）反身性：

（2）對(duì)稱性：

（3）傳遞性：

定義2：假設(shè)U是一個(gè)論域，R是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，那么U上的模糊劃分可表示為 ，其中， 是由模糊等價(jià)關(guān)系R和樣本 所誘導(dǎo)的模糊等價(jià)類別（fuzzy equivalence class）。 意味著論域U被R劃分， 則是基于模糊等價(jià)關(guān)系的模糊劃分。

這與經(jīng)典的Pawlak粗糙集模型不同。經(jīng)典的Pawlak粗糙集模型中的等價(jià)關(guān)系則為易脆的等價(jià)關(guān)系（crisp equivalence relation），詳細(xì)的情況見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]。

三、模糊粗糙集理論的主要研究方向

目前，模糊粗糙集理論的研究方向主要是三個(gè)方面：

理論上，①利用抽象代數(shù)來(lái)研究粗糙集代數(shù)空間這種特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)。②利用拓?fù)鋵W(xué)描述粗糙空間。③還有就是研究粗糙集理論和其他軟計(jì)算方法或者人工智能的方法相接合，例如和模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)、遺傳算法等。④針對(duì)經(jīng)典粗糙集理論框架的局限性，拓寬粗糙集理論的框架，將建立在等價(jià)關(guān)系的經(jīng)典粗糙集理論拓展到相似關(guān)系甚至一般關(guān)系上的粗糙集理論。

應(yīng)用上，模糊粗糙集理論在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，①臨床醫(yī)療診斷;②電力系統(tǒng)和其他工業(yè)過(guò)程故障診斷;③預(yù)測(cè)與控制;④模式識(shí)別與分類;⑤機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘;⑥圖像處理;⑦其他。

算法上，一方面研究了模糊粗糙集理論屬性約簡(jiǎn)算法和規(guī)則提取啟發(fā)式算法，例如基于屬性重要性、基于信息度量的啟發(fā)式算法，另一方面研究和其他智能算法的結(jié)合，是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn)之一。

參考文獻(xiàn)

[1] ?Wang C，Qi Y，Shao M，et al. A Fitting Model for Feature Selection With Fuzzy Rough Sets[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2017，25（4）：741-753.

[2] ?Dubois D，Prade H. ROUGH FUZZY SETS AND FUZZY ROUGH SETS*[J]. International Journal of General Systems，1990，17（2-3）：191-209.