例談二次函數(shù)在高中階段的價(jià)值

范寶銳

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，函數(shù)的思想方法也廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過(guò)程，函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都密切相關(guān)，而二次函數(shù)的內(nèi)容涉及廣泛，更是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)，但在初中教材中降低了二次函數(shù)的難度，削減其地位，給高中的教學(xué)帶來(lái)了障礙。因此，很有必要厘清二次函數(shù)在高中階段的價(jià)值，以期引起師生們的足夠重視。

一、巧借二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式

對(duì)于一元二次不等式，不能像一元一次不等式那樣求解，學(xué)生剛開(kāi)始接觸到這樣的知識(shí)他們會(huì)很迷惘的。但如果我們先讓他們求解一元二次方程，他們很快能求出。因?yàn)閷?duì)一元二次方程的求解，學(xué)生在初中做了大量的練習(xí)，比較熟悉。二次函數(shù)f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+ bx+c=0的聯(lián)系可以通過(guò)觀察二次函數(shù)圖像找到。如：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答：

①當(dāng)x取值范圍為_(kāi)___________時(shí)，y>0；

②當(dāng)x的取值范圍為_(kāi)________=-___時(shí)，y<0；

③方程ax2+bx+c=0的解為_(kāi)_____________；

④一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為_(kāi)_________；

⑤一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集_______________。

二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系非常密切，借助二次函數(shù)的圖象可以很清晰地了解三者的關(guān)系。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解一元二次不等式是常用的技巧。

二、結(jié)合二次函數(shù)圖象求解數(shù)列問(wèn)題

在公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還要從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)公式 ，公式Sn=na1+從函數(shù)的角度看是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，同時(shí)也可以看出點(diǎn)列（n，Sn）均在同一條拋物線上，且此拋物線過(guò)原點(diǎn)。

有這樣一道高考題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，指出S1，S2，S3，……，S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由. 解答的過(guò)程是運(yùn)用二次函數(shù)的圖像分析對(duì)稱軸所在區(qū)間確定答案。由于Sn=na1+

表明點(diǎn)列（n，Sn）都在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，再由S12>0，S13<0，易知此等差數(shù)列公差d<0，且a1>0圖象如圖所示，易知其對(duì)稱軸為 于是，a6>0，a7<0，故最大S6.可見(jiàn)，結(jié)合二次函數(shù)可快速解決一些數(shù)列問(wèn)題。

三、借力二次函數(shù)求解復(fù)合函數(shù)的最值

一些與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值的求解，往往要用到二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解。如：

顯然可設(shè)

歸納：第一，看到形如y=asin2x+bsinx+c

（a≠0）的函數(shù)要聯(lián)想到二次函數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)。第二，換元時(shí)一定要注意新“元”的范圍，要注意命題的等價(jià)性。

四、運(yùn)用二次函數(shù)解決導(dǎo)函數(shù)的問(wèn)題

三次函數(shù)是一類比較簡(jiǎn)單的高次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，這類問(wèn)題的難點(diǎn)是研究其中的參數(shù)取值范圍。破解難點(diǎn)的方法是對(duì)三次函數(shù)求導(dǎo)后，化歸成二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布情況來(lái)求解，或利用數(shù)形結(jié)合思想畫出函數(shù)的草圖，找出極大值、極小值進(jìn)行對(duì)比分析，求出參數(shù)的取值范圍。解三次函數(shù)的問(wèn)題，可借助導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行研究，推進(jìn)二次函數(shù)性質(zhì)的深化與二次函數(shù)應(yīng)用方法的研究。

有這樣一道高考題：設(shè)函數(shù)f（x）=x3-

+6x-a.（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.

解：（1） ，

因?yàn)?， ，

即 恒成立，

所以 ，得 ，

即 的最大值為

（2） 因?yàn)?當(dāng)x<0時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)1

當(dāng)時(shí)x>2， ；

所以當(dāng)x=1時(shí)， 取極大值 ；

當(dāng)x=2時(shí)， 取極小值 ；

故當(dāng)f（2）>0或f（1）<1時(shí)， 方程 僅有一個(gè)實(shí)根。

解得 a<2或

歸納：討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論。討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬(wàn)不要忽視了定義域的限制。

綜上可見(jiàn)，二次函數(shù)有其豐富的內(nèi)涵和外延，作為最基本的冪函數(shù)，我們可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出許多靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合素質(zhì)，特別是能從解答中區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。所以，無(wú)論是老師還是學(xué)生都要高度重視，真正去領(lǐng)略二次函數(shù)的價(jià)值，發(fā)揮其價(jià)值。

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