指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

摘要：整體性、結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性。用整體建構(gòu)的理念指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，創(chuàng)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)課堂，引領(lǐng)學(xué)生在完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)感受、發(fā)展思維素養(yǎng)的過程中，逐步地從自主走向自為，符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，符合兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，符合信息時代素養(yǎng)教育的大方向。

關(guān)鍵詞：整體建構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)化思維發(fā)展

本文為江蘇省2017年基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實驗項目“著力思維素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”、全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃教育部重點課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”（編號：DHA90453）的研究成果。

一

關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性，有不少經(jīng)典論述。瑞士兒童心理學(xué)家皮亞杰早在其1968年出版的《結(jié)構(gòu)主義》一書中就指出：“如果不從檢驗數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)開始，就不可能對結(jié)構(gòu)主義進行批判性的陳述?！瓗缀踉谒械臄?shù)學(xué)領(lǐng)域里，并且在邏輯學(xué)里，我們都發(fā)現(xiàn)了群結(jié)構(gòu)?！盵瑞士]皮亞杰.結(jié)構(gòu)主義[M].倪連生，王琳，譯.北京：商務(wù)印書館，2017：17。美國著名代數(shù)學(xué)家阿爾貝特說：“數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)。當(dāng)直覺和未經(jīng)分析的經(jīng)驗表明在許多不同的背景下存在著共同的結(jié)構(gòu)特征時，數(shù)學(xué)就有了任務(wù)，這就是以精確的和客觀的形式系統(tǒng)地闡明基本的結(jié)構(gòu)特征?！痹凇缎聰?shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中，鄭毓信教授強調(diào)：“數(shù)學(xué)對象的建構(gòu)事實上是一種整體性的建構(gòu)活動?；蛘哒f，數(shù)學(xué)的對象并非各個孤立的模式，而是整體性的 ‘建構(gòu)’。”鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015：5，34?？梢姡?整體性、結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科鮮明的本質(zhì)特性。

順應(yīng)這種特性，數(shù)學(xué)教學(xué)也把“整體”“結(jié)構(gòu)”等作為重要的研究方向。美國教育學(xué)家、心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“學(xué)生對所學(xué)材料的接受，必然是有限的。怎么能使這種（有限的）接受在他們以后一生的思想中有價值？對這個問題的回答是：不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！莆諏W(xué)科的結(jié)構(gòu)以理解這個學(xué)科，可以使許多其他的東西與該學(xué)科有意義地聯(lián)系起來。簡而言之，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的?！盵美]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1960：7?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程設(shè)計思路中明確要求：“為了體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的整體性，本標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)籌考慮九年的課程內(nèi)容”“充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì)?！敝腥A人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：4。課程標(biāo)準(zhǔn)研制專家組在解讀課程標(biāo)準(zhǔn)時也提及：“我們的課程應(yīng)當(dāng)使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所具有的‘整體性’——數(shù)學(xué)是統(tǒng)一的，許多不同內(nèi)容之間存在著實質(zhì)的聯(lián)系，包括內(nèi)涵與方法。這樣的感受有助于學(xué)生正確地認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值、理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，發(fā)展自身的認(rèn)識能力。”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：312。

在這種方向的指引下，指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究備受關(guān)注。馬立平博士在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書中，系統(tǒng)論述了“知識包”“概念結(jié)”的重要價值：“在教一個知識點的時候，應(yīng)該把知識看作一個包，而且要知道當(dāng)前的知識在知識包中的作用。你還要知道你所教的這個知識受到哪些概念或過程的支持，所以你的教學(xué)要依賴于、強化并詳細描述這些概念的學(xué)習(xí)。當(dāng)教那些將會支持其他過程的重要概念的時候，你應(yīng)該特別花力氣以確保你的學(xué)生能很好地理解這些概念，并能熟練地執(zhí)行這些過程?！瘪R立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011：17。她通過比較中美兩國數(shù)學(xué)教師的教學(xué)案例，特別提出：知識“打包”的正確方式不是固定的、嚴(yán)格唯一的。不同的教師，在不同的背景之下，或同樣的教師對不同的學(xué)生，都可能以不同的方式將知識“打包”。張衛(wèi)娥老師針對“數(shù)學(xué)教材文本表達的局限性，許多數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系被隱藏、懸置、遮蔽起來，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知被肢解、思維被固化、創(chuàng)造被弱化”等現(xiàn)實，指出：“知識體系”整體大于“知識體系”各部分之和，數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的“高觀點”、學(xué)習(xí)的“長任務(wù)”、教學(xué)的“大問題”來將數(shù)學(xué)知識中相同或相似乃至相對、相反的意義模塊進行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識成為更具生長力的結(jié)構(gòu)體。張衛(wèi)娥.整體教學(xué)：兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的智性建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（28）：28。董文彬老師針對“開學(xué)第一課”提出教學(xué)建議：讓學(xué)生綜觀全冊教材，從整體上認(rèn)識本學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容梗概;要在統(tǒng)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生把握知識結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，立足發(fā)展兒童的整體思維，進而讓兒童在課堂上成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的先行組織者。董文彬.整體統(tǒng)合建構(gòu)，培育數(shù)學(xué)情懷——讓兒童成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的先行組織者[J].江蘇教育研究，2017（25）：22。特級教師莊惠芬進一步拓展視野，著眼兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個關(guān)鍵期：第一個是“心理敏感期”，即幼兒園與小學(xué)銜接的學(xué)習(xí)關(guān)鍵期;第二個是“成長馬鞍期”，即小學(xué)三、四年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵期;第三個是“學(xué)習(xí)斷層期”，即小學(xué)與初中銜接的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵期，確立整體學(xué)習(xí)的教育思想，樹立兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體觀念。莊惠芬.把握學(xué)習(xí)關(guān)鍵期，整體建構(gòu)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].江蘇教育研究，2016（32）：7。特級教師張宏偉則提出了“全景式”數(shù)學(xué)教育主張，從內(nèi)容全景、現(xiàn)實全景、方式全景、思維全景、歷史文化全景、目標(biāo)和評價全景六個方面，把培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)所必需的各方面內(nèi)容融合到合適的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，嘗試構(gòu)建一種“大數(shù)學(xué)教育”，努力實現(xiàn)由“教孩子數(shù)學(xué)”向“用數(shù)學(xué)教育孩子”的真正轉(zhuǎn)變，具有一定的開創(chuàng)性。詳見張宏偉在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2016年第9期、第10期上關(guān)于“全景式”數(shù)學(xué)教育的連載文章。

上述研究，對豐富小學(xué)數(shù)學(xué)“整體建構(gòu)”教學(xué)實踐提供了寶貴經(jīng)驗。

二

指向整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)，簡單地講，就是基于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在系統(tǒng)關(guān)聯(lián)，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，發(fā)展思維能力，培育思維素養(yǎng)，進而更好地理解數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，輕松地學(xué)好數(shù)學(xué)。實施這樣的教學(xué)，需要把握三個要點。

（一）知識系統(tǒng)化

數(shù)學(xué)知識具有很強的內(nèi)在邏輯，是整體的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)的。而教材所遵循的“螺旋上升”的編排原則，在順應(yīng)了兒童認(rèn)知規(guī)律的同時，也在一定程度上削減和遮蔽了數(shù)學(xué)知識的整體性和結(jié)構(gòu)性，加上分學(xué)段、年級、學(xué)期、課時組織教學(xué)，很容易導(dǎo)致“只見樹木不見森林”的教學(xué)問題。

要實現(xiàn)知識系統(tǒng)化，首先要對教材進行知識體系梳理。這一點看起來似乎并不難，因為在配套的教學(xué)指導(dǎo)用書中，都有本套教材知識體系表，按照領(lǐng)域、年級、學(xué)期（上下冊）列舉出所學(xué)知識點（稍顯不足的是，小學(xué)數(shù)學(xué)教師只看到小學(xué)教材的知識體系，初中數(shù)學(xué)教師只看到初中教材的知識體系，難以掌握整個義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的全貌）。當(dāng)然，上述學(xué)習(xí)內(nèi)容體系也只是一種簡單的羅列，雖然有年級序列，但彼此之間的關(guān)聯(lián)性并不緊密，特別是數(shù)學(xué)思想方法、內(nèi)隱性的思維邏輯層面的關(guān)聯(lián)非常少，呈現(xiàn)出比較明顯的“點狀”特征。可見，梳理知識體系，更為重要的是發(fā)現(xiàn)并揭示其中內(nèi)在的邏輯與關(guān)聯(lián)。比如，小學(xué)生初步認(rèn)識“可能性”，不少教師都把重點落在用“可能”“不可能”“一定”來描述事情發(fā)生的情況，結(jié)果一節(jié)課下來，學(xué)生雖然會做題了，但對可能性的理解還是模糊不清。事實上，“可能”“不可能”“一定”這三個詞語中，“不可能”“一定”都屬于對確定事件的描述，“可能”用于隨機事件（不確定事件）的描述，它們之間的邏輯關(guān)聯(lián)如圖1所示。教學(xué)時如果只是抓住這三個詞，而不是將其置于整個知識系統(tǒng)中，并做系統(tǒng)的呈現(xiàn)（類似圖1這樣去板書），學(xué)生的理解勢必會“散點化”“割裂化”。

那么，如何才能有這樣的系統(tǒng)認(rèn)識呢？筆者以為教師除了要通過專業(yè)理論學(xué)習(xí)補上本體性知識缺乏這一短板，還要“往上看一看”——對初中教材中的相關(guān)內(nèi)容做深入的了解。比如，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊《認(rèn)識概率》單元，在學(xué)習(xí)“可能性的大小”之前，安排了“確定事件與隨機事件”的學(xué)習(xí)：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件（impossible event）?！谝欢l件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件（certain event）。必然事件和不可能事件都是確定事件。

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情就是隨機事件（random event）。這個案例表明，知識系統(tǒng)化的關(guān)鍵在于把知識點“連成線”“組成面”“構(gòu)架體”（上頁圖1中的7個箭頭，很好地將“可能性”的相關(guān)知識做了結(jié)構(gòu)化的表達）。

當(dāng)然，從純數(shù)學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)知識之間有一套比較嚴(yán)格的邏輯系統(tǒng)。而從學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)知識之間的邏輯系統(tǒng)又存在多樣性、開放性。比如，現(xiàn)行的幾種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有的是先學(xué)分?jǐn)?shù)，再學(xué)小數(shù)，即小數(shù)學(xué)習(xí)建立在分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)之上;有的則先學(xué)小數(shù)，再學(xué)分?jǐn)?shù)，小數(shù)學(xué)習(xí)并不與分?jǐn)?shù)直接發(fā)生聯(lián)系（當(dāng)然，后續(xù)學(xué)習(xí)中還是要發(fā)生聯(lián)系的）。又如，教學(xué)分?jǐn)?shù)，有的教師是從整數(shù)除法入手：6÷2=3，2÷2=1，1÷2沒法除了，怎么辦？有的教師是從“份數(shù)”入手：1個蛋糕，平均分成2份，每份是多少呢？還有的教師則是從整數(shù)入手：3個餅，吃掉1個，剩下2個;再吃掉1個，剩下1個;又吃掉1個，沒有了（0個）。人吃餅的時候，是不是一口一個呢？有沒有比0多、又不足1個的情況？這些不足1個的“零頭”，怎么用數(shù)來表示呢？于是，分?jǐn)?shù)就“嵌入”到0、1、2、3……的整數(shù)體系中。

值得注意的是，對知識系統(tǒng)性的理解，不能局限在純數(shù)學(xué)概念層面。多一些視角，可以在更高層面上建構(gòu)知識系統(tǒng)。比如，關(guān)于加法的學(xué)習(xí)：一年級學(xué)習(xí)“9+4”，核心算法是“湊十法”，學(xué)會了“湊十”，就可以遷移運用到“8+4”“7+4”等進位加法;二年級學(xué)習(xí)兩位數(shù)加法，“58”跟哪個數(shù)相加最好呢？自然是“42”，因為58+42=100，核心算法是“湊百”;再往后，還會碰到“湊千”（如723+277）、“湊一”（如0.75+0.25），等等。從算法的角度看，“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”都是不同的方法，但就其本質(zhì)而言，都是“湊整”。顯然，“湊整”是一種更加上位、更具統(tǒng)攝性、更有擴展性的數(shù)學(xué)思維，用“湊整”來統(tǒng)攝“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”等的學(xué)習(xí)，零散的知識就被“拎”起來了，課堂就具有了長程眼光和穿透力，一節(jié)課便上出了幾年的跨度。

基于上述思考，我們嘗試性地創(chuàng)建小學(xué)六個年級12冊教材的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)全景圖，力求尋找不同領(lǐng)域、年段、年級、分冊各知識內(nèi)容的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，除了呈現(xiàn)每個知識內(nèi)容的年級分布（從左向右，以色塊區(qū)分）和所屬領(lǐng)域、板塊，更重要的是通過不同虛實粗細的線條、箭頭、注解、圖標(biāo)等揭示其內(nèi)在關(guān)聯(lián)。比如，“圖形與幾何”領(lǐng)域的“長方形和正方形的周長”與“長度計量”相連接，而“長度計量”又與“整數(shù)認(rèn)數(shù)”中的“十進制”連接;“長方形和正方形的面積”與“面積計量”相連接，“面積計量”又和“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“乘法”連接。而無論是長度計量，還是面積計量，或是體積計量、角度計量、時間計量……所有的計量方法都是相通的，那就是“計量”板塊橫線上寫的9個字：定標(biāo)準(zhǔn)、去測量、得結(jié)果。又如，小學(xué)各年級都涉及“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域內(nèi)容的學(xué)習(xí)，包括統(tǒng)計方法、統(tǒng)計圖表、統(tǒng)計分析等，總共編排了10個單元、20多個例題、50多個課時，但是，“統(tǒng)計與概率”的核心歸根結(jié)底就是一句話：用數(shù)據(jù)來“說話”（通過數(shù)據(jù)的研究來解決實際問題）。各年級所學(xué)內(nèi)容，無非是這一核心的具體分解——數(shù)據(jù)的搜集、整理、描述與應(yīng)用。這樣的全景圖，有“寬度”，有“深度”，也有“貫通度”，可以用8個字來概括：“一體”（六個年級12冊合為一體），“二核”（數(shù)與形）、“三主”（認(rèn)數(shù)主線、圖形主線、統(tǒng)計主線）、“四附”（代數(shù)初步、問題解決、量與計量、探索規(guī)律）。

總之，知識系統(tǒng)化的核心是整體與關(guān)聯(lián)?；诓煌暯?、不同理解的整體與關(guān)聯(lián)，會讓數(shù)學(xué)的世界變得更加美妙，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來無限的創(chuàng)造空間。

（二）教學(xué)結(jié)構(gòu)化

教學(xué)結(jié)構(gòu)化（或結(jié)構(gòu)化教學(xué)），其關(guān)鍵是將“結(jié)構(gòu)化”的理念融入教學(xué)活動之中，“充分依據(jù)結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)、拓展結(jié)構(gòu)，發(fā)展結(jié)構(gòu)思維，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)”許衛(wèi)兵.結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)：回歸“本原”的課堂實踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（21）：64。;要“遵循數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯機理，通過結(jié)構(gòu)化的長程設(shè)計、模塊式的意義重構(gòu)、遞進式的教學(xué)推進，幫助學(xué)生建立清晰的知識結(jié)構(gòu)以及獲得知識的方法結(jié)構(gòu)，使原本鑲嵌在教材豐富背景下的散點知識凸顯出來，進而以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型保存在學(xué)生的大腦皮層，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中便捷、有效地提取與轉(zhuǎn)化”王冬娟.“結(jié)構(gòu)教學(xué)”的內(nèi)涵、價值和基本原則[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（8）：22。。

1.系統(tǒng)化的知識，需要有結(jié)構(gòu)化的表達。

所謂“結(jié)構(gòu)”，《現(xiàn)代漢語詞典》（第7版）的解釋是“各個組成部分的搭配和排列”。筆者以為，它包含三個關(guān)鍵要素：元素、關(guān)聯(lián)、整體。以一年級“認(rèn)識人民幣”為例，元素就是人民幣的三個單位“元”“角”“分”，關(guān)聯(lián)就是三個單位之間的三組關(guān)系——元與角、角與分、元與分的進率，整體就是元素及關(guān)聯(lián)所構(gòu)架出的全貌。圖2所示的兩種形式的課堂板書，對上述三個方面都有所表達。但稍做比較便可發(fā)現(xiàn)，右邊的板書結(jié)構(gòu)感更強一些，內(nèi)涵也更豐富一些，它不僅改變了左邊板書中元素和關(guān)聯(lián)的“散點”狀態(tài)，而且把元、角、分的進率所表示的雙向關(guān)系表達得清楚明白。理論上，“=”也表示雙向關(guān)系，但對于一年級學(xué)生而言，從“1元=10角”建立“10角=1元”的認(rèn)識并不容易——而三個雙向箭頭，便把這層含義形象地表達了出來。不僅如此，上面兩個10，下面一個100，給學(xué)生以強烈的視覺沖擊，把三組關(guān)系有機統(tǒng)一，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性（“10個10”就是100），這對后續(xù)長度、質(zhì)量、面積、體積等計量單位的學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)梳理都有很好的啟示作用。

由此可見，在關(guān)注元素和關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，多用箭頭符號來標(biāo)注聯(lián)系，不失為教學(xué)中體現(xiàn)整體性、結(jié)構(gòu)性的好辦法。不過，這種板書變換還只是把同樣的內(nèi)容做了不同形式的改造，而上文中提到的“可能性”的板書則更具創(chuàng)造性，它突破和超越了教材編排的文本內(nèi)容，實現(xiàn)了更為宏觀的整體建構(gòu)。當(dāng)然，上述板書中的單箭頭，也都具有雙箭頭的含義（或者不畫箭頭只是以弧線來連接，同樣表達彼此間雙向關(guān)聯(lián)）。需要補充說明的是，“隨機事件”和“確定事件”之間用虛線連接，意在表達二者之間看似不同，但在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的（比如，把硬幣的反面也做成正面的圖案，把“三色轉(zhuǎn)盤”變成“單色轉(zhuǎn)盤”，就是把隨機事件變成了確定事件;反之亦然），“不可能”下面的虛線箭頭，意在與“可能”情況加以區(qū)分，一實一虛，一顯一隱，相依并存，給學(xué)生以辯證思維的啟迪。更為重要的是，這個板書可以一直用到初中、高中、大學(xué)里“概率”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)：“一定”事件的可能性就是1，“不可能”事件的可能性為0，隨機事件的可能性在0-1之間;確定事件可以看成是隨機事件的極端情況，某個隨機事件發(fā)生的可能性大小是由“等可能情況”與所有“發(fā)生情況”的占比決定的……這進一步說明，基于整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)是可以實現(xiàn)“一節(jié)課上出幾年的跨度”效果的。

教學(xué)四年級“周期規(guī)律”，不少教師上課時黑板上幾乎是空白的，原因就是除了寫上解決問題時的幾道算式，實在不知道寫什么。圖3是我們的課堂板書。稍加分析可以看出，這個板書除了列舉出知識層面的周期特征（每幾個一組、按順序排列、重復(fù)出現(xiàn)）、找周期的方法要點（圈一圈、至少看兩組等）、如何應(yīng)用周期解決實際問題（確定任意一組、確定任意一個、確定計算總數(shù)等），還用概念學(xué)習(xí)的三大“追問”（是什么、從哪里來、到哪里去）來統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)過程。最后的“已知→未知”“有限→無限”是對“周期規(guī)律”學(xué)習(xí)意義的概括，既不是知識，也不是方法，而是思維的引導(dǎo)、思想的升華。

板書看課堂。眼界決定境界，思想決定高度！以結(jié)構(gòu)化的方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材、思路、思考、體會、發(fā)現(xiàn)……課堂教學(xué)自然就會八面來風(fēng)，風(fēng)景獨好。

2.重視“經(jīng)驗的改組或改造”，促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)化。

促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)化是教學(xué)結(jié)構(gòu)化的關(guān)鍵要義。杜威認(rèn)為，教育就是經(jīng)驗的改組或改造。既然是“改組或改造”，就需要關(guān)注基礎(chǔ)，重視過程，著重變化，在動態(tài)中發(fā)展，在發(fā)展中生長。這種并不算新鮮的理論，一旦與結(jié)構(gòu)化教學(xué)實踐相結(jié)合，就會有蓬勃的生機，綻放出千姿百態(tài)。

比如，三年級學(xué)習(xí)“年、月、日”，是在二年級學(xué)習(xí)“時、分、秒”之后第二次學(xué)習(xí)時間單位。以下教學(xué)流程，比較好地體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的特點（其間的板書演變?nèi)鐖D4）：

（1）從交流“記憶中不同尋常的日子”開始，引出“年”“月”“日”三個時間單位。回憶過去學(xué)習(xí)時間單位“時”“分”“秒”的經(jīng)驗，提煉出“關(guān)系”和“時長”這兩個關(guān)鍵點。

（2）聯(lián)系先前的學(xué)習(xí)，思考可以從哪些方面來研究年、月、日。然后結(jié)合生活經(jīng)驗、合作探究，揭示相互間的關(guān)系（如31、30、29、28，24，12，365、366等），再說一說從什么時候到什么時候，經(jīng)過的時間就是“1年”“1月”“1日”。

（3）將時間單位與已經(jīng)學(xué)過的人民幣單位、長度單位、質(zhì)量單位等相比，進行總結(jié)提升，完善結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)和感悟：在各種計量單位系統(tǒng)中，時間單位之間的關(guān)系是最復(fù)雜的，原因是它與大自然、歷法等眾多因素有關(guān);雖然它們之間很不同，但又是相通的——任何計量單位的學(xué)習(xí)都要研究各單位的“大小”（量值）和彼此間的“關(guān)系”（進率）。

這樣教學(xué)，融學(xué)生日常的生活經(jīng)驗、已有的認(rèn)知基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)等為一體，基于生活又超越生活，基于知識又超越知識，利用整體建構(gòu)帶動學(xué)生的思維發(fā)展。認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，經(jīng)驗的改組或改造具有多種形態(tài)，同化、順應(yīng)或二者并存都是可能的;同樣，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有多種形態(tài)（“個體差別”），認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的途徑和方式也應(yīng)該有多種，由此，教學(xué)就有了豐富多樣性。

3.合“縱”連“橫”，理順教學(xué)結(jié)構(gòu)。

落實教學(xué)結(jié)構(gòu)化，離不開建構(gòu)清晰完整的教學(xué)結(jié)構(gòu)（或課堂結(jié)構(gòu)）。

依據(jù)時間的一維性，人們習(xí)慣于按照線性結(jié)構(gòu)來組織教學(xué)。傳統(tǒng)的“五步教學(xué)法”（復(fù)習(xí)鋪墊—引入新課—習(xí)得新知—總結(jié)概括—鞏固提升），就是時間進程與認(rèn)知過程相結(jié)合的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)類型。雖然這種結(jié)構(gòu)類型至今仍十分常見，但隨著信息時代的到來，素養(yǎng)為本、能力為重的教育呼聲變高，這種教學(xué)結(jié)構(gòu)的弊端也愈發(fā)顯現(xiàn)。我們曾嘗試進行“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—產(chǎn)生新問題”的“新五步教學(xué)法”探索，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、析疑、解疑、生疑的螺旋發(fā)展鏈條中完成學(xué)習(xí)任務(wù)。我們也曾以數(shù)學(xué)思想方法為軸心，倡導(dǎo)低年級課堂向高年級穿越，高年級課堂從低年級的學(xué)習(xí)起點開始，實現(xiàn)一節(jié)課上出“六年的跨度”（甚至衍發(fā)更長遠的影響力）。這些探索都取得了比較好的效果。

好的教學(xué)結(jié)構(gòu)，要層次清晰、目標(biāo)明確、邏輯嚴(yán)密。同一類知識的教學(xué)，一般有著類似的推進過程。例如，探索規(guī)律的教學(xué)一般按照“發(fā)現(xiàn)猜想—驗證猜想—歸納概括—反思完善”的過程，認(rèn)數(shù)教學(xué)一般按照“材料感知—認(rèn)識新數(shù)—鞏固新數(shù)—運用新數(shù)”的過程，運算教學(xué)則一般按照“提出問題—探索算法—理解算理—歸納法則—內(nèi)化算法”的過程。認(rèn)識到這種過程性結(jié)構(gòu)的存在，就可以從起始內(nèi)容的教學(xué)開始，不斷地提煉、比較、呼應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生主動遷移和應(yīng)用這一過程結(jié)構(gòu)，并在自主學(xué)習(xí)的過程中轉(zhuǎn)化為有效的學(xué)習(xí)策略。王冬娟.“結(jié)構(gòu)教學(xué)”的內(nèi)涵、價值和基本原則[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（8）：22。

好的教學(xué)結(jié)構(gòu)，要貼近學(xué)生，激活思維，促進發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本價值在于不斷地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)感受、發(fā)展思維能力。比如，三年級“間隔排列”的教學(xué)，重點是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度探索并發(fā)現(xiàn)“一一間隔排列”現(xiàn)象中蘊含的簡單數(shù)學(xué)規(guī)律，可用整體建構(gòu)的觀點，設(shè)計如下三個教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）借助擺兩種不同顏色圓片的活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一一間隔排列”有“兩端不同”和“兩端相同”兩種情況;（2）分類研究這兩種情況，得出結(jié)論：兩端不同時，兩種物體數(shù)量相等;兩端相同時，兩種物體數(shù)量相差1——尋找數(shù)量之間的特征，都可以用“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想方法;（3）通過增加或減少圓片，將“兩端相同”變成“兩端不同”，讓學(xué)生直觀感知這兩種情況在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)換的，從而打通二者的聯(lián)系，滲透辯證統(tǒng)一觀念。三個環(huán)節(jié)，通過“經(jīng)過剛才的探索，你發(fā)現(xiàn)了什么？”“經(jīng)過剛才的探索，你又發(fā)現(xiàn)了什么？”“經(jīng)過剛才的探索，你還發(fā)現(xiàn)了什么？”這三次追問，進一步強化“一一間隔排列”的類型、數(shù)量特征、數(shù)量關(guān)系背后的數(shù)學(xué)思想以及兩種類型之間的辯證統(tǒng)一，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷“爬坡”。

總之，教學(xué)過程既是數(shù)學(xué)知識從少到多，從簡單到復(fù)雜，從單一到組合的橫向拓展過程，又是數(shù)學(xué)思考從現(xiàn)象到本質(zhì)，從分離到整合，從直覺感受到深刻領(lǐng)悟的縱向提升過程。合“縱”連“橫”，課堂方能“向四面八方打開”。

（三）思維“自能化”

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中切身體會思維的力量，并最終成為“思維的主人”。那么，思維發(fā)展最理想的狀態(tài)是什么？或者說，思維發(fā)展到“登峰造極”的表現(xiàn)是什么？我以為，就是形成思維習(xí)慣，即未經(jīng)任何提示，自然而然流露出來的、具有自覺、能動特征的思維能力?！皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留在思維方式方法的簡單使用上，而要突出學(xué)習(xí)者的主體自覺、自發(fā)、自為（自動而為），增強對更加上位、更加統(tǒng)整、更具‘超能’的較高水平的思維品性、思維品質(zhì)、思維品格的培養(yǎng)?！痹S衛(wèi)兵.以思維為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)導(dǎo)向——基于課堂教學(xué)的視角[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2017（1）：12。這樣的思維發(fā)展佳境，不妨稱之為“自能化”。

思維的“自能化”并不是通過幾節(jié)課、一兩個學(xué)期、一兩年就能“修煉”成的，而是一個長期累積進而逐漸從量變到質(zhì)變的過程。從日常教學(xué)的角度來看，要邁向這樣的目標(biāo)，需要把握以下四個要點：

一是“看得見”，即多用直觀的方式呈現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)。直觀性——這是年齡較小的學(xué)生的腦力勞動的一條普遍原則。唐·季·烏申斯基曾寫道：“兒童是‘用形式、聲音、色彩和感覺’思維的。”[蘇聯(lián)]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M]. 杜殿坤，編譯.北京：教育科學(xué)出版社，2011：85。上文提到的“板書看課堂”，實質(zhì)上就是借助于板書的視覺效應(yīng)，增強學(xué)生對結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的敏感性，進而帶動思維向更高層面發(fā)展。與傳統(tǒng)教學(xué)相比，這樣的板書，除了呈現(xiàn)知識要點外，還要適當(dāng)提煉出蘊含的數(shù)學(xué)思想方法等;除了盡可能讓學(xué)習(xí)過程“留痕”，更要突出關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)整體感。當(dāng)然，直觀的方式是豐富多樣的，生動的故事情境、形象的圖形畫面、動態(tài)的視頻錄像、自主的操作活動是直觀的;為解釋說明所學(xué)所得而舉一個生活事例，打一個比方，做一番演示，繪制一張圖表等，也是直觀。此外，我們要牢記：直觀性的目的絕不是為了整節(jié)課抓住學(xué)生的注意力不放，而是為了在教學(xué)的某一個階段上使學(xué)生擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規(guī)律性上去。

二是“說得清”，即能用語言（也包括圖解、符號、文字、演示等）將學(xué)習(xí)和思考表達出來，進行“數(shù)學(xué)化表達”。表達的過程，是對自己的思考再一次審視、修正、完善的過程，也是互相接納、取長補短的過程。比如，在學(xué)習(xí)“1千米=1000米”時，有學(xué)生認(rèn)為，“千米”中有一個“千”字，所有1千米=1000米;而有學(xué)生認(rèn)為，從已經(jīng)學(xué)過的4個長度單位“毫米、厘米、分米、米”相鄰兩個長度單位之間的進率都是10來看，“千米”和“米”之間可能還有其他的長度單位（“十米”“百米”，課本中沒有這兩個長度單位）。兩種想法都基于某種理由，但相互比較后，學(xué)生感覺后者的理由更加充分，邏輯層次水平更高，于是，從“毫米”到“千米”之間的十進制的長度單位體系就建立了。值得一提的是，在教學(xué)時出現(xiàn)“十米”和“百米”，并不表示要求學(xué)生掌握和應(yīng)用它們，其意義在于：借助它們，可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性。

三是“理得順”，即能將多個元素、多種關(guān)系之間的邏輯關(guān)聯(lián)理順暢，避免出現(xiàn)錯位、錯亂和錯誤（比如，把“一定”“可能”“不可能”看成是并列存在的三種事件）。當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)具有多樣性，這里的“順”在很大程度上是基于學(xué)生、基于教材、基于課堂、基于數(shù)學(xué)的。比如，低年級剛開始學(xué)習(xí)長方形和正方形，為了讓學(xué)生更好地掌握這兩種圖形的特征，有必要將其視為兩種不同的圖形。但是，隨著知識量的增加和思維發(fā)展水平的提升，則需要逐步建立“正方形就是特殊的長方形”的認(rèn)識，二者之間的關(guān)系也從“并列”關(guān)系轉(zhuǎn)為包含關(guān)系。再如，在小學(xué)階段，加法和減法是“水火不相容”的兩種運算方法，但是，初中學(xué)完有理數(shù)減法（減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)）后，減法就可以視為一種特殊的加法了。此外，對一個內(nèi)容的學(xué)習(xí)，除了知識獲得，還有過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的目標(biāo)，知識維度、方法維度、思想維度等往往是交織在一起的。如何在更寬的視野、更高的水平上幫助學(xué)生理順關(guān)系，則需要教師有更深厚的素養(yǎng)和更高超的教學(xué)智慧。

四是“悟得透”，即讓學(xué)生在感悟中慢慢懂得數(shù)學(xué)是怎么回事、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是怎么回事，進而能輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，乃至于整個人成了“數(shù)學(xué)”。為此，課堂上要多花時間讓學(xué)生進行深層次的思考與交流，在反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，走向?qū)W習(xí)的自由王國。圖5是“探索規(guī)律——和與積的奇偶性”的教學(xué)板書，板貼卡片上的內(nèi)容是揭示“和與積的奇偶性”的規(guī)律，十幾個箭頭則表達出各個規(guī)律之間的關(guān)聯(lián)。

來看看學(xué)生的領(lǐng)悟——我知道了只要從“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”出發(fā)就可以變成其他復(fù)雜的式子，從兩數(shù)之和就可以變成多數(shù)之和、兩數(shù)之積……我還學(xué)到了舉例研究的方法，從舉例到猜想，到驗證，再到結(jié)論。

——儲心怡

學(xué)數(shù)學(xué)，不是只經(jīng)過舉例就得出結(jié)論，而是通過舉例、猜想、驗證才得出結(jié)論，中間的過程不能少。學(xué)數(shù)學(xué)，就是把復(fù)雜化為簡單，讓簡單變得更簡單，但中間一定是有關(guān)系的，不管怎么變，都是由原始擴展出去的。所以，數(shù)學(xué)要學(xué)“通”，也要學(xué)“透”。

——徐佳程

通過學(xué)習(xí)，我明白了：要求積的奇偶性，先要想和的奇偶性，而在所有和的奇偶性當(dāng)中，“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”是重中之重。在研究的過程中，我們從最簡單的想起，當(dāng)我們研究通透了以后，才發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的東西也會變得如此簡單！我愛上了數(shù)學(xué)！

——王詩雅

我記得許老師有一句話說得特別好：“比誰數(shù)學(xué)學(xué)得好，就比誰腦子里的箭頭多?！钡拇_，這些箭頭表示的是概念和概念之間的聯(lián)系。能把各種復(fù)雜的概念最終和一個簡單的概念建立聯(lián)系，或由一個簡單的概念能聯(lián)想出一些復(fù)雜的概念，也是一種“數(shù)學(xué)人”必備的思維能力。我們作為小學(xué)生，應(yīng)該訓(xùn)練自己的這種思維能力。

——羅笑妍思維發(fā)展走向高水平有三個重要過程（階段）：入心、生長、外化。學(xué)習(xí)首先是自“外”向“內(nèi)”的，但所有入內(nèi)的東西需要在內(nèi)心不斷地積淀和生長，等積淀和生長到一定程度，就會外化為一種近乎本能的意識和行為。當(dāng)學(xué)生的反思、建構(gòu)能力越來越強，結(jié)構(gòu)化思維水平會越來越好，自動化程度也會越來越高，進而就能自覺、主動地去應(yīng)用。這時，他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就真正形成了。

綜上可見，指向整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)，遵從了數(shù)學(xué)學(xué)科整體性、結(jié)構(gòu)性的本質(zhì)特征，順應(yīng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“四兩撥千斤”的內(nèi)在需求，彰顯了“育人為本”“素養(yǎng)為上”的教育教學(xué)價值。它是理念，也是行動;是思想，也是方法;是過程，也是結(jié)果。它是一次向教育常識、教育本質(zhì)的回歸，也是一次承載著新的數(shù)學(xué)教育使命的“再出發(fā)”。

（許衛(wèi)兵，江蘇省海安市城南實驗小學(xué)教育集團總校長，特級教師，正高級教師。首批“江蘇省人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專家委員，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)工程學(xué)術(shù)帶頭人。倡導(dǎo)“簡約教學(xué)”，研究成果獲江蘇省人民政府教學(xué)成果特等獎、國家教育部教學(xué)成果二等獎。著有《簡約數(shù)學(xué)教學(xué)》《成為高度自覺的教育者——寫給后課標(biāo)時代的數(shù)學(xué)教師》等。）