函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)知識中，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)習(xí)的重點和難點，也是學(xué)生必須要掌握的知識內(nèi)容，其對于提高學(xué)生解題效率和保證解題正確率有著至關(guān)重要的作用。因此，學(xué)生必須要真正的理解和掌握函數(shù)單調(diào)性的概念和性質(zhì)，且能夠靈活運用函數(shù)單調(diào)性進行解題。所以，本文首先對函數(shù)單調(diào)性對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義進行了簡要的闡述;其次，從求解方程、求解不等式以及求解導(dǎo)數(shù)等三個方面對于函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用進行了詳細的探討分析，期望能夠提供一定的參考建議。

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性;高中數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)應(yīng)用;

一、引言

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)單調(diào)性是重要組成內(nèi)容。函數(shù)單調(diào)性主要描述兩個變量之

間的關(guān)系，其主要運用于求解不等式、求解最值和取值范圍等方面。因此，對于高中學(xué)生而言，其在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性這部分數(shù)學(xué)知識時，必須要充分了解和掌握函數(shù)單調(diào)性的特點和性質(zhì)，并且在數(shù)學(xué)解題中能夠靈活運用相關(guān)的知識點，促進學(xué)生學(xué)習(xí)效率和解題效率的全面提升。所以，本文將對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)與應(yīng)用進行深入的探索與研究。

二、函數(shù)單調(diào)性對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)是重要組成內(nèi)容，且占據(jù)著較大的比重。因此，學(xué)生為了能夠

提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須要充分的、熟練的掌握函數(shù)單調(diào)性方面的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)過程中，能夠深層次的理解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念和性質(zhì)是前提所在。為了加深印象和理解，學(xué)生可以借助于數(shù)學(xué)教材中的案例進行詮釋。其次，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需要熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的變化效果，掌握函數(shù)單調(diào)性中的重點和核心知識，提高知識運用的靈活性。最后，學(xué)生可以對函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)知識進行歸納和總結(jié)，形成系統(tǒng)性的、完整性的知識結(jié)構(gòu)，加深記憶與理解，為今后其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)?？傊瘮?shù)單調(diào)性對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的現(xiàn)實意義。

三、函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

（一）求解方程方面的具體應(yīng)用

方程是高中數(shù)學(xué)題的組成內(nèi)容之一，主要是利用等式來求解未知數(shù)，占據(jù)著至關(guān)重要的

地位。因此，將函數(shù)單調(diào)性相關(guān)知識充分運用到數(shù)學(xué)方程中，將會促進解題效率得到全面提升。例如，在求解方程式“x3+2x+（x+1）3+1=0”過程中，可以借助于函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念，將該方程式拆項再湊項轉(zhuǎn)化成為“x3+x+[（x+1）3+（x+1）]=0”，由于函數(shù)f（x）=x3+x在區(qū)間（-∞，+∞）恒為單調(diào)增函數(shù)，且為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）。因此，利用該函數(shù)性質(zhì)，可以將原方程轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)為積奇函數(shù)的性質(zhì)，即，同時，又由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可知，所以可以求解得知x=-0.5。所以，在該例題求解過程中，將函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調(diào)性兩者相結(jié)合，不僅可以將原方程進行簡化處理，還可以提高解題速度。

（二）求解不等式方面的具體應(yīng)用

學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，若由于對于數(shù)學(xué)知識體系結(jié)構(gòu)等方面知識掌握不夠全面和深入，其在使用數(shù)學(xué)公式進行求解時會存在著較大的難度，必然會對解題效率造成一定的影響，解題正確率也無法得到有效的保證。因此，在高中數(shù)學(xué)不等式求解過程中，若學(xué)生能夠巧妙的運用函數(shù)單調(diào)性進行求解，將會大大縮短解題時間，同時，使得解題正確率也可以得到提升。學(xué)生在運用函數(shù)單調(diào)性求解不等式時，應(yīng)該明確不等式的具體分類，并且將函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合以及換元等方法相結(jié)合來求解，使得解題效率和正確率可以得到保障，同時，促進學(xué)生解題能力和邏輯思維能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。例如，在求解下述例題中“已知a、b、c∈R，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，請證明ab+bc+ca+1>0”，在求解該不等式，可以將題目轉(zhuǎn)換為f（x）=（b+c）x+bc+1，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可知當x∈（-1，1），f（x）>0恒成立。然后，當b+c=0時，此時f（x）=1-b2>0也是恒成立的。若b+c≠0時，由于一次函數(shù)在x∈（-1，1）上具有單調(diào)性，恒大于0，所以當|a|<1，|b|<1，|c|<1時，f（x）>0也是恒成立的。所以，運用函數(shù)單調(diào)性原理，可以保證解題答案的完整性。

（三）在求導(dǎo)問題中的具體應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，求導(dǎo)問題是重要的題型之一。運用函數(shù)單調(diào)性可以有效解決求導(dǎo)問題。在導(dǎo)數(shù)求解過程中，首先，學(xué)生需要充分的、熟練的掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)，準確了解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用方向;其次，學(xué)生必須要深刻理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識以及深刻含義，掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的典型題型，便于靈活選擇合適的方式進行求解，提高解題效率。在導(dǎo)數(shù)求解過程中，針對部分題型，學(xué)生可以考慮利用函數(shù)單調(diào)性進行相應(yīng)的求解。例如，有如下例題“y=x2-x3+5，請判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且求解該函數(shù)的區(qū)間?！笔紫?，得到該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為y'=2x-3x2，當導(dǎo)函數(shù)為零時，求解得到兩個值分別為0和2/3，因此，可以將x分為x∈（-∞，0）、x∈（0，2/3）以及x∈（2/3，∞）這三個范圍分別討論。因此，可知當x∈（-∞，0）時，導(dǎo)函數(shù)恒小于0，即函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);當x∈（0，2/3）時，導(dǎo)函數(shù)值恒大于0，則可知該函數(shù)y在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);當x∈（2/3，∞）時，導(dǎo)函數(shù)恒小于0，則該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)為減函數(shù)。由此可見，由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性兩者之間的聯(lián)系，可以達到快速解題的目的。

四、結(jié)束語

綜上所述，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，充分利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可以促進學(xué)生解題效率的提升，同時還可以保證解題的正確性，化難為簡，有效降低題目的難度。函數(shù)單調(diào)性對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的作用。因此，學(xué)生必須要充分掌握函數(shù)單調(diào)性的具體應(yīng)用場合和應(yīng)用技巧，對于所學(xué)的知識點進行歸納和總結(jié)，從而促進高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效提升。

參考文獻

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作者簡介：柏元兵（1970.08-）男，江蘇鹽城人，江蘇省大豐區(qū)新豐中學(xué)數(shù)學(xué)組教研組長;高級教師（大豐區(qū)教學(xué)能手），研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。