重建模 助思維

石偉英

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，還要重視學(xué)生獲取知識(shí)的思維過(guò)程，而思維活力的培養(yǎng)就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。本文以“重疊問(wèn)題”的教學(xué)為例，試圖從“提供時(shí)間和空間，親歷問(wèn)題”和“探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，不斷地建?！眱煞矫鎰?chuàng)新和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴} 建模 數(shù)學(xué)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生思維能力。人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容是“重疊問(wèn)題”。這一問(wèn)題在日常生活中的應(yīng)用比較廣泛，涉及一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法：集合思想。集合思想是一種系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，也是數(shù)學(xué)體系中最基本的思想。由于初次接觸，學(xué)生所儲(chǔ)備的這方面的知識(shí)比較少，對(duì)他們來(lái)說(shuō)既是認(rèn)知上的一次飛越，也是思維上的一次跨越。教師應(yīng)把充足的時(shí)間和空問(wèn)留給學(xué)生獨(dú)立思考。學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題等一系列過(guò)程，從而建立數(shù)學(xué)模型，提升思維，培養(yǎng)能力?，F(xiàn)根據(jù)三年級(jí)上冊(cè)“重疊問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勼w會(huì)和思考。

一、提供時(shí)間和空間，讓學(xué)生在親歷問(wèn)題的過(guò)程中創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出： “提供足夠的空間和時(shí)間給學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維?！币虼耍瑧?yīng)該給學(xué)生充分的時(shí)間和空間來(lái)思考問(wèn)題、經(jīng)歷問(wèn)題，使其在這一過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，在發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題中培養(yǎng)思維。

問(wèn)題和情境是相輔相成、缺一不可的。三年級(jí)學(xué)生的思維需要靠已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)喚醒和積累，因此，情境的創(chuàng)設(shè)非常重要。教師通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，給予學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的時(shí)間，才能積累數(shù)學(xué)表象，發(fā)展形象思維。

教學(xué)片段：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)“認(rèn)知沖突”

1.同學(xué)們，你們參加過(guò)運(yùn)動(dòng)會(huì)嗎？你們都參加過(guò)哪些項(xiàng)目？

預(yù)設(shè)：我參加過(guò)跳繩比賽、我參加過(guò)跑步和踢毽子比賽……

小結(jié)：看來(lái)我們班的小朋友有些人參加過(guò)一項(xiàng)比賽，有些人還參加過(guò)兩項(xiàng)比賽，其實(shí)在我們的運(yùn)動(dòng)會(huì)中還有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

出示：301班參加跳繩比賽4人，參加踢毽子比賽5人

2.你能根據(jù)上面的兩個(gè)數(shù)學(xué)信息，提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

預(yù)設(shè)：301班參加這兩項(xiàng)比賽的一共有多少人？

請(qǐng)學(xué)生解決問(wèn)題，并板書(shū)算式：4+5=9（人）

3.一定是9人嗎？還有沒(méi)有其他的可能？

預(yù)設(shè)：有可能有人同時(shí)參加兩個(gè)項(xiàng)目

4.那會(huì)對(duì)參加這兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)有什么影響？

預(yù)設(shè)：總?cè)藬?shù)會(huì)減少

5.如果總?cè)藬?shù)減少，那么總?cè)藬?shù)有可能是幾人？

預(yù)設(shè)：有可能是8人，7人……

通過(guò)運(yùn)動(dòng)會(huì)這一話題情境，成功吸引了學(xué)生的注意力和興趣，而且從談話中學(xué)生能感受到有人會(huì)同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽。這一話題也為接下來(lái)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆，學(xué)生結(jié)合自己參加比賽的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)想、思考，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，從而發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，解決問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的答案其實(shí)是不定的。三年級(jí)學(xué)生在回答時(shí)往往是沒(méi)有經(jīng)過(guò)深層次的思考的，沒(méi)有全面、仔細(xì)地分析。這樣的問(wèn)題富有挑戰(zhàn)又與生活相關(guān)，學(xué)生有了疑問(wèn)，思維的發(fā)展也顯得自然而然。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，問(wèn)題與生活也息息相關(guān)，既提高了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，一舉多得。

（二）自主表達(dá)，在問(wèn)題的發(fā)展變化中激發(fā)思維

“重疊問(wèn)題”的教學(xué)主要是集合思想的體現(xiàn)，而集合思想中也體現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)的思想。韋恩圖中把相同屬性的元素集中在一起，就是一個(gè)集合。兩個(gè)集合合起來(lái)又能產(chǎn)生一個(gè)新的集合——交集。 “重疊問(wèn)題”教學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的思想始終貫穿。從一一對(duì)應(yīng)走向一多對(duì)應(yīng)，產(chǎn)生交集，又從一多對(duì)應(yīng)再回到一一對(duì)應(yīng)，把多的“替身”去掉，這是問(wèn)題產(chǎn)生、變化、發(fā)展到解決的全過(guò)程的體現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的感悟和理解層層深入。教學(xué)不是簡(jiǎn)單的貼標(biāo)簽，而是要讓學(xué)生理解并掌握本質(zhì)的內(nèi)涵。

教學(xué)片段：自主探究

有這么多的可能，那我們先慢慢來(lái)，參加兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)一共有8人，會(huì)是怎么樣呢？你能不能把你的想法用一種既簡(jiǎn)單又讓大家看得明白的方法表示在練習(xí)紙上？（請(qǐng)學(xué)生在練習(xí)本上畫(huà)圖表示自己的想法，教師巡視）

學(xué)生展示自己的作品，全班匯報(bào)交流：

【預(yù)設(shè)1】

跳繩：△△△△

踢毽子：△△△△△

一共有9人參加比賽

【預(yù)設(shè)2】

跳繩：△△△■

踢毽子：△△△△■

一共有8人參加比賽

【預(yù)設(shè)3】

兩項(xiàng)比賽

跳繩都參加 踢毽子

一共有8人參加比賽

“有多少個(gè)學(xué)生就有多少個(gè)獨(dú)特的世界?！苯虒W(xué)并不是一味地說(shuō)教、灌輸，每一個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)有的思想和不斷創(chuàng)造的潛力。教師只要引領(lǐng)一下，就能激發(fā)出他們無(wú)限的潛力。學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖表達(dá)想法，學(xué)生的作品呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)也證明是很有價(jià)值的，其實(shí)這些作品就是“韋恩圖”，而且它的價(jià)值也高于韋恩圖。學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于教師直接出示韋恩圖讓學(xué)生填寫(xiě)。

（三）親歷過(guò)程，在質(zhì)疑中提升思維能力

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程。”因此，在教學(xué)中教師應(yīng)多放手，以學(xué)生為主體，把課堂和時(shí)間還給學(xué)生。學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，通過(guò)實(shí)踐、交流等活動(dòng)，經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，從而，理解韋恩圖的本質(zhì)內(nèi)涵，建構(gòu)集合思想的模型，突破教學(xué)重難點(diǎn)。如上一教學(xué)片段中，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖的方法表示出8人是怎樣的一種情況。通過(guò)讓學(xué)生圈一圈跳繩的4個(gè)人和踢毽子的5個(gè)人，慢慢得到韋恩圖的雛形。學(xué)生對(duì)自己的作品展示和交流，則是全班思維的碰撞。大家各抒己見(jiàn)，在學(xué)生與學(xué)生的辨析過(guò)程中，生生互動(dòng)，自我提高認(rèn)識(shí)，并接納他人的意見(jiàn)，逐步加深對(duì)重疊問(wèn)題的理解，學(xué)生在辨析中從未知到已知，從模糊到清晰，最后達(dá)成共識(shí)，真正提升思維能力。

二、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在不斷的建模中提升數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模的思想是相對(duì)比較新型的教學(xué)方式，也是比較重要的，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

（一）積累表象經(jīng)驗(yàn)，提升形象思維

創(chuàng)新的首項(xiàng)是問(wèn)題，問(wèn)題是激發(fā)思維的關(guān)鍵。本課中一共有多少人的問(wèn)題，從小學(xué)生的生活場(chǎng)景出發(fā)，符合這個(gè)年齡段學(xué)生的認(rèn)知水平。用舊知喚起新知，循序漸進(jìn)積累新事物和新思維的問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，引起學(xué)生們對(duì)問(wèn)題的探索欲望，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生有了充分的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)的過(guò)程，構(gòu)建了重疊問(wèn)題的模型。

（二）滲透建模思想，發(fā)展邏輯思維

小學(xué)生的邏輯思維能力還較為薄弱，考慮問(wèn)題容易陷入膚淺的認(rèn)知誤區(qū)。而在有效的建模過(guò)程中，學(xué)生既需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致人微的觀察和分析，又需要靈活巧妙地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。這種運(yùn)用相關(guān)知識(shí)從實(shí)際問(wèn)題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程既鍛煉了學(xué)生，又提升了思維能力。

教學(xué)片段：揭示韋恩圖

1.英國(guó)數(shù)學(xué)家韋恩在解決像這樣有人同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的問(wèn)題時(shí)，與我們的做法差不多。他是用這樣兩個(gè)圈圈來(lái)表示的。

2.你看得明白這兩個(gè)圈圈表示什么嗎？

請(qǐng)學(xué)生把剛剛展示的學(xué)生作品填到韋恩圖中，教師隨機(jī)提問(wèn)韋恩圖每一部分的含義。

一個(gè)圈表示參加跳繩的4個(gè)人，一個(gè)圖表示參加踢毽子的5個(gè)人，中間重疊部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽。

3.只參加跳繩的是哪一部分，只參加踢毽子的又是哪一部分？

4.根據(jù)韋恩圖，列算式表示參加比賽的總?cè)藬?shù)。

5.每一個(gè)算式的不同含義。

學(xué)生親歷韋恩圖產(chǎn)生的過(guò)程，充分體驗(yàn)、感知，最后獲得韋恩圖的作用和意義，化抽象為具體，從具體到抽象。在這交流的過(guò)程中，學(xué)生的思維不斷地碰撞，生生互動(dòng)，師生互動(dòng)，教學(xué)也真正落到了實(shí)處，思維得到了發(fā)展。

教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于韋恩圖的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)不深，為此，又設(shè)計(jì)了如下圖這樣的課件，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，小組討論：各區(qū)域各代表什么？由此，學(xué)生能夠清楚地理解各部分所表示的意思，學(xué)會(huì)用各種方法計(jì)算總?cè)藬?shù)。算式①：3+1+4=8人，算式②：4+5 -1=8人，算式③：3+5=8人，算式④：4+4=8人，算式⑤……這里出現(xiàn)這么多的算式并非是要體現(xiàn)算法多樣化，而是對(duì)集合思想的再次滲透建模過(guò)程。學(xué)生通過(guò)說(shuō)一說(shuō)，圖上指一指，數(shù)形結(jié)合，理解每個(gè)算式中的每個(gè)數(shù)字所代表的是哪一部分，是誰(shuí)和準(zhǔn)合起來(lái)的，甚至是“月牙形”+“橢圓形”這樣的表述（如下圖）。學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)觀察、比較、分析、推理的過(guò)程，并且結(jié)合模型抽象出算式。引導(dǎo)學(xué)生親歷了從圖形到算式，從具體到抽象的建模過(guò)程，也有效提升了學(xué)生的邏輯思維。

（三）直觀演示，創(chuàng)新抽象思維

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，都會(huì)經(jīng)歷從具體到抽象，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程。在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用形象直觀的模型，可以使抽象的知識(shí)具體化、形象化，有助于學(xué)生的理解和掌握。根據(jù)認(rèn)識(shí)水平，把形象直觀與發(fā)展學(xué)生思維能力結(jié)合起來(lái)，促使學(xué)生經(jīng)歷感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的階段。

教學(xué)片段：

1.請(qǐng)學(xué)生在練習(xí)本上用韋恩圖表示總?cè)藬?shù)的其他幾種可能。

教師展示學(xué)生作品，請(qǐng)學(xué)生觀察多幅韋恩圖，提問(wèn)：你發(fā)現(xiàn)了什么？

2.中間重疊的人數(shù)越多，兩邊的人數(shù)會(huì)慢慢減少，總?cè)藬?shù)也在慢慢減少。

3.你覺(jué)得總?cè)藬?shù)最少是幾人？最多又會(huì)是幾人呢？請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)此時(shí)是怎樣的一幅韋恩圖。

三年級(jí)的學(xué)生，思維正從具體形象思維過(guò)渡到抽象思維，但仍以具體形象思維為主。所以，通過(guò)多幅韋恩圖的直觀展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：中間重疊的部分越多，兩邊的人數(shù)則越少，總?cè)藬?shù)也跟著變少。通過(guò)這一生動(dòng)形象的展示，學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到這一規(guī)律，從而大膽提出：當(dāng)兩個(gè)圈圈完全重疊在一起的時(shí)候，總?cè)藬?shù)最少這一結(jié)論。主要滲透有序的思想、分類(lèi)的思想。同時(shí)，集合中的交集、子集、并集的思想雖然不需要學(xué)生掌握，但通過(guò)直觀演示后，學(xué)生能有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。

總之，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，在問(wèn)題解決中初步體會(huì)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用價(jià)值，選擇最優(yōu)方案，初步體會(huì)集合思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維，提升能力。

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