淺議初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想

李大利

摘要：近年來，很多人都在對(duì)數(shù)學(xué)中重要思想——數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行研究。其實(shí)從七年級(jí)的數(shù)軸、絕對(duì)值、有理數(shù)就出現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，而后的幾何、函數(shù)等領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中更是將這種思想貫穿始終?？梢姅?shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中占著舉足輕重的地位，數(shù)形結(jié)合有利于訓(xùn)練思維能力、提升記憶力和培養(yǎng)創(chuàng)造力。要使每位同學(xué)都真正懂得如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以及明白在什么時(shí)候運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。則必須要對(duì)初中生的年齡特征進(jìn)行具體分析，以及了解他們?cè)诿總€(gè)學(xué)習(xí)階段的認(rèn)知水平和正在學(xué)習(xí)的新知識(shí)的特點(diǎn)以及新舊知識(shí)之間的練習(xí)，要逐步滲透、螺旋上升。這就要求教師在備課時(shí)，應(yīng)該精心備課，有意識(shí)地把數(shù)形結(jié)合思想滲透到每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。[1]

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué)教學(xué);滲透

一、引言

在初中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想統(tǒng)稱為基本數(shù)學(xué)思想。[2] 而數(shù)形結(jié)合思想是初中基本數(shù)學(xué)思想中比較重要的思想之一。從近年來中考數(shù)學(xué)試卷中，可以清楚觀察出利用數(shù)形結(jié)合思想解決的題目比比皆是。我們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究不僅有助于學(xué)生更好地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能夠增強(qiáng)他們的解題能力。如果熟練地掌握了數(shù)形結(jié)合思想并合理運(yùn)用，那么將會(huì)取得事半功倍的效果。但是數(shù)形結(jié)合思想不同于其他知識(shí)，需要經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的觀察、分析、鞏固，然后逐漸積累而成。

二、數(shù)形結(jié)合思想有利于學(xué)生的發(fā)展

（一）.數(shù)形結(jié)合思想有利于鍛煉思維能力

在初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，既可以輕松揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，并且又可以讓學(xué)生非常直觀地看到數(shù)學(xué)問題的結(jié)果。所以只要把知識(shí)體系中己有的知識(shí)計(jì)算和推導(dǎo)運(yùn)用得當(dāng)，就能夠很容易地推導(dǎo)出數(shù)學(xué)對(duì)象的整體結(jié)構(gòu)，從而學(xué)生就可以獨(dú)立、迅速地得到所求解的數(shù)學(xué)問題的答案。因此數(shù)形結(jié)合的思想有利于鍛煉學(xué)生的直覺思維能力。

（二）.數(shù)形結(jié)合思想有利于提升記憶力

初中階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是屬于基礎(chǔ)性的知識(shí)。有人說知識(shí)就是力量，但前提是記住這些知識(shí)。牢牢地記住并正確使用這些知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)整體體系的學(xué)習(xí)大有裨益，而記憶是掌握任何知識(shí)的最基本途徑之一。數(shù)形結(jié)合思想的正確運(yùn)用能夠幫助學(xué)生在頭腦中逐步形成數(shù)學(xué)圖象，以便于更加形象地記住這些信息。

（三）.數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)創(chuàng)造力

在平時(shí)的數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師可以適時(shí)、適量地給出一些難度系數(shù)稍微高于學(xué)生能力，但通過他們的探究又能解決的新穎的數(shù)學(xué)題目，并且鼓勵(lì)學(xué)生大膽動(dòng)手，不要在難題面前退縮。幫助他們樹立解題信心，幫助他們擺脫用以往固定思維模式去思考問題。合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)造力以及創(chuàng)新精神。

三、數(shù)形結(jié)合的作用

數(shù)形結(jié)合思想不僅是初中的基本思想之一，也是解決數(shù)學(xué)問題最常用的途徑之一?！皵?shù)”與“形”兩者之間有著密切的關(guān)系，彼此滲透，可以互相獨(dú)立，而在一定程度上又可以相互轉(zhuǎn)換，即“以形解數(shù)”和“以數(shù)解形”兩種情況。

（一）.數(shù)形結(jié)合在代數(shù)中的作用——以形解數(shù)

數(shù)學(xué)圖形的優(yōu)勢(shì)是形象、直觀、易懂，能夠?qū)⒊橄蟮乃季S形象地表現(xiàn)出來。但是在定量的數(shù)學(xué)問題方面很大程度上還是要借助代數(shù)的計(jì)算，尤其是對(duì)于一些非常簡(jiǎn)單或者是相當(dāng)復(fù)雜的圖形，如果我們只用眼睛去直接觀察，往往很多時(shí)候是得不出什么對(duì)我們有用的規(guī)律或者結(jié)論來的，這時(shí)數(shù)學(xué)圖形的優(yōu)點(diǎn)就能夠展現(xiàn)得淋漓盡致。利用數(shù)學(xué)圖形可以挖掘出隱含在數(shù)學(xué)圖形背后的條件，再正確地把數(shù)學(xué)圖形數(shù)量化。利用“數(shù)”來解決“形”的問題，其實(shí)質(zhì)就是通過把數(shù)學(xué)圖形的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)數(shù)量的問題，再進(jìn)行具體分析、計(jì)算以及邏輯推理，最終獲得解決數(shù)學(xué)圖形問題的方案。

以形解數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是利用“數(shù)”的精確性來闡述“形”的抽象性，可以很方便地闡述圖形的模糊，尤其是在解決幾何問題時(shí)，利用其中某些量之間的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系代數(shù)方法，可以在很大程度上彌補(bǔ)想象的不足。

（二）.數(shù)形結(jié)合在幾何中的作用——以數(shù)解形

“以數(shù)解形”其實(shí)就是利用“數(shù)”的嚴(yán)密性、精確性去揭示“形”所隱含的代數(shù)關(guān)系，反映出抽象圖形中的某些特性。在解決數(shù)學(xué)疑難時(shí)，對(duì)于有關(guān)幾何圖形性質(zhì)的難題，我們能夠?qū)⑺D(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系之間的問題，這不僅對(duì)學(xué)生靈活解決問題有所幫助，還對(duì)培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系與抽象圖形的能力大有裨益。

而是要根據(jù)初中生的年齡特征，循序漸進(jìn)、由淺入深地滲透數(shù)形結(jié)合思想，可分為領(lǐng)悟、展示、突出、概括四個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行。

四、滲透數(shù)形結(jié)合思想的步驟

（一）.對(duì)數(shù)形結(jié)合的初體驗(yàn)——領(lǐng)悟階段

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的精華，是需要經(jīng)過長(zhǎng)期的分析、比較、抽象、綜合、概括等多種思維形式的加工過程。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)絕不僅僅只是幾個(gè)簡(jiǎn)單的定義、原理、定理，而是需要教師積極地去引導(dǎo)學(xué)生感受、認(rèn)識(shí)暗藏在數(shù)學(xué)概念形成過程中的數(shù)學(xué)思想。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時(shí)必須要完整地向?qū)W生體現(xiàn)過程，并且逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想。如：“數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值?！边@是絕對(duì)值的概念，可是對(duì)于剛剛從小學(xué)升入初中的大部分學(xué)生而言，絕對(duì)值的概念不僅抽象而且難以真正地理解、領(lǐng)會(huì)，這是若教師在課堂的教學(xué)過程中配以圖形來幫助學(xué)生理解、領(lǐng)會(huì)，相信肯定會(huì)事半功倍。

例1：求 ， 的值.

從圖3可以很明顯地看出： 就是 的長(zhǎng)度5， 就是 的長(zhǎng)度3.

（二）.對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的碰撞——展示思想

“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書上的結(jié)論.”[6] 在探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，我們所要用到的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)比要準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的新知識(shí)它本身更加值得我們學(xué)習(xí)。我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教材中的各種定義、原理、定理、公式，都是千百年來許許多多數(shù)學(xué)家們的智慧的結(jié)晶，是他們運(yùn)用諸多數(shù)學(xué)思想得出來的正確的精華。所以，在進(jìn)行數(shù)學(xué)定理的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該積極地引導(dǎo)學(xué)生親身參與、經(jīng)歷定理的探究過程，理清所學(xué)習(xí)的定理、公式與其它學(xué)過的知識(shí)之間存在的聯(lián)系，使新舊知識(shí)在頭腦中形一個(gè)系統(tǒng)，并且親身感悟在推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理的過程中所用到的數(shù)學(xué)思想。

例2：若不等式組 恰好有兩個(gè)整數(shù)解，求 的取值范圍？

解：由題中所給的不等式組可以得到 由題目可知，不等式組有兩個(gè)整數(shù)解，所以不等式組有解，它的解集是 。所以這兩個(gè)整數(shù)解依次為：0，1.故在數(shù)軸上表示如圖2。

于是： ，解得： 。

（三）.對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值化——突出階段

解題過程其實(shí)質(zhì)就是合理應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的過程，是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)問題解決的每一步的轉(zhuǎn)化，從此處可以非常清楚地明白授“漁”遠(yuǎn)比授“魚”更加重要。在初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)的過程中，教師不僅僅要注重知識(shí)本身的傳授，而更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。要從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，關(guān)鍵是要真正地掌握方法，真正明白數(shù)學(xué)思想。因此，在進(jìn)行解題的教學(xué)時(shí)教師斷不能只就題論題，而應(yīng)該積極地引導(dǎo)學(xué)生該往哪里想。集中在數(shù)學(xué)思想方法上，然后突出數(shù)形結(jié)合思想解決問題的功能。

例3：甲乙兩地間隔10公里，現(xiàn)有A、B兩人分別從兩地出發(fā)，并且相向前進(jìn).假設(shè)他們是始終保持勻速前進(jìn)，那么10分鐘后A前進(jìn)了1公里，B前進(jìn)了0.8公里，求多長(zhǎng)時(shí)間后他們能夠相遇？做這種題，只要畫出線段圖（如圖3）、列式，問題就迎刃而解了。

（四）.思想概括

弗賴登塔爾曾解釋：“如果建構(gòu)是證明過程之前的階段，則必然有一個(gè)中間階段，我相信那就是反思。”學(xué)生只有真正地理解、概括數(shù)形結(jié)合思想，把它內(nèi)化為自己的知識(shí)，才能正確應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想去解決數(shù)學(xué)問題。所以要求教師在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中要將數(shù)形結(jié)合思想落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，并且要有意識(shí)地積極地引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)形結(jié)合思想的概括過程中，尤其是在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)結(jié)束之后再帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的同時(shí)，還應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)出來。這樣做不僅可以提升學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)，也能夠使他們分析、研究、處理數(shù)學(xué)問題的能力得到最大程度的鍛煉。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們一定要牢記“數(shù)”與“形”的結(jié)合，對(duì)于一些直觀圖形我們可以賦予數(shù)量的含義，而對(duì)于一些抽象數(shù)量我們又可以賦予一些圖象的含義，從而能夠有效地解決數(shù)學(xué)問題。

從本質(zhì)上來說，數(shù)形結(jié)合思想在初中教學(xué)中，就是把抽象語(yǔ)言與直觀圖形有機(jī)地聯(lián)系起來，充分利用“數(shù)”和“形”之間的互相轉(zhuǎn)換，解決復(fù)雜問題。相信只要經(jīng)過長(zhǎng)期數(shù)形結(jié)合的思想的訓(xùn)練，在實(shí)際的解題過程中合理地去應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，初中數(shù)學(xué)教學(xué)必將迎來一片新的天地。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李雪.初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析[D].河北師范大學(xué)，2013.

[2] 黃平.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想[D].江西師范大學(xué)，2012.

[3] 劉冰楠.數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2012.

（作者單位：四川大學(xué)附屬中學(xué)西區(qū)學(xué)校）