尺規(guī)作圖促學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)發(fā)展

陳華明

【摘要】2011年新《課標(biāo)》的提出，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了指導(dǎo)性作用。《課標(biāo)》中針對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提出幾何直觀、推理能力等10個(gè)核心概念。筆者以”尺規(guī)作圖”“幾何直觀”為關(guān)鍵研究詞，并結(jié)合近五年廣州市中考的數(shù)學(xué)命題，基于內(nèi)容分析法，對(duì)“尺規(guī)作圖”這一教學(xué)內(nèi)容與“幾何直觀”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行定量與定性相結(jié)合的內(nèi)容分析，挖掘尺規(guī)作圖的教學(xué)現(xiàn)狀、存在問題，并據(jù)此提出合理的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何直觀；尺規(guī)作圖；核心素養(yǎng)

一、研究背景

2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）》頒布實(shí)施，新《課標(biāo)》的提出，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了指導(dǎo)性作用?！墩n標(biāo)》中針對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提出幾何直觀、推理能力等10個(gè)核心概念。而對(duì)于“幾何直觀”這一核心素養(yǎng)，筆者直接能聯(lián)系起來(lái)的便是“尺規(guī)作圖”這一關(guān)鍵詞語(yǔ)。

二、研究對(duì)象與方法

筆者以”尺規(guī)作圖”“幾何直觀”為關(guān)鍵研究詞，運(yùn)用內(nèi)容分析法，查找了自2014年至2018年中國(guó)知網(wǎng)收錄以此為主題詞的研究文獻(xiàn)共216篇，剔除無(wú)關(guān)文獻(xiàn)，共得到196篇原始文獻(xiàn)，其中期刊文獻(xiàn)194篇，報(bào)紙1篇，會(huì)議1篇。為保障研究的可靠性與有效性，選取得到35篇有效研究文獻(xiàn)。

圍繞著這35篇有效文獻(xiàn)，結(jié)合近五年廣州市中考的數(shù)學(xué)命題，基于內(nèi)容分析法，筆者對(duì)文獻(xiàn)和命題中關(guān)于“尺規(guī)作圖”這一教學(xué)內(nèi)容與“幾何直觀”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行定量與定性相結(jié)合的內(nèi)容分析，挖掘尺規(guī)作圖的教學(xué)現(xiàn)狀、存在問題，并據(jù)此提出合理的教學(xué)建議。

三、研究結(jié)果

1.尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求

《課標(biāo)》在第三學(xué)段（7～9年級(jí)）的知識(shí)與技能目標(biāo)中明確提出，學(xué)生掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；數(shù)學(xué)思考中提出經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。

就內(nèi)容方面，《課標(biāo)》對(duì)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)提出四點(diǎn)要求：1. 能用尺規(guī)完成五種基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線。2. 會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。3. 會(huì)利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。4. 在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

通過對(duì)35篇有效文獻(xiàn)的分析中，筆者發(fā)現(xiàn)無(wú)一例外地認(rèn)為尺規(guī)作圖與圖形的判定有著本質(zhì)的聯(lián)系，且均表達(dá)出尺規(guī)作圖及利用其證明的數(shù)學(xué)培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生初步建立幾何直觀素養(yǎng)有著重要的作用。

然而通過對(duì)近五年的廣州中考數(shù)學(xué)考題的分析，筆者不難發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖一直都占有一席之地。但是無(wú)論是日常的教學(xué)與測(cè)試考察結(jié)果均發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此掌握并未如理想。

2.尺規(guī)作圖在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀及問題

①近年來(lái)多作為動(dòng)手解決問題題型載體，成為中考數(shù)學(xué)考查熱點(diǎn)?；仡檹V州市近五年中考考題。

注：數(shù)據(jù)摘自《廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試年報(bào)》，2018年暫未發(fā)布。

我們發(fā)現(xiàn)每年尺規(guī)作圖題型均以解答題的形式出現(xiàn)，并且是后續(xù)證明及計(jì)算的前提。其中三年是以倒數(shù)第3題，中難度題型出現(xiàn)，占全卷分值8%；另外兩年是以中等題型出現(xiàn)，最低占比達(dá)6.67%。尺規(guī)作圖因其特有的性質(zhì)，對(duì)于作圖技能的考查具有得天獨(dú)厚之處。充分展示學(xué)生動(dòng)手解決問題的情況，因此成為了中考檢驗(yàn)學(xué)生的熱門題型。

②雖有重視，但落實(shí)延續(xù)性不足。由于《課標(biāo)》的明確、中考的青睞，尺規(guī)作圖在日常教學(xué)都受到普遍的重視，亦對(duì)其作圖的道理進(jìn)行相應(yīng)分析證明。但是由于尺規(guī)作圖知識(shí)點(diǎn)分布特性及其動(dòng)手操作的特殊性，導(dǎo)致整個(gè)初中學(xué)段過程存在較長(zhǎng)真空期。如①作一條線段等于已知線段，出現(xiàn)在七年級(jí)上冊(cè)第四章“幾何圖形初步”；②作一個(gè)角等于已知角，③作一個(gè)角的平分線，出現(xiàn)在八年級(jí)上冊(cè)第十二章“全等三角形”；④作一條線段的垂直平分線，⑤過一點(diǎn)作已知直線的垂線，安排在同冊(cè)第十三章“軸對(duì)稱”。其他依據(jù)基本作圖三角形部分在第十二、三章，圓部分在九年級(jí)三冊(cè)第二十四章“圓”。知識(shí)內(nèi)容章節(jié)跨度遍及整個(gè)初中學(xué)段。尺規(guī)作圖動(dòng)手實(shí)踐的特殊性以及與其他知識(shí)的直接關(guān)聯(lián)相對(duì)薄弱，特別是我們教學(xué)上相對(duì)重視辨析論證及計(jì)算，導(dǎo)致尺規(guī)作圖教學(xué)落實(shí)的延續(xù)性不足。

③因?qū)ψ鲌D語(yǔ)言的不了解，無(wú)法通過題意及圖形分析得到作圖思路，導(dǎo)致無(wú)法入手。案例為[2016廣州.21] （本小題滿分12分）如圖 ，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC，連接CD，并證明：CD∥AB（保留作圖痕跡，不寫作法）。其實(shí)，題中出現(xiàn)“邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC”的作圖語(yǔ)言，但學(xué)生在解題時(shí)卻未能正確理解導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤。

④動(dòng)手能力障礙，導(dǎo)致無(wú)法合理運(yùn)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖操作。由于對(duì)圓規(guī)的使用頻次的限制，部分學(xué)生對(duì)如何操作圓規(guī)存在困難。對(duì)尺規(guī)作圖中直尺無(wú)刻度的要求與現(xiàn)實(shí)直尺存在刻度及日常使用習(xí)慣間的矛盾，導(dǎo)致形成操作失誤。案例為[2014廣州.23]（本小題滿分12分）如圖6，△ABC中，AB=AC=，.（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作 法）；（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圓中，①求證：；②求點(diǎn)D到BC的距離。在考題的年報(bào)分析中以及筆者閱卷中都發(fā)現(xiàn)有大量學(xué)生存在直接使用直尺刻度尋找AC中點(diǎn)問題。

四、教學(xué)建議

尺規(guī)作圖，指有限次使用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)作圖。它有著悠久的歷史，遠(yuǎn)在古希臘就已經(jīng)提出，并由歐幾里德在《幾何原本》中以理論形式具體明確。我國(guó)也有關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)傳統(tǒng)，在《課標(biāo)》中更對(duì)尺規(guī)作圖做出了明確要求。尺規(guī)作圖因其動(dòng)手實(shí)踐的特性，符合《課標(biāo)》提出的觀察、實(shí)驗(yàn)、推理的學(xué)習(xí)過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有不可替代作用。

通過內(nèi)容分析法得到的研究結(jié)果，并結(jié)合筆者在教學(xué)一線的教學(xué)體會(huì)，筆者對(duì)“尺規(guī)作圖”這一教學(xué)內(nèi)容提出如下教學(xué)建議。

1.重歷史背景，依人文故事，挖幾何魅力。尺規(guī)作圖這一知識(shí)板塊具有非常悠久的歷史，例如尺規(guī)不能問題中最著名的“幾何三大問題”：“倍立方問題”“化圓為方問題”和“三等分角”。在教學(xué)前，教師可以簡(jiǎn)單介紹相關(guān)的歷史背景，告訴學(xué)生尺規(guī)作圖對(duì)“尺”“規(guī)”的要求。這樣既有趣又有現(xiàn)實(shí)背景的知識(shí)比較容易得到學(xué)生的接受，從而吸引學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。又如，通過高斯得到正十七邊形的尺規(guī)作圖法的故事，激起學(xué)生挑戰(zhàn)的欲望。再如，在講授作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形是可以作為前置作業(yè)，讓學(xué)生自己嘗試作圖，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握。而作為能力的拓展提高，教師可以在掌握尺規(guī)作圖的基本作圖后，通過開展專題的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受幾何圖形美，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決生活實(shí)際問題能力。比如，教師可以結(jié)合軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等知識(shí)對(duì)著名商標(biāo)進(jìn)行圖形欣賞及學(xué)習(xí)，如，“寶馬”“抖音”“蘋果”等，然后鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)商標(biāo)利用尺規(guī)作圖畫出基本圖形，感受幾何直觀，最后還可以開展自主創(chuàng)作活動(dòng)，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)生活。

2.明道理，定步驟，顯關(guān)系。“尺規(guī)作圖”的關(guān)鍵一步就是要善用并用好“尺”與“規(guī)”這兩個(gè)工具?！爸背摺睙o(wú)刻度，實(shí)際就是作直線，可以用“飯卡”“筆桿”等替代?！皥A規(guī)”其實(shí)就是截等長(zhǎng)線段，可以用繩子代替。教師甚至可以通過“徒手畫圓”“繩子畫圓”的技巧展示“手臂”“繩子”這些定長(zhǎng)度的性質(zhì)。明白兩個(gè)工具的作用后，五種基本作圖其實(shí)就是利用它們來(lái)“作點(diǎn)”的工作。作一條線段等于已知線段其實(shí)就是最直接的運(yùn)用。再結(jié)合學(xué)生最為熟知的“全等三角形的判定”，學(xué)生并不難掌握其他四種作圖的原理。掌握原理接下來(lái)就是操作流程，已有定點(diǎn)為圓心，畫弧找交點(diǎn)。簡(jiǎn)而言之以點(diǎn)找點(diǎn)。例如，作一個(gè)角等于已知角，步驟1以角頂點(diǎn)為定點(diǎn)，畫弧得與角兩邊的交點(diǎn)，步驟2以兩點(diǎn)間的距離定新交點(diǎn)。通過作圖，直觀感受圖形的位置關(guān)系和等量關(guān)系，為進(jìn)一步解決問題提供條件。

3.多聯(lián)系，常操作，會(huì)表達(dá)。尺規(guī)作圖重操作，但知識(shí)內(nèi)容跨越整個(gè)初中學(xué)段特性是它的弱點(diǎn)，為此在宏觀上，作為教師需要統(tǒng)整課程，有依據(jù)、有目的、有計(jì)劃地合理運(yùn)用其動(dòng)手實(shí)踐，幾何直觀強(qiáng)，便于發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)在關(guān)系的特點(diǎn)，建構(gòu)在整個(gè)初中階段的幾何教學(xué)。在微觀處，教師應(yīng)利用條件，甚至創(chuàng)造條件讓學(xué)生經(jīng)常使用尺規(guī)，用多了自然就熟練，遺忘的情況就能避免。例如，三角形、圓部分本來(lái)就是基本作圖植根的基礎(chǔ)，而四邊形部分我們可以多發(fā)掘，諸如結(jié)合四邊形的性質(zhì)及判定設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖——已知三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形；已知矩形相鄰兩邊長(zhǎng)作對(duì)角線，求長(zhǎng)度；已知兩對(duì)角線長(zhǎng)作菱形，求面積。

在尺規(guī)作圖的教學(xué)中，筆者認(rèn)為尺規(guī)作圖不僅要會(huì)操作，更應(yīng)該會(huì)表達(dá)、能交流，然而由于《課標(biāo)》提出“保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”這要求，以致作圖語(yǔ)言在教學(xué)中普遍得不到重視，進(jìn)一步導(dǎo)致學(xué)生對(duì)作圖語(yǔ)言不會(huì)說，產(chǎn)生看不懂的問題。因?yàn)樽鲌D語(yǔ)言不同于日常用語(yǔ)和幾何證明語(yǔ)言，學(xué)生不宜掌握，所以定好范句，扎根證明，對(duì)學(xué)生尤為重要。如“連接**”“作直（射）線**”“在**上截取**=**”“延長(zhǎng)**到*，使**=**”“作∠***=∠***”“作∠***的平分線**，交**于*”“作**⊥**，垂足為*，交**于*”，等等。只有做到作圖語(yǔ)言規(guī)范、精煉、準(zhǔn)確，才能讓學(xué)生暢通表達(dá)，并借此引導(dǎo)學(xué)生將這些常用作圖語(yǔ)言的書寫遷移并落實(shí)在日后的幾何證明中，以此為依托，最終達(dá)到培養(yǎng)和提升學(xué)生建立幾何直觀核心素養(yǎng)的目的。

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾提出：“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位?！币龑?dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)找到尺規(guī)作圖的道理，化抽象為具體，可以促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀能力的提高。尤其是在深入課改、突顯基本的今天，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，如何跟有效、高效地將尺規(guī)作圖與學(xué)生能力的培養(yǎng)相結(jié)合，還有待于我們進(jìn)一步研究，并時(shí)刻提醒我們?cè)谄饺盏慕虒W(xué)中要善于做個(gè)有心人。

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