淺析線性代數(shù)中神秘的“秩”

摘要：秩是線性代數(shù)中較難理解的一個(gè)概念，但是它與矩陣、向量組、二次型卻有著密切的關(guān)系。理解和掌握了秩，就能夠靈活地看待不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，有助于相似知識(shí)點(diǎn)的掌握。

關(guān)鍵詞：秩;矩陣;向量組;二次型

一、神秘的“秩”

秩是秩序，可以聯(lián)想為衡量秩序程度的一個(gè)量。“秩”最早出現(xiàn)在線性代數(shù)教材關(guān)于矩陣秩的定義介紹中。定義如下：

設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R（A）。

看完這個(gè)定義，很多人會(huì)能夠根據(jù)定義正確計(jì)算出矩陣A的秩，但并不能從內(nèi)心深處真正理解矩陣A的秩。秩到底是什么？很多的專家學(xué)者也并沒有給出統(tǒng)一的、確切的答案，只是有部分研究者按照自己的理解給出了分析和解釋。其中有一種理解是：秩是通過矩陣變換之后的維度，并且通過二維平面直角坐標(biāo)系給出了直觀的展示。如圖1所示：

對(duì)于上述以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的正方形，通過旋轉(zhuǎn)矩陣 進(jìn)行變換，得到一個(gè)二維圖形，因此，旋轉(zhuǎn)矩陣P的秩為2，如圖2所示：

若通過矩陣 進(jìn)行變換，得到的是一條直線，一維的，所以旋轉(zhuǎn)矩陣Q的秩為1，如圖3所示。

如果換做旋轉(zhuǎn)矩陣 ，得到的是一個(gè)點(diǎn)，零維的。所以旋轉(zhuǎn)矩陣 的秩為0。

還有人將矩陣視為線性映射引出的概念，而將矩陣的秩看做線性映射空間的維數(shù)。例如，如果把矩陣當(dāng)做樣本集合，每一行都是一個(gè)樣本，那么矩陣的秩就是這些樣本所生成的線性子空間的維數(shù)。在有限維空間中，矩陣和線性映射同構(gòu)，所以上述兩種理解算是殊途同歸。

對(duì)于二階矩陣，這樣的理解學(xué)習(xí)者應(yīng)該能接受，但對(duì)于三維及其三維以上的旋轉(zhuǎn)矩陣，如何直觀展示矩陣的秩，這是一個(gè)難題。所以大家見到的大多是如何計(jì)算矩陣的秩或者向量組的秩，而很少有人探討秩的直觀展示和理解。

二、“秩”的作用和地位

矩陣的秩雖然抽象，不易理解，但是矩陣的秩是矩陣的內(nèi)在特征，本質(zhì)的東西。所以對(duì)A進(jìn)行初等變換前后，秩是不改變的，即如果 ，則R（A）= R（B）。正因?yàn)槌醯茸兓瘺]有改變矩陣A的內(nèi)在特征—秩，所以才使得矩陣的初等變換應(yīng)用廣泛。例如，可以用于求解線性方程組的解，也可以用來尋找向量組的最大無關(guān)組，還可以在此基礎(chǔ)上，用最大無關(guān)組表示剩余的向量等等。

1.矩陣的秩與線性方程組的求解

對(duì)于n元非齊次線性方程組 ，可以通過矩陣A和增廣矩陣（A，b）二者秩的情況，來判斷解的情況。當(dāng)R（A）≠R（A，b）時(shí)，方程組無解;當(dāng)R（A）=R（A，b）= n時(shí)，方程組存在唯一解;當(dāng)R（A）=R（A，b）< n時(shí)，方程組存在無窮多組解。

2.矩陣的秩與向量組線性相關(guān)性的判定

向量組線性相關(guān)性的判定除了定義及等價(jià)定義，還有一些定理也比較常用。例如，如果向量組 的秩 ，則向量組A線性相關(guān);若 ，則向量組A線性無關(guān)。

3.矩陣的秩與向量組的秩

向量組 雖然在數(shù)值上等于對(duì)應(yīng)矩陣A的秩，

但在理解上要相對(duì)容易一些。例如，四個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組

由向量組線性相關(guān)性的判定方法可知，該矩陣的秩為3，則向量組A線性相關(guān)。向量組A的秩R（A）小于向量個(gè)數(shù)，可以理解為向量組A中存在可以被替代的向量，例如上述向量組A中的 ，說明向量 可以被 的線性組合取代，即A中存在可以被剔除的向量。將向量組A中所有可以被取代的向量全部剔除后，剩余的向量個(gè)數(shù)即為向量組的秩。保留下來的向量都可以看做無可替代的精英，因此向量組的秩可以理解為精英組中所含精英的個(gè)數(shù)。

4.矩陣的秩與二次型的秩

當(dāng)然，在矩陣的二次型中，也有秩的概念，那就是二次型的秩。二次型

可用矩陣表示為 ，其中A為對(duì)稱矩陣，稱為二次型f的矩陣。對(duì)稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩，所以，可以通過計(jì)算矩陣A的秩得到二次型f的秩。二次型的秩可以理解為標(biāo)準(zhǔn)二次型中所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

三、小結(jié)

秩作為線性代數(shù)中的一個(gè)神秘字眼，與線性方程組、向量組、二次型等主要研究?jī)?nèi)容都有千絲萬縷的聯(lián)系。矩陣的秩更是與所對(duì)應(yīng)的向量組的秩及二次型的秩在數(shù)值上是一樣的。但對(duì)于不同的對(duì)象，秩的理解是不同的，本文基于秩這條線，將線性代數(shù)的不同研究?jī)?nèi)容聯(lián)系在一起。通過對(duì)相似內(nèi)容的剖析，我們可以更好地理解和掌握。

參考文獻(xiàn)：

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[3] .矩陣的秩的知識(shí)遷移教學(xué)法，趙婷，洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016.08.

作者簡(jiǎn)介：

劉瑞杰（1986—），女，講師，河南開封人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算。]

（作者單位：武警警官學(xué)院）