數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用

呂惠

【摘 要】數(shù)學思想是數(shù)學知識的靈魂和精髓，其中一種常見的數(shù)學思想便是“數(shù)形結(jié)合”。函數(shù)作為初等數(shù)學中一個基礎(chǔ)而核心的概念，是初中教學的重難點，函數(shù)本身是很抽象的概念。引導(dǎo)學生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，把函數(shù)問題中抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體圖像，把復(fù)雜的函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系，最后求解，就可以化抽象為具象，從而鍛煉學生解題的能力，事半功倍。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;函數(shù);初中數(shù)學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0121-02

著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與形結(jié)合起來分析、整理、解決數(shù)學問題的一種思想方法，在理解數(shù)學概念以及解題過程中都有廣泛應(yīng)用[1]。數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個中學乃至大學的數(shù)學學習中，因此，教師在中學教學中向?qū)W生展示數(shù)形結(jié)合思想的妙用，進而培養(yǎng)學生注重數(shù)學思想的意識是十分有意義的[2]。下文以蘇科版初中函數(shù)問題為例，展示數(shù)形結(jié)合思想在其中的運用。

1? ?數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)

函數(shù)是中學教學中的重難點，是研究物理世界變化的一個模型，是整個數(shù)學體系中的重要思想，函數(shù)的內(nèi)涵和外延都是極為抽象的。如何讓學生盡快理解、掌握和應(yīng)用函數(shù)是教師應(yīng)該研究的課題。

概念學習是函數(shù)學習中的第一步，其重要性顯而易見，如果學不懂概念，后面的學習便寸步難行。很多學生在學習概念時，采用強行記憶的方法，而不注重理解，這樣無疑對后續(xù)的學習造成巨大的困難。如果教師在函數(shù)概念的教學中，借助圖像的變化，讓學生先擁有圖像的直觀印象，再引入相關(guān)的符號以及變量來解釋函數(shù)概念。那么學生會容易接受許多。

以蘇科版教材為例，采用以下練習引入函數(shù)概念。

例1 向平靜的湖面投一石子，便會形成以落水點為圓心的一系列同心圓。①在這個變化過程中，有哪些變量？②若面積用S，半徑用R表示，則S和R的關(guān)系是什么？

解析：從圖像中得出S是關(guān)于R的函數(shù)?？梢钥吹絊和R是一一對應(yīng)的，S隨R的變化而變化，從而引出函數(shù)概念，對R的每一個值，都有S中的值與之對應(yīng)，那么S是R的函數(shù)，準確定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。借助圖像，教師可以將函數(shù)概念中的符號和數(shù)量關(guān)系形象化，從而使定義更加直觀清晰。如果用傳統(tǒng)語言描述，則難以達到這么清晰的效果。學習函數(shù)概念后，對后續(xù)的一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比函數(shù)，三角函數(shù)等的學習，也應(yīng)該注意對概念的理解，學生能根據(jù)具體解析式畫出圖像，才是真正理解了函數(shù)的概念[3]。

2?  數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的應(yīng)用

2.1? 解決函數(shù)概念的應(yīng)用

在解決函數(shù)概念的應(yīng)用問題時，運用以形解數(shù)的方法，將數(shù)量關(guān)系式轉(zhuǎn)換為圖像，解題更加簡單明了。

例2 鄂州市化工材料經(jīng)銷公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每千克60元，不低于每千克30元。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當x=60時，y=80;x=50時，y=100。在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元。①求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。②求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式。③當銷售單價為多少元時該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？

解析：①將y與x的一次函數(shù)關(guān)系式寫出來，設(shè)為y=kx+b，把x與y的兩對值代入求解，得出k和b的值。②根據(jù)利潤=單價×銷售量，解出二次函數(shù)。③根據(jù)第二問的函數(shù)圖像求最大值，根據(jù)函數(shù)圖像觀察，最高點即是最大值，用代數(shù)計算算出圖像的最高點，體會圖像的最高點與最大值的對應(yīng)。

從這道題，學生理解了如何從數(shù)量關(guān)系求出函數(shù)的解析式，理解了變量和函數(shù)的概念并與函數(shù)圖像相對應(yīng);第3小問以數(shù)解形，用代數(shù)計算，求解圖像，學生體會到數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

2.2? 解決函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

在學習函數(shù)概念后，緊接著就是學習函數(shù)的性質(zhì)，只有掌握了一個函數(shù)的性質(zhì)，才能在解題過程中靈活運用函數(shù)，而在初等函數(shù)的學習中，學生往往感覺性質(zhì)太多，記不住，容易混淆，真正的原因其實是學生沒有理解記憶，當記憶的越多，就會混亂以至遺忘，在解題過程中也就無法靈活運用。在教學過程中，教師應(yīng)該強調(diào)讓學生將函數(shù)性質(zhì)與圖像結(jié)合進行理解記憶。在運用函數(shù)性質(zhì)解題時，大部分可以借助代數(shù)進行解答，但是多數(shù)學生往往覺得難以理解，運算量大，那么，通過畫出函數(shù)圖像，就可以將性質(zhì)直觀化，從圖像中找到答案，則會簡便很多。如二次函數(shù)的對稱性質(zhì)：對稱軸左邊，圖像從左到右下降，函數(shù)值隨自變量增加而減少;對稱軸右邊，圖像從左到右上升，函數(shù)值隨自變量增加而增加;頂點是拐點。學生在記憶增減性質(zhì)時，應(yīng)理解圖像的趨勢與性質(zhì)的對應(yīng)，而不用只記住性質(zhì)的文字描述。

例3 求函數(shù)f（x）=x2-x-2的零點。

解析：首先學生要理解函數(shù)的零點其實是函數(shù)圖像與x軸的交點，那么只需要畫出函數(shù)即可。

從圖1中可以清楚地看到問題的解，如果直接將零點轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，不夠直觀，學生也理解困難，采用圖像即可幫助學生理解零點與圖像交點在x軸上的對應(yīng)關(guān)系，進一步理解方程與函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系。從這道題，學生理解到函數(shù)的零點是函數(shù)與x軸的交點，更進一步，引出函數(shù)與直線的交點，再推出兩個函數(shù)的交點。

如已知方程|x2+3x+1|=m有2個根，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：二元一次方程的根可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線y=m的交點，將兩個函數(shù)的圖像畫出來，觀察他們的交點即可。觀察圖像即可得出答案，m=0以及m的值大于頂點時，有兩個交點。將方程左邊化簡（x+1.5）2-1.25，求得頂點縱坐標為1.25。故m≥1.25，或m=0。如果不畫出函數(shù)圖像，學生可能會想到分類討論的方法，但是根據(jù)圖像，只需求出特定值就行，簡便了計算，也加深了學生對函數(shù)的理解。

例4 已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m，（k≠0）的圖像交于A（-2，6）和B（8，3），則能使y1

解析：直接畫出大概的函數(shù)圖像（如圖2），即可解題。

在解決這類函數(shù)題時，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生進一步理解函數(shù)的性質(zhì)，提高學生對函數(shù)性質(zhì)理解和掌握的準確度。

2.3? 解決數(shù)學模型的應(yīng)用

建立數(shù)學模型是一種重要的能力，在初中數(shù)學的教學過程中，運用數(shù)形結(jié)合的方法讓學生通過建立數(shù)學模型體會理論知識在實際問題中的應(yīng)用，增加數(shù)學解題的趣味性，調(diào)動學生解決問題的好奇心，進而讓學生期待數(shù)學學習。因此，數(shù)形結(jié)合的思想方法是十分重要的。

如拋物線y=2x2+8x+k與y軸交于點C（0，6），動點P在該拋物線上當三角形POC是以O(shè)C為底的等腰三角形時，求

點P。

解析：在求解這類題時，應(yīng)該根據(jù)已知條件，畫出拋物線的圖像，從而建立數(shù)學模型。首先根據(jù)點C在拋物線上求得k，然后設(shè)點P（x，y），過OC中點作y軸的垂線，由OD=3，求出P的縱坐標為3，由拋物線的解析式，求出P點的橫坐標為4±。

這道題在解題時充分展示了數(shù)形結(jié)合的思想，依據(jù)解析式畫出拋物線圖像，建立了拋物線的數(shù)學模型，再把拋物線的圖像與等腰三角形的性質(zhì)相結(jié)合，從而找到解題的思路。在這類習題中利用數(shù)形結(jié)合思想，使題目更加直觀，學生也能更加理解函數(shù)知識的運用。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學學習中重要的思想，不僅在函數(shù)中舉足輕重，在代數(shù)、幾何中也發(fā)揮著重要作用?！皵?shù)”與“形”的結(jié)合，包含了數(shù)學整個的學習內(nèi)容以及研究過程。數(shù)形結(jié)合的思想不僅為學生解題提供了便利，更為學生的探究學習指出了方向，是數(shù)學學習過程中的重要方法[5]。初中數(shù)學的教學應(yīng)該注重對數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的培養(yǎng)，讓學生能夠靈活運用數(shù)學思想對初等數(shù)學進行深入的探究，培養(yǎng)學生的科研意識，為學生后續(xù)的學習之路打下基礎(chǔ)。

【參考文獻】

[1]雷紅，楊文.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用——以初中函數(shù)問題為例[J].福建中學數(shù)學，2019（2）.

[2]王詩琳.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用教育[J].才智，2019（3）.

[3]張發(fā)啟.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用研究[J].課程教育研究，2019（4）.

[4]羅惠庭.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題教學中的滲透策略[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2018（20）.