透過(guò)表象看本質(zhì)

張科群

【摘 要】本文首先舉例分析了幾道2018年浙江省解析幾何高考題及其解法過(guò)程，然后思考了2018年浙江省解析幾何高考題，最后探討了透過(guò)表象看本質(zhì)在數(shù)學(xué)解題中的重要性，以期為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供有效方法和依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】解析幾何;高考題;思考

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）28-0057-02

1? ? 2018年浙江省解析幾何高考題及其解法過(guò)程舉例分析

1.1? ?表象

（2018年浙江省高考第19題）已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上。

（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸;

（Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍。

學(xué)生剛看到題目的時(shí)候?qū)Φ谝粏?wèn)就會(huì)有些無(wú)從下手。它與傳統(tǒng)的直線方程與曲線方程聯(lián)立求韋達(dá)，再將幾何條件坐標(biāo)化不同。這道題目如果設(shè)AB直線方程，再與拋物線方程聯(lián)立，學(xué)生根本不知道接下去如何解決線段AP，BP的中點(diǎn)在拋物線上這一幾何條件。

高考題的特點(diǎn)就在于新穎，第一次碰到有種耳目一新的感覺(jué)，好像跳出了傳統(tǒng)題目的包圍圈，但是仔細(xì)分析題目，這道題目的第一問(wèn)可以有不同的解法，第一可以巧妙借助幾何知識(shí)。

解法過(guò)程：如圖2，設(shè)線段PA，PB的中點(diǎn)分別為C，D，線段CD的中點(diǎn)為N，由平面幾何知識(shí)容易知道P，N，M三點(diǎn)共線，當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，由于拋物線的對(duì)稱軸為軸，所以△PAB是等腰三角形，且軸，則有PM⊥AB（M，N在軸上），即PM垂直于軸。

再仔細(xì)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)圖3中△PAB類似于阿基米德三角形。（拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形，這個(gè)三角形就是阿基米德三角形）。阿基米德三角形處理方法為：若拋物線，

1.2? 本質(zhì)

阿基米德三角形的處理方法的核心是利用PA、PB是兩條位置完全相同的切線，所以形成了兩個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的等式，從而化歸為同一方程，即阿基米德三角形蘊(yùn)含根。而19年的浙江省高考題PA、PB在拋物線上位置完全相同，等同于把切線轉(zhuǎn)變成割線，它是否仍可沿用阿基米德三角形的處理方法呢？

解法過(guò)程：，

PA中點(diǎn)，因?yàn)镻A中點(diǎn)在拋物線上，所以，又因?yàn)?，所以得到：，直線PB與直線PA位置相同，同理可得，合并得到滿足，

把阿基米德三角形的處理方法沿用到這道高考題中，不僅巧妙的解決了第一問(wèn)，更為第二問(wèn)做好了鋪墊。這個(gè)題目看似新穎，但其解法卻不新，而且早在2011年的浙江省高考中就出現(xiàn)過(guò)類似的題目。

1.3? 透過(guò)表象看本質(zhì)

（2018年浙江省高考第21題）

已知拋物線：，圓：的圓心為點(diǎn)M（圖4）。

（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離;

（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程。

2? ?2018年浙江省解析幾何高考題的思考

自主招生題、高考題、競(jìng)賽題各種各樣的題不勝枚舉，但是高中的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就這些，所以更多的題目是原有題目的改編題。如文中所講的這兩個(gè)高考題，它都是出自阿基米德三角形，從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的兩條拋物線切線改編成割線和圓的切線，其本質(zhì)是相同的。

3? ?透過(guò)表象看本質(zhì)在數(shù)學(xué)解題中的重要性

數(shù)學(xué)題目很多，不可能全都做完，所以在平時(shí)的解題過(guò)程中，要透過(guò)題目看到問(wèn)題本質(zhì)，歸類出基本模型，通過(guò)一題多解和多題一解，讓學(xué)生掌握處理一個(gè)基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。變化的是題目，不變的是解法，通過(guò)對(duì)問(wèn)題變式的探究和原問(wèn)題的推廣，幫助學(xué)生掌握一類問(wèn)題的通解通法，進(jìn)而形成解題模式。