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    一個(gè)有趣的概率問題

    2019-09-10 11:25:34錢禹任
    新教育論壇 2019年5期
    關(guān)鍵詞:傳遞性骰子概率論

    錢禹任

    眾所周知,概率論的起源是對賭博問題的研究.早在16世紀(jì),就有人開始研究扔硬幣,擲骰子等相關(guān)問題,經(jīng)過多年來許多數(shù)學(xué)家的研究,使之逐步發(fā)展成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.由于本人一直對概率論的相關(guān)問題非常感興趣,利用課余時(shí)間,看了一些概率論相關(guān)的書籍,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的問題,與大家分享。

    一、問題提出

    問題:下邊有四顆骰子(圖示為正方體的展開圖),分別用A、B、C、D來表示。莊家讓你先選擇一顆你自己認(rèn)為最好的骰子,然后莊家再從剩下的三顆骰子中選一個(gè)。拋擲各自所選的骰子后,誰擲出的數(shù)字大,誰就贏了。那么,你應(yīng)該選哪顆骰子贏面會(huì)比較大呢?

    二、問題分析

    從直觀上看,如果只投一次每個(gè)骰子都有贏的機(jī)會(huì),所以我們要比較的不是投一次的結(jié)果,而是甲骰子能贏乙骰子的概率,如果大于1/2,我們就認(rèn)為甲骰子比乙骰子強(qiáng),那么問題就轉(zhuǎn)化為是不是有一個(gè)骰子比其余三個(gè)都強(qiáng)呢?讓我們分別來計(jì)算一下。

    A與B:由于B的六個(gè)數(shù)都一樣,而A有四個(gè)數(shù)比B大,所以A贏B的概率為2/3。

    A與C:A想贏C必須A投出4(概率為2/3)的條件下C投出2(概率為2/3),A贏C的概率為4/9。

    A與D:A想贏D必須A投出4(概率為2/3)的條件下D投出1(概率為1/2),A贏C的概率為1/3。

    B與C:由于B的六個(gè)數(shù)都一樣,而C有四個(gè)數(shù)比B小,所以B贏C的概率為2/3。

    B與D:由于B的六個(gè)數(shù)都一樣,而D有三個(gè)數(shù)比B小,所以B贏D的概率為1/2。

    C與D:當(dāng)C投出6,必然贏D(概率為1/3),當(dāng)C投出2(概率為2/3),此時(shí)D投出1(概率為1/2),C才能贏,所以C贏D的概率為2/3。

    如果我們用符號“>”來表示骰子的強(qiáng)弱,通過上述計(jì)算,我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“循環(huán)”結(jié)構(gòu)(A-B-C與A-B-C-D):

    A>B, B>C, C>A,C>D, D>A

    顯然,無論我們挑選哪個(gè)骰子,你會(huì)發(fā)現(xiàn)都有別的骰子贏面比你選的骰子大,也就是說這四個(gè)骰子中并沒有一個(gè)能贏過其它三個(gè)骰子,這個(gè)游戲怎么玩先選的一方都是會(huì)輸?shù)摹?/p>

    曾經(jīng)在一次宴會(huì)上,股神巴菲特嘗試和他的朋友玩這個(gè)游戲,而這位朋友正是比爾蓋茨,后者察言觀色覺得股神沒安好心,仔細(xì)一算相互的概率發(fā)現(xiàn)果然有陷阱……結(jié)局是兩人相視大笑。

    三、數(shù)學(xué)原理

    為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象,我百思不得其解.因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中,比較運(yùn)算是有傳遞性的。如果兩個(gè)實(shí)數(shù)A>B,且B>C,那么一定有A>C。經(jīng)過與老師的交流和上網(wǎng)查詢,發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象被稱為“非傳遞性骰子”,有點(diǎn)像我們經(jīng)常玩的游戲“石頭剪刀布”,可能會(huì)形成循環(huán)。

    事實(shí)上在很多生活常識和數(shù)學(xué)概念中,傳遞性都是不成立的。

    比如直線a和b共面,b和c共面,而a和c就不一定共面;

    比如直線a和b垂直,b和c垂直,而a和c就不一定垂直;

    比如生活中,甲認(rèn)識乙,乙認(rèn)識丙,甲也不一定認(rèn)識丙;

    上述這樣的例子還有很多。

    我們遇到的“非傳遞性骰子”現(xiàn)象正是一個(gè)不具有傳遞性的數(shù)學(xué)事實(shí),我們只是計(jì)算了其中兩個(gè)的勝負(fù)關(guān)系,用概率這一數(shù)字結(jié)果表現(xiàn)了出來,給人的感覺上好像有大小也就是傳遞關(guān)系,其實(shí)骰子A與B,B與C算出來的概率完全沒有可比性,也就是說二者之間是有勝負(fù)關(guān)系,但是三個(gè)放在一起是沒有必然的強(qiáng)弱關(guān)系的。

    比如足球比賽也常常是這樣.即使A隊(duì)必勝B隊(duì),B隊(duì)必勝C隊(duì),也不能由此推斷A隊(duì)就能必勝C隊(duì),因?yàn)檫@里也是一樣,前面兩個(gè)的勝負(fù)關(guān)系與第三場A與C的勝負(fù)是沒有必然關(guān)系的。

    四、等價(jià)關(guān)系

    經(jīng)過查閱相關(guān)書籍資料,我找到了一個(gè)與傳遞性有關(guān)的數(shù)學(xué)概念——等價(jià)關(guān)系。

    定義:設(shè)是集合上的一個(gè)二元關(guān)系(記作“”),若滿足:

    自反性:.

    對稱性:.

    傳遞性:.

    則稱是定義在上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。與中一個(gè)元素有關(guān)系的所有元素的集合叫做的等價(jià)類。

    比如三角形的相似關(guān)系就是一個(gè)等價(jià)關(guān)系,與某一個(gè)給定三角形相似的所有三角形就構(gòu)成了一個(gè)等價(jià)類;再比如,直線的平行關(guān)系就不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系,因?yàn)樽陨砗妥陨聿⒉黄叫?,所以不滿足自反性,等價(jià)關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種特殊的關(guān)系,實(shí)際上由等價(jià)關(guān)系出發(fā),可以將集合劃分成很多互不相同的等價(jià)類,完成對集合的一種劃分,這也是分類思想在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)。

    比如我們可以將整數(shù)中所有用3除余數(shù)相同的數(shù)看成一類,也就是說,我們將等價(jià)關(guān)系定義成只要兩個(gè)整數(shù)的差能被3整除,它們就是等價(jià)的。這樣一來,整個(gè)整數(shù)集合可以被劃分成3類,我們稱為同余類。這三類中各有一個(gè)代表元:0,1,2.比如0所代表的這一類,也就是能被3整除的所有整數(shù),由于傳遞性,它們不僅都和0是等價(jià)的,互相也是等價(jià)的。這樣一來,所有能被3整除的整數(shù)可以看成是“一個(gè)”元素0。同理,1和2就代表了被3整除余數(shù)分別為1和2的另外兩類所有整數(shù)。據(jù)說高斯在研究數(shù)論的時(shí)候就用了同余類,非常著名的中國剩余定理也和這個(gè)有關(guān)。

    老師告訴我,由等價(jià)關(guān)系出發(fā),近代數(shù)學(xué)里還研究了所謂群環(huán)域等概念,也就是更加復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)了……真的是學(xué)海無涯,這也有待我以后大學(xué)生涯的求索吧。

    參考文獻(xiàn):

    [1]葉軍.《如此“有序”?——從“不可遞”骰子說開去》[J].初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),2004(04).

    [2]談祥柏.《神奇的骰子》[J].初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1997(09).

    [3]維基百科.(詞條:等價(jià)關(guān)系,等價(jià)類)

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