計量經(jīng)濟學與統(tǒng)計學相結合的教學設計

張藝 唐更華 黃榮斌

摘 要：概率論和數(shù)理統(tǒng)計是計量經(jīng)濟學最重要的基礎知識，然而在計量經(jīng)濟學的實際教學中常缺乏概率統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟學之間知識點的過渡和銜接，導致學生在學習計量經(jīng)濟學時無法理解其背后的概率統(tǒng)計的理論基礎。針對這一問題，本文論述本科教學中從概率論和數(shù)理統(tǒng)計過渡到計量經(jīng)濟學時常出現(xiàn)的問題，并以本科教材中的普通最小二乘法為案例，分析了概率論，數(shù)理統(tǒng)計和計量經(jīng)濟學之間知識點的關系，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生上述問題的主要原因是概率統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟學的教材的缺乏知識點聯(lián)系和對比。本文最后從教材選擇、課堂方法、教學大綱三方面提出改進教學方法的建議。

關鍵詞：概率論;數(shù)理統(tǒng)計;計量經(jīng)濟學;教學設計

從1998年教育部把計量經(jīng)濟學列入高等學校經(jīng)濟學門類各專業(yè)核心課程之一，計量經(jīng)濟學已經(jīng)成為現(xiàn)代高校經(jīng)管專業(yè)必不可少的核心課程[1]，它和微觀經(jīng)濟學與宏觀經(jīng)濟學一起構成了中國經(jīng)濟管理類本科生和研究生的核心理論課程[2]。近20年來計量經(jīng)濟學課程受到了越來越多的重視，在中國大多數(shù)經(jīng)濟與管理相關的專業(yè)的教學大綱中，計量經(jīng)濟學作為本科公共必修基礎課，一般都要求學生已經(jīng)修完微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等前期課程。事實上計量經(jīng)濟學的基礎知識主要來自于概率論和數(shù)理統(tǒng)計，計量經(jīng)濟學的基本研究過程與概率論和數(shù)理統(tǒng)計是一致的，先設定模型，然后通過樣本抽樣，參數(shù)估計和假設檢驗[3]。

在計量經(jīng)濟學實際教學中發(fā)現(xiàn)，許多同學對統(tǒng)計學中基本概念掌握得很好，依然無法理解計量經(jīng)濟學的內容。主要的原因是已有的計量經(jīng)濟學教材缺乏引導學生從概率論和統(tǒng)計學過渡到計量經(jīng)濟學的相關知識銜接。由于學生在學習這兩門課的過程中，缺失了知識點的過渡和遷移，常常用孤立和割裂的視角來看待計量經(jīng)濟學的內容，這無疑提高了學生學習計量經(jīng)濟學的困難程度。學生不知道將已有的數(shù)學知識與計量經(jīng)濟學相互結合，形成完整的邏輯體系。針對上述問題，本文將論述從概率論和統(tǒng)計學過渡到計量經(jīng)濟學過程中出現(xiàn)的知識點相互割裂的主要問題，闡述造成學生理解困難的原因，并提出相應的改進方法。

一、從概率論與統(tǒng)計學過渡到計量經(jīng)濟學出現(xiàn)的教學問題

雖然大多數(shù)學生在學習計量經(jīng)濟學之前，已經(jīng)學過計量經(jīng)濟學的基礎課程——概率論與數(shù)理統(tǒng)計。但學生在計量經(jīng)濟學學習的過程中，面臨的巨大挑戰(zhàn)是如何將已有的概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識和計量經(jīng)濟學中的知識點相串聯(lián)。造成這一問題的原因主要有：第一，許多計量經(jīng)濟學中的重要知識點，在概率統(tǒng)計中只是簡略的介紹，甚至一帶而過，并未引起學生的重視。第二，許多計量經(jīng)濟學的教材常常忽視概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識點，這可能是由于在歐美的計量經(jīng)濟學課程，并不要求學生前期修過概率論和數(shù)理統(tǒng)計。所以中國在引進的國外的計量經(jīng)濟學教材后，也沒有在課程上復習概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識。為了具體說明教學中遇到的問題，本文以本科計量經(jīng)濟學教學大綱中最主要的教學內容：經(jīng)典線性回歸的最佳線性無偏性質和違反基本假設造成的后果兩個重要的知識章節(jié)作為案例說明。

（一）經(jīng)典線性回歸估計的最佳線性無偏性

經(jīng)典線性回歸估計的最佳線性無偏性是小樣本理論下的普通線性回歸的最重要的性質，大多數(shù)本科計量經(jīng)濟學教材最前面的2-3章都是介紹這一內容，例如國內最常用的教材李子奈的教材《計量經(jīng)濟學》[4]和國外的伍德里奇的教材《計量經(jīng)濟學導論：現(xiàn)代觀點》[5]等。學生對這一內容的理解程度也將直接影響到計量經(jīng)濟學的后續(xù)學習。然而對于學完概率論與數(shù)理統(tǒng)計的同學來說，雖然他們學過隨機變量的數(shù)字特征，包括期望和方差，還有n階原點距以及n階中心距的內容。但他們在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課程中并沒有接觸過無偏性和有效性的概念，事實上，就計量經(jīng)濟學的本質來說。無偏性就是用一階中心距來計算，有效性則用二階中心矩來衡量。而這兩個概念在在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課程中都已經(jīng)學過，但如果在計量經(jīng)濟學的教學中不特別加以說明，學生很難意識到兩者之間的聯(lián)系。學生難以理解的另一個原因在于，在數(shù)理統(tǒng)計課程中，關于中心矩的介紹很簡略，許多學生可能并沒有意識到其在計量經(jīng)濟學中的重要性，而計量經(jīng)濟學教材中往往忽視對概率統(tǒng)計的中心矩的介紹，導致學生采取一種割裂的視角，無法建立一個統(tǒng)一的思維框架。

在計量經(jīng)濟學的教學中，常常遇見許多同學難以理解為什么要用最優(yōu)線性無偏性來衡量最小二乘法的優(yōu)劣？因為大多數(shù)計量經(jīng)濟學教材往往直接介紹最小二乘法種種優(yōu)良性質，在同學們不熟悉無偏性和有效性與中心矩之間關系的前提下，直接引入這兩個概念往往顯得突兀，學生在學完了線性最小二乘法的最優(yōu)線性無偏性之后，仍然會產(chǎn)生為什么要用這兩個指標來衡量的疑問。更合理的方法是，可以在介紹最小二乘法的內容之前，先介紹均方誤差的概念來引入無偏性和最小方差兩個概念，這與數(shù)理統(tǒng)計中如何衡量參數(shù)估計的性質等內容部分是一脈相承的，學生如果學過了數(shù)理統(tǒng)計學，就很容易理解均方誤差的概念。關于這種過渡知識的介紹，已有計量經(jīng)濟學教材在這方面做了很好的改進，例如陳強著的計量經(jīng)濟學教材[6～7]，與許多其他的計量經(jīng)濟學教材不同，他并不是在計量經(jīng)濟學教材中直接介紹最小二乘法具有最優(yōu)線性無偏性的性質。而是在還沒有引入最小二乘法之前，先介紹了如何評價參數(shù)估計的優(yōu)劣，即介紹均方誤差的方法，均方誤差可以進一步分解成方差和偏差平方之和。偏差平方等于零就是無偏性的證明，方差最小就是有效性的證明，這種分解方法可以直觀的表示為什么線性回歸的最小二乘法估計會得到最佳線性無偏的優(yōu)良性質。因為這種對參數(shù)估計優(yōu)劣的評價是通用于所有的參數(shù)估計，而不僅僅是對最小二乘法。同學在理解了評價參數(shù)估計的方法之后，就不會再對最小二乘法最優(yōu)線性無偏性的證明過程感到難以理解了，這有助于同學們理解如何從數(shù)理統(tǒng)計過渡到計量經(jīng)濟學的相關知識。

（二）違反基本假設對最優(yōu)線性無偏性的影響

當違反普通最小二乘法的基本假設時，其最優(yōu)線性無偏性會如何受到影響？許多同學常常依靠背誦的方法記住違反了每一條假設產(chǎn)生的后果，正如已有研究中所指出的[8]。這會導致學生混淆違反不同基本假設與產(chǎn)生后果之間的關系。古典線性回歸模型是基于以下四條假設而得出的最優(yōu)線性無偏的優(yōu)良性質，第一，線性假定;第二，嚴格的外生性;第三，不存在嚴格多重共線性;第四，球形擾動項。事實上，在對于無偏性的證明當中，并沒有用到第三條和第四條假定。第一條假定可以通過設定線性方程的形式來保證實現(xiàn)，一般我們可以假設其滿足。所以，影響無偏性最重要的假定是第二條嚴格外生性。第二條假設也是最容易違反的，而且直觀上并不能看出是否違反了第二條假設，也很難使用計量的統(tǒng)計方法來檢測第二條假設是否被違反。事實上我們所有關于線性回歸方程內生性的討論，都是基于違反的嚴格外生性的假定而展開的。只有違反第二條假設，最終的估計才是有偏的，而違反第三條和第四條假設，并不會對估計結果的無偏性產(chǎn)生影響。在教學中發(fā)現(xiàn)，許多同學最容易犯的一個錯誤，就是他們常常認為違反多重共線性或者球形擾動項的假設都會影響無偏性的估計。以至于他們認為所有變量之間不可以存在任何相關性，或者認為不可以存在異方差和自相關，否則他們認為會導致估計結果有偏，這都是錯誤的觀念。究其原因，還是因為沒有理解在推導無偏性中所使用的概率論與數(shù)理統(tǒng)計學的相關知識。這里所需要期望的概念，同學們在數(shù)理統(tǒng)計中已經(jīng)學過，但是另一個重要的知識點——迭代期望定律，在本科生概率論和數(shù)理統(tǒng)計課程中一般并不會介紹，如果在推導普通最小二乘回歸的無偏性之前，先介紹迭代期望定理，則可以讓同學們很容易理解整個推導過程，從而理解得到無偏性所需要的假設，并可以推導出違反不同假設對最優(yōu)線性無偏產(chǎn)生的影響。

二、統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟學相結合的教學改進方案

上述介紹的從概率論和數(shù)理統(tǒng)計學過渡到計量經(jīng)濟學教學過程中出現(xiàn)的問題及原因，這些是高校計量經(jīng)濟學教學過程中常出現(xiàn)的現(xiàn)象。結合教學實踐和相關教學研究，筆者提出以下改進的方法和建議。

總體而言，在計量經(jīng)濟學的教學過程當中，推薦多采用互動式的教學方法，對于一些非常新的概念和知識點，先讓同學分組討論，由此可以了解他們的概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎，并且讓同學們嘗試應用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識推導出計量經(jīng)濟學的結論，在此基礎上。教師可以知道學生已有的知識儲備和知識缺口，同時能夠很好的將計量經(jīng)濟學的新知識和他們的知識儲備相連接，幫助學生從概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識點過渡到計量經(jīng)濟學的知識點，建立一個整體的知識框架，在具體實踐中可以采用以下方法。

（一）計量經(jīng)濟學教材的選擇

在計量經(jīng)濟學教材的選擇方面，最好選用計量經(jīng)濟學教材在介紹最小二乘法內容之前，先復習概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識。雖然有些教材將這部分知識放到了附錄部分，但是在實際教學過程中，往往忽略對這一部分基礎知識的介紹。所以更合適的方法是先介紹完概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識，比如，最重要的知識點包括條件概率、條件分布、數(shù)字特征，迭代期望定理，隨機變量的性質、假設檢驗、統(tǒng)計推斷、大數(shù)定理和中心極限定理、隨機過程等。讓同學們在學習計量經(jīng)濟學之前能夠回憶起已經(jīng)學過的概率論和數(shù)理統(tǒng)計基礎知識。尤其對學生后期進一步學習最小二乘法的性質的數(shù)學推導過程和性質非常有幫助。

（二）課堂教學的改進方案

在課堂教學方面可以采用“學生分組討論+教師講解+課后習題演練”三者相結合的方法，傳統(tǒng)的教學方式往往重視教師的講解和課后的習題演練。而忽視學生的分組討論，雖然學生分組討論在學生較多的時候很難開展，尤其是在總學時有限的情況下。但是，如果在課堂上給出五分鐘，讓同學們能夠自行討論，并反饋他們對于計量經(jīng)濟學推導過程的理解，將有助于老師掌握學生真實的基礎知識，尤其在不知道他們掌握了哪些概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識的前提下，一味的介紹計量經(jīng)濟學的相關知識，往往無法在他們已有知識庫和新的知識之間建立很好的鏈接。造成學生在理解計量經(jīng)濟學的推導過程中采用孤立的視角，無法跟他們之前的概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識點形成有效的聯(lián)系，最終無法建立更加統(tǒng)一的知識框架和體系。

（三）教學大綱的優(yōu)化方案

對于本科階段計量經(jīng)濟學的教學，現(xiàn)有的教材在不同教學知識點的安排上并不十分合理。應該根據(jù)學生掌握的概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎情況，提出更合理的計量經(jīng)濟學的教學大綱。比如，從目前國內比較流行的計量經(jīng)濟學教材來看，往往會花很多筆墨來介紹小樣本理論的普通最小二乘法的推導過程和相關性質，尤其是在違反了不同假設之后所導致的不同后果。許多教材都會介紹當擾動項存在異方差和自相關時，會產(chǎn)生什么樣的后果，并提出多種不同的解決方法。但在計量經(jīng)濟學的實際應用當中，這兩種違反假設產(chǎn)生的后果并不十分嚴重，在使用計量軟件進行回歸處理的方法非常簡單。這與實際教學中所花費的學時不相符。另外，在計量經(jīng)濟學的理論教學中，往往會花很多時間來介紹多重共線性對于回歸結果產(chǎn)生的影響，但在實際應用當中，我們并不經(jīng)常討論多重共線性的問題，除非是存在著非常嚴重的多重共線性，因為當建立回歸的模型時，我們就會考慮變量之間的多重共線性問題，盡量避免使用多重共線性很嚴重的變量。而不是通過后期的測量多重共線性的方法來刪除相關變量，因為如果該變量納入到回歸方程中，一般情況下我們首先應考慮其理論意義，而不是為了降低多重共線性將其刪除，如果刪除一個相關的變量，則有可能會因為刪除一個重要的控制變量，導致最終的回歸結果產(chǎn)生偏誤，最終反而得不償失。

上述內容越來越被計量經(jīng)濟學的研究者所認識到，目前，計量經(jīng)濟學正發(fā)生可信性革命性[9]。傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟學教材需要在相關的教學內容上做進一步的調整，以適應計量經(jīng)濟學的不斷發(fā)展和變化[10]。所以對于在一些理論上推導復雜，但是實際應用中簡單的相關知識，應當在教學中多介紹概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識來推導模型，并說明推導過程中違背假設所導致的后果以及實際處理方法，如果學生能夠運用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識來理解不同的假設條件下的推導過程，將對他們在實踐中處理各種計量經(jīng)濟學的相關問題大有裨益。

三、結論

概率論和數(shù)理統(tǒng)計是計量經(jīng)濟學最重要的基礎課程，兩者之間有著密不可分的天然聯(lián)系[11]。但是在實踐教學中常常忽略兩者之間的聯(lián)系。本文介紹了從概率論和數(shù)理統(tǒng)計過渡到計量經(jīng)濟學過程中出現(xiàn)的教學問題，并以計量經(jīng)濟學中的教學內容中常常出現(xiàn)的問題作為案例，詳細闡述了經(jīng)典線性回歸估計的最優(yōu)線性無偏性、違反最小二乘法的基本假設所產(chǎn)生的后果、和大樣本理論的相關性質。產(chǎn)生這些問題的原因在于，一方面，許多計量經(jīng)濟學的重要知識點在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中只是簡單的介紹，并沒有引起學生足夠的重視，導致學生對這些知識點掌握的不夠。另外一方面，許多計量經(jīng)濟學的教材在介紹其主要內容之前，并不詳細介紹相應的概率論和數(shù)理統(tǒng)計的相關知識點，使得學生無法將計量經(jīng)濟學理論和已有的概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識相聯(lián)系，從而產(chǎn)生概率論和數(shù)理統(tǒng)計到計量經(jīng)濟學的知識體系間的割裂。因此，本文從計量經(jīng)濟學教材的選擇、教學課堂教學方法、以及教學大綱的優(yōu)化等三方面都提出了相應的改進方法和建議。

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