作圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)程，關(guān)聯(lián)問題走向深處

劉東升 涂春華

摘要：人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》的第1節(jié)《圓的有關(guān)性質(zhì)》、第2節(jié)《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系》內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng)，可以放在一個(gè)課時(shí)中復(fù)習(xí)。對(duì)于這節(jié)課，可以選擇特殊三角形，通過作外接圓、內(nèi)切圓等作圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)程;在作圖的基礎(chǔ)上，打磨關(guān)聯(lián)問題串，促進(jìn)學(xué)生想深、悟透;在解題的過程中，預(yù)設(shè)結(jié)構(gòu)化板書，用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí);同時(shí)，關(guān)注經(jīng)典例題、習(xí)題，讓中考真題融入學(xué)程。

關(guān)鍵詞：《圓》復(fù)習(xí)課作圖活動(dòng)關(guān)聯(lián)問題結(jié)構(gòu)化板書

章末復(fù)習(xí)課沒有現(xiàn)成的教材，如何進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)？如何精選或精編問題作為例題、習(xí)題？這些都是章末復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的重點(diǎn)與難點(diǎn)所在。

人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》的內(nèi)容較多，章末復(fù)習(xí)通常要花2—3個(gè)課時(shí)。其中，第1節(jié)《圓的有關(guān)性質(zhì)》、第2節(jié)《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系》內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng)，可以放在一個(gè)課時(shí)中復(fù)習(xí)。對(duì)于這節(jié)課，我們?cè)O(shè)計(jì)以作圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)復(fù)習(xí)進(jìn)程，并在學(xué)生作圖的基礎(chǔ)上漸次生成一些數(shù)學(xué)問題，然后通過對(duì)這些問題的求解達(dá)到復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的目的。實(shí)踐下來，取得了較好的效果。本文整理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供分享與研討。

一、教學(xué)流程

（一）作三角形的外接圓

活動(dòng)1（尺規(guī)作圖）分別作出直角三角形ABC和等邊三角形A′B′C′的外接圓。

教學(xué)組織：安排學(xué)生用圓規(guī)和直尺作出兩個(gè)特殊三角形的外接圓。預(yù)設(shè)以下問題：

問題1下頁圖1中，設(shè)三角形ABC的邊長分別為3、4、5，該三角形的外接圓O的半徑是多少？過點(diǎn)C作AB的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，則弦CD的長為多少？

教學(xué)組織：求解時(shí)，運(yùn)用垂徑定理，復(fù)習(xí)圓的軸對(duì)稱性質(zhì)。

圖1圖2

問題2圖2中，邊長為4的等邊三角形A′B′C′的外接圓O′的半徑是多少？如何證明∠A′O′B′=∠B′O′C′=∠A′O′C′？

教學(xué)組織：求解時(shí)，運(yùn)用了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，復(fù)習(xí)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。

（二）找圓的內(nèi)接四邊形

活動(dòng)2（補(bǔ)全圖形）將直角三角形ABC繞斜邊AB中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，將等邊三角形A′B′C′繞邊A′C′中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°。

教學(xué)組織：將直角三角形繞斜邊中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到矩形ACBD;將等邊三角形繞一邊中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到菱形A′B′C′D′。預(yù)設(shè)以下問題：

問題3圖3中，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上嗎？為什么？連接CD，弦CD的長是多少？作∠ACB的平分線，交圓于點(diǎn)P，求弦CP的長。

教學(xué)組織：追問矩形的四個(gè)頂點(diǎn)是否都在同一個(gè)圓上，可以引導(dǎo)學(xué)生再次復(fù)習(xí)圓的定義、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對(duì)角互補(bǔ)）;而求弦CP的長，則需要構(gòu)造出等腰直角三角形進(jìn)行分析，是一道比較經(jīng)典的習(xí)題（在圖3中，有AC+BC=2PC）。

圖3圖4

問題4圖4中，菱形A′B′C′D′的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上嗎？為什么？在C′D′、A′D′上分別取點(diǎn)E′、F′，使C′E′=D′F′，連接A′E′、C′F′，設(shè)它們交于點(diǎn)G′。有人說A′、B′、C′、G′四點(diǎn)共圓。你覺得有道理嗎？能否求出B′G′的最大值？

教學(xué)組織：學(xué)生可以利用全等求出∠A′G′C′=120°。通過這道題讓學(xué)生從正、反兩個(gè)角度理解圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對(duì)角互補(bǔ)）。學(xué)生如果基礎(chǔ)較好，可以跟進(jìn)“求出B′G′的最大值”。事實(shí)上，此時(shí)B′G′的最大值恰為該圓的直徑。此外，還可以結(jié)合學(xué)情，鏈接以下這道南京中考題：

△ABC中，∠A=60°，BC=4，∠ABC<∠ACB，指出邊AB的取值范圍。

（三）作三角形的內(nèi)切圓

活動(dòng)3（尺規(guī)作圖）分別作出直角三角形ABC和等邊三角形A′B′C′的內(nèi)切圓。

教學(xué)組織：安排學(xué)生作出兩個(gè)特殊三角形的內(nèi)切圓。預(yù)設(shè)以下問題：

問題5圖5中，設(shè)三角形ABC的邊長分別為3、4、5，該三角形的內(nèi)切圓O與三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，求⊙O的半徑以及AD、BD的長，并用不同的方法求△ABC的面積。

圖5

教學(xué)組織：學(xué)生求三角形面積時(shí)，可能會(huì)求兩條直角邊乘積的一半，或者斜邊與斜邊上的高乘積的一半，或者內(nèi)切圓半徑與三角形周長乘積的一半。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比AD·BD與△ABC的面積是否相等，并對(duì)問題作“一般化”思考：設(shè)AD=3，BD=4，對(duì)比AD·BD與△ABC的面積是否相等。然后，安排學(xué)生課后繼續(xù)挑戰(zhàn)思考：證明直角三角形ABC的面積等于AD·BD。

問題6圖6中，設(shè)等邊三角形A′B′C′的內(nèi)切圓O′與三邊的切點(diǎn)分別為D′、E′、F′，求⊙O′的半徑，并比較A′D′·C′D′與△ABC面積之間的關(guān)系。

圖6

教學(xué)組織：等邊三角形內(nèi)切圓的半徑容易求出，可以引導(dǎo)學(xué)生分析與前面的等邊三角形外接圓半徑之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，對(duì)比問題5中提到過的A′D′·C′D′與△A′B′C′面積的關(guān)系（S△A′B′C′=3A′D′·C′D′）。

（四）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

結(jié)合上述復(fù)習(xí)進(jìn)程中的一些知識(shí)梳理，將本節(jié)課的內(nèi)容完善成如圖7所示的結(jié)構(gòu)化板書。

課后作業(yè)，設(shè)計(jì)如下兩道挑戰(zhàn)問題：

1.直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。在邊AC上（不包括端點(diǎn)）取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE為半徑作圓，當(dāng)⊙D與邊AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，分析CD的取值范圍。

2.三角形ABC中，∠A=60°，內(nèi)切圓與邊BC相切于點(diǎn)D，若BD=m，CD=n，求△ABC的面積。（用含m、n的式子表示）

二、教學(xué)立意

（一）選擇特殊三角形，用作圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)程

本節(jié)課預(yù)設(shè)的前三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都從兩個(gè)特殊的三角形（邊長分別為3、4、5的直角三角形和等邊三角形）出發(fā)，分別作它們的外接圓、內(nèi)切圓，并將它們補(bǔ)成矩形和菱形（為復(fù)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形服務(wù)）。這三個(gè)活動(dòng)能有效復(fù)習(xí)《圓》這一章中幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)和操作技能，同時(shí)又為生成新的問題提供了圖形背景，使得學(xué)生在思考相關(guān)問題時(shí)，不必再重新理解新的問題背景或“題干”條件，也使得各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間平滑地過渡，達(dá)到較好的“轉(zhuǎn)場(chǎng)”效果。圖7

（二）打磨關(guān)聯(lián)問題串，促進(jìn)學(xué)生想深、悟透

本節(jié)課設(shè)計(jì)的一些問題都是精心打磨而成的，意圖通過高質(zhì)量的系列問題漸次展開，促進(jìn)學(xué)生想深、悟透，達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的學(xué)習(xí)效果。如，活動(dòng)1針對(duì)兩個(gè)特殊的三角形探求了它們外接圓的半徑，并關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)了垂徑定理以及弧、弦、圓心角之間的關(guān)系;活動(dòng)2安排了系列問題，有效復(fù)習(xí)了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并逆向思考了“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”，還鏈接了一道較難的南京中考題，滲透了“定弦定角問題”的構(gòu)圖分析法;活動(dòng)3安排學(xué)生在作出兩個(gè)特殊三角形的內(nèi)切圓后，分別求出它們內(nèi)切圓的半徑，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考兩個(gè)三角形面積的不同計(jì)算方法，結(jié)合學(xué)情相機(jī)追問，滲透從特殊到一般的研究方法;另外，在課堂小結(jié)后設(shè)計(jì)的課后挑戰(zhàn)問題也是活動(dòng)3中問題5、問題6的遞進(jìn)深入，學(xué)生研習(xí)之后可將這一類問題想深、悟透。

（三）預(yù)設(shè)結(jié)構(gòu)化板書，用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí)

在復(fù)習(xí)課的知識(shí)梳理環(huán)節(jié)，可將復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容或知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)成結(jié)構(gòu)化板書，在復(fù)習(xí)相關(guān)問題時(shí)將提到的內(nèi)容或知識(shí)點(diǎn)書寫在黑板上的相應(yīng)位置，待課堂小結(jié)時(shí)完善結(jié)構(gòu)化板書。本節(jié)課，我們借鑒了思維導(dǎo)圖的構(gòu)思，讓學(xué)生從圓的定義、圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等方面理解圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。需要說明的是，我們?cè)O(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化板書是漸次呈現(xiàn)的，而且是伴隨著學(xué)程的推進(jìn)，對(duì)學(xué)生解題過程中提到的依據(jù)，由教師或?qū)W生即時(shí)寫在黑板上的相應(yīng)位置（教師要有黑板區(qū)域的規(guī)劃，做到心中有數(shù)）的。這樣，在最后小結(jié)時(shí)，適當(dāng)修改、勾畫、聯(lián)結(jié)，就可以得出完善的結(jié)構(gòu)化板書。

（四）關(guān)注經(jīng)典例題、習(xí)題，讓中考真題融入學(xué)程

毋庸諱言，九年級(jí)復(fù)習(xí)課還要關(guān)注學(xué)生的“眼前利益”，即精準(zhǔn)備考。在這個(gè)方向上，目前的復(fù)習(xí)課有一個(gè)習(xí)題選取的誤區(qū)，即從全國各地中考試題中找一些適合本節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容的新題，然后投入大量精力在這些試題的訓(xùn)練、講評(píng)上。其實(shí)，這樣盲目地選練新穎考題的做法，擠占了關(guān)注教材例題、習(xí)題以及本地考題的深度學(xué)習(xí)的時(shí)間，是本末倒置。本節(jié)課中，我們選取的一些問題都是從教材典型例題、習(xí)題或南京（執(zhí)教班級(jí)為南京一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校的一個(gè)班）中考真題改編而來的，既引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，又對(duì)本地中考的命題方向保持關(guān)注，體現(xiàn)了精準(zhǔn)備考的選題追求。事實(shí)上，這也啟示我們章節(jié)復(fù)習(xí)的一種教學(xué)思路：教師深入研究教材典型問題，深度解析本地中考真題，并適當(dāng)簡(jiǎn)化、變式或拓展，從而帶領(lǐng)學(xué)生有效復(fù)習(xí)、精準(zhǔn)備考。

本文系江蘇省南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘三學(xué)’理念的初中數(shù)學(xué)課例研究”（編號(hào)：ZX2018007）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

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[2]?劉東升.從幾何研究的基本方法出發(fā)——用“作圖”驅(qū)動(dòng)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（6）.

[3]?劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環(huán)節(jié)——中考二輪微專題復(fù)習(xí)課《無處不在的邊角關(guān)系》教學(xué)流程與立意[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（4）.