在“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

何其洪

【摘要】 ?數(shù)學(xué)思想是初學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)理論的思考和對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)認(rèn)知，也是幼年期兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種理解方法，正確的數(shù)學(xué)思想植入對(duì)幼齡期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的孩童有著重要的意義。而“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容貼近于孩童的生活活動(dòng)，孩童能在生活細(xì)節(jié)中發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題，而數(shù)學(xué)思想的融入有利于學(xué)生在生活中對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行思考。在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師抓住學(xué)生的興趣和好奇心進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中能夠結(jié)合學(xué)生的日常生活進(jìn)行教育，給予具體的數(shù)學(xué)方法，用優(yōu)良的教育方式和數(shù)學(xué)思想為學(xué)生樹(shù)立正確的思想觀念。數(shù)學(xué)思想在統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中可具體體現(xiàn)為轉(zhuǎn)換法、分類(lèi)思想和簡(jiǎn)化思想，這三種思想涉及到抽象、推理和模型構(gòu)建三大思維體系中，需要在具體場(chǎng)景中加以利用，才能達(dá)到其具體的思想意境，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的作用，理解數(shù)學(xué)思想的精髓，并在將來(lái)的學(xué)習(xí)中正確使用。

【關(guān)鍵詞】 ?基礎(chǔ)認(rèn)知 貼近生活 思想觀念 思維體系 正確使用

【中圖分類(lèi)號(hào)】 ?G623.5 ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）07-176-02

轉(zhuǎn)換法、分類(lèi)思想和簡(jiǎn)化思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，如果能在“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)中得到合理的利用，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知將有著極大的幫助。例如將陌生的數(shù)學(xué)場(chǎng)景轉(zhuǎn)換成熟悉的生活場(chǎng)景，將繁雜的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行分類(lèi)處理，將復(fù)雜的概率問(wèn)題進(jìn)行合并簡(jiǎn)化等等。本論文摘錄幾個(gè)課堂教學(xué)片斷，著重介紹這三類(lèi)數(shù)學(xué)思想在“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中的正確運(yùn)用。

一、在概率問(wèn)題中利用轉(zhuǎn)換法思想

概率與統(tǒng)計(jì)是小學(xué)生數(shù)學(xué)教育中應(yīng)當(dāng)掌握的一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)技能，但在概率問(wèn)題中，由于其數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)象的繁多，涉及物品數(shù)量較多以及抽象化的場(chǎng)景，使得學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)中概率的問(wèn)題。轉(zhuǎn)換法可以認(rèn)為是一種轉(zhuǎn)換思想，將陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題場(chǎng)景切換到一種學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景或者認(rèn)知當(dāng)中，使得學(xué)生能更好的在問(wèn)題中找出解答思路，這種方法在概率問(wèn)題領(lǐng)域體現(xiàn)得尤為突出。對(duì)于小學(xué)中較為簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，教師可以將概率問(wèn)題的場(chǎng)景切換成生活中常見(jiàn)的問(wèn)題場(chǎng)景，從而實(shí)現(xiàn)了場(chǎng)景的遷移，思想的轉(zhuǎn)換，問(wèn)題的解決，也促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

課例回放——“暗箱抽球”教學(xué)片斷

師：同學(xué)們，請(qǐng)大家翻開(kāi)課本第99頁(yè)，思考第6題連線(xiàn)題，想想每個(gè)箱子與每段話(huà)的聯(lián)系？

（課件呈現(xiàn)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第99頁(yè)例第6題。）

師：圖中箱子給出了什么數(shù)學(xué)信息？方框里每句話(huà)又是什么意思？他們之間又有什么聯(lián)系呢？怎么將這個(gè)問(wèn)題代入到我們熟悉的生活中進(jìn)行解答呢？

生：每句話(huà)都好像意思相同，不知道有什么區(qū)別？

師：那像這種一個(gè)箱子里有不同顏色，形狀相同的小球，我們又看不到只能隨便拿一顆出來(lái)看，大家想一想，我們?cè)谏钪袝?huì)遇到怎樣的場(chǎng)景會(huì)跟它相同呢？

生：在抽簽的時(shí)候，老師兒童節(jié)給我們送禮物的時(shí)候等等。

師：那我們將這種箱子里拿小球的場(chǎng)景想像成老師兒童節(jié)給大家發(fā)糖果的場(chǎng)景吧。盒子里有五顆球，那你們就可以想想老師有五盒糖果，隨機(jī)抽一盒發(fā)給大家。那么現(xiàn)在老師手上有五盒紅糖果，隨機(jī)拿一盒給你們，那么你們每個(gè)人是不是每個(gè)人都是紅糖果。

生：是的，因?yàn)槔蠋熌闶稚衔搴卸际羌t糖果，我們不可能拿到黃糖果。

師：好，那對(duì)應(yīng)題目盒子里只有五顆紅球，那應(yīng)該對(duì)應(yīng)下面哪些方框？

生1：老師手里只有五盒紅糖，我們只能拿到紅糖，不可能拿到黃糖。對(duì)應(yīng)書(shū)本中箱子里只有五顆紅球，那么不可能摸到黃球，一定能摸到紅球。

師：非常好，那么我們難度加大，老師現(xiàn)在有三盒黃糖果，兩盒紅糖果，現(xiàn)在只能給我們班一盒，你們拿到哪盒糖的概率小？

生：紅糖，因?yàn)辄S糖有三盒，紅糖有兩盒，黃糖比紅糖多，拿到紅糖幾率比較小。

師：非常好，那么對(duì)應(yīng)我們概率題目的哪個(gè)盒子？應(yīng)該聯(lián)系哪一個(gè)方框？

生：2個(gè)紅球3個(gè)黃球，在五個(gè)箱子摸到紅球的可能性小。摸到黃球的可能性比紅球可能性大。

師：好的，這就是我們的概率問(wèn)題解答，不管是老師手里有五顆糖，還是箱子里有五顆球，總數(shù)都是五，那么在這個(gè)總數(shù)中，不同顏色的東西會(huì)占據(jù)這個(gè)總數(shù)的一定的比例，就好像五盒糖，紅糖兩盒，黃糖三盒，那么紅糖就是五分之二，黃糖就是五分之三。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考表述：因?yàn)槲宸种笥谖宸种?，所以拿到黃糖的概率比較大，拿到紅糖概率比較小，如果老師手中都是紅糖，那么拿到紅糖概率就是1，黃糖就是0。

思考 概率數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活之間有著十分密切的關(guān)系，同時(shí)在小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中，概率的問(wèn)題會(huì)較為簡(jiǎn)單，十分適合將這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成現(xiàn)實(shí)生活中熟悉的場(chǎng)景，讓學(xué)生進(jìn)行思考討論。我認(rèn)為教學(xué)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生如何正確的將概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實(shí)生活的簡(jiǎn)單問(wèn)題，因此，本課始終緊扣“場(chǎng)景相同，而不是相似”展開(kāi)探究。如：在我提問(wèn)：“我們?cè)谏钪袝?huì)遇到怎樣的場(chǎng)景會(huì)跟他相同呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)往現(xiàn)實(shí)生活場(chǎng)景進(jìn)行遷移，那么許多學(xué)生就會(huì)回答出跟書(shū)本場(chǎng)景極其相同的一些生活場(chǎng)景，且都符合本題要求。另外在場(chǎng)景的挑選時(shí)，有學(xué)生回答生活中的抽獎(jiǎng)事件，該事件確實(shí)符合本題場(chǎng)景遷移，但是由于現(xiàn)實(shí)中抽獎(jiǎng)活動(dòng)的基數(shù)比較大，容易對(duì)初學(xué)的學(xué)生造成一定的計(jì)算困擾，同時(shí)復(fù)雜化了本題的解答，所以我果斷摒棄了該場(chǎng)景的植入，并在課后告訴學(xué)生，在場(chǎng)景轉(zhuǎn)換時(shí)，切忌不能將場(chǎng)景復(fù)雜化，而是相同進(jìn)行轉(zhuǎn)換。例如課堂上五個(gè)紅球和五盒紅糖之間的轉(zhuǎn)換，它們之間只是形態(tài)上發(fā)生了轉(zhuǎn)變，而在問(wèn)題的本質(zhì)上卻沒(méi)有任何的變化。

實(shí)踐使我體會(huì)到：合理的運(yùn)用轉(zhuǎn)換法，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的想象能力和抽象能力，還可以在未來(lái)更為復(fù)雜的題型中加以利用，使得學(xué)生將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成與自身息息相關(guān)的生活趣事，充分激發(fā)學(xué)生思考活動(dòng)，從而快速找到解決的辦法。

二、在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中利用分類(lèi)思想

在數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，多數(shù)題目都具備有信息量大，信息種類(lèi)雜多的情況，若單一把它們整理統(tǒng)計(jì)起來(lái)，會(huì)形成一種雜亂不堪的集合，讓學(xué)生有種頭腦錯(cuò)亂的感覺(jué)。所以將這些信息進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)每組數(shù)據(jù)其獨(dú)有的共性，將它們整合起來(lái)，分成一類(lèi)數(shù)據(jù)集合，貼上信息標(biāo)簽，這就是分類(lèi)思想在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題上的合理運(yùn)用。

課例回放——“解決我國(guó)人口數(shù)據(jù)及年齡結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖問(wèn)題”教學(xué)片斷。

師：請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)六年級(jí)下冊(cè)課本第99頁(yè)，閱讀第9題，思考在這個(gè)圖中大家能找出什么有用的信息？

生：有年齡，有人口數(shù)，有年份，有歲數(shù)，有百分比，有數(shù)字

師：大家說(shuō)得對(duì)，那么你們知道里面每個(gè)數(shù)字代表什么意思嘛，例如28774這個(gè)數(shù)字。

生：意思是2002年我國(guó)0-14歲的人有28774萬(wàn)人。

師：那表里面那個(gè)7.3呢？

生：（學(xué)生眾說(shuō)紛紜）談?wù)摵笳J(rèn)為是2002年我國(guó)65歲以上的人占了7.3%。

師：好的，那么表中其實(shí)還有其他這樣很多的數(shù)字，如果我們將這些數(shù)字整合在一起，就會(huì)形成一堆數(shù)字集合，大家都不知道是什么，請(qǐng)問(wèn)有什么辦法解決呢？

生1：給它們標(biāo)注信息，然后收集起來(lái)。

生2：將它們分成幾個(gè)大塊，整理起來(lái)，標(biāo)注說(shuō)明。

師：嗯，意思很接近了，這種方法叫做分類(lèi)思想，就是找出這些信息的共同特點(diǎn)，那么這些有共同特點(diǎn)的數(shù)據(jù)就應(yīng)該歸成一類(lèi)，然后我們根據(jù)這個(gè)共同特點(diǎn)，給他們一個(gè)名稱(chēng)，統(tǒng)計(jì)起來(lái)。

師：大家剛才說(shuō)那個(gè)28774指的是人數(shù)，那么我們要將人數(shù)的數(shù)據(jù)找出來(lái)，統(tǒng)計(jì)起來(lái)，在表中有哪些呢？

生：22164，90302……

師：非常好，那么我們把這些數(shù)據(jù)整理出了一共是這些，我們要貼上他們的標(biāo)簽——我國(guó)人數(shù)，其實(shí)我們?cè)谶@個(gè)整體中，還可以在進(jìn)行分類(lèi)，比如2002年的我國(guó)人數(shù)，就包含在這個(gè)我國(guó)人數(shù)數(shù)據(jù)中，我們還要將它找出來(lái)，再分類(lèi)集合。這就是集合思想，把一個(gè)龐大的數(shù)據(jù)集體分散成多個(gè)簡(jiǎn)單，信息獨(dú)特的小集體的思想，在統(tǒng)計(jì)中會(huì)有著很好的利用。

思考 這是人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本的一個(gè)思考，它沒(méi)有具體提問(wèn)學(xué)生一個(gè)問(wèn)題，甚至沒(méi)有要求學(xué)生給出一個(gè)準(zhǔn)確的答案。而是讓學(xué)生在這副統(tǒng)計(jì)圖中發(fā)現(xiàn)一些信息所在。學(xué)生在看到這道題后，經(jīng)常會(huì)處于迷茫，因?yàn)樵谶@個(gè)表中隱含了太多的數(shù)據(jù)，太多的信息，如果將這些數(shù)據(jù)全部寫(xiě)出，那么將會(huì)形成一個(gè)雜亂的數(shù)據(jù)集合。分類(lèi)思想的運(yùn)用，不僅將這個(gè)大集合進(jìn)行拆散，重新整合分類(lèi)，使得學(xué)生理解每個(gè)分類(lèi)后整體的含義，體會(huì)分類(lèi)思想便利性。相同信息的整理和統(tǒng)計(jì)，決定了數(shù)據(jù)能夠達(dá)到合理分類(lèi)的效果。

實(shí)踐使我體會(huì)到：運(yùn)用分類(lèi)思想去處理統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題，其目的是使得復(fù)雜的數(shù)據(jù)群趨向于多個(gè)簡(jiǎn)單、信息簡(jiǎn)便的數(shù)據(jù)小集合，分類(lèi)思想是攻克各種復(fù)雜統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的武器。

三、在概率問(wèn)題中利用簡(jiǎn)化思想

“統(tǒng)計(jì)與概率”是集中抽象思想和邏輯推理的教學(xué)內(nèi)容，在某些問(wèn)題上，如果單從題目信息進(jìn)行思考后，往往難以得出正確的答案，而簡(jiǎn)化思想的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)了概率問(wèn)題的簡(jiǎn)易化。充分運(yùn)用教材中的素材，使學(xué)生在遇到困難問(wèn)題的時(shí)候改變思考方式，簡(jiǎn)化問(wèn)題實(shí)質(zhì)，這是一種特殊的數(shù)學(xué)思想。

課例回放——“球隊(duì)獲勝概率”教學(xué)片斷。

師：大家翻開(kāi)六年級(jí)下冊(cè)書(shū)本第99頁(yè)，閱讀第7題，大家覺(jué)得哪一個(gè)球隊(duì)獲勝幾率高？

生：一樣高。

師：為什么？

生;第一場(chǎng)甲隊(duì)贏了，第二場(chǎng)甲隊(duì)贏了，第三場(chǎng)甲乙兩隊(duì)平手，第四場(chǎng)乙隊(duì)贏了，第五場(chǎng)乙隊(duì)贏了，所以它們各獲勝兩次，一次平手，所以一樣高。

師：從表面上看確實(shí)是這樣的，但是大家有沒(méi)有想過(guò)這樣的思想方法會(huì)不會(huì)太復(fù)雜了，只能說(shuō)明兩隊(duì)實(shí)力差不多，再進(jìn)行一場(chǎng)比賽后，可能會(huì)有一方會(huì)稍微勝出一點(diǎn)點(diǎn)。

（小組交流，學(xué)生討論。）

師：大家不妨簡(jiǎn)化下自己的思考，兩個(gè)球隊(duì)踢球，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)贏一個(gè)輸?shù)木置?，現(xiàn)在想象我們一班和二班進(jìn)行比賽，雙方派出一名球員，只要踢進(jìn)一顆球就算哪個(gè)人贏了，那么一班跟二班的比賽情況跟我們剛才思考問(wèn)題得分情況一樣，一班是甲隊(duì)，二班是乙隊(duì)，那么你們覺(jué)得誰(shuí)會(huì)比較強(qiáng)一點(diǎn)？

生：甲隊(duì)，因?yàn)榧钻?duì)踢贏了8顆球，乙隊(duì)踢贏了7顆球，正在比賽的時(shí)候甲隊(duì)比乙隊(duì)略微強(qiáng)一點(diǎn)點(diǎn)。

師：非常好，我這樣簡(jiǎn)化后，大家就很容易理解了。大家最初的時(shí)候的想法是哪一個(gè)隊(duì)贏了，那么就把那個(gè)隊(duì)記為贏了一次，可是兩個(gè)隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，在大體上沒(méi)有差別，但是我們細(xì)算得分，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中還存在這一點(diǎn)點(diǎn)的分?jǐn)?shù)差距。

師總結(jié)：我們剛才的數(shù)學(xué)思想叫做簡(jiǎn)化思想，一開(kāi)始我們思考的對(duì)象是兩個(gè)球隊(duì)，五場(chǎng)比賽來(lái)思考兩個(gè)球隊(duì)的實(shí)力情況。然而經(jīng)過(guò)我們的簡(jiǎn)化后，變成了兩個(gè)人的對(duì)抗，一個(gè)得了8分，一個(gè)得了7分，實(shí)力差距明顯看出。

思考考慮到“統(tǒng)計(jì)與概率”的學(xué)習(xí)到后來(lái)會(huì)越來(lái)越困難，簡(jiǎn)化思想的運(yùn)用是解決概率問(wèn)題的一個(gè)法寶，應(yīng)用起來(lái)對(duì)學(xué)生做題有著事半功倍的作用，我認(rèn)為有必要在教學(xué)過(guò)程中，多次介紹這種思想方法，并闡明其具體運(yùn)用。因此，我充分研讀每道概率問(wèn)題，希望能在問(wèn)題中提煉出其主要本質(zhì)所在，思考這些本質(zhì)，就是最簡(jiǎn)化的思考概率問(wèn)題本身，并展開(kāi)探究式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在操作中，感受到簡(jiǎn)化思想可以摒棄掉很多無(wú)關(guān)緊要的數(shù)學(xué)信息，對(duì)問(wèn)題主要信息進(jìn)行提煉思考。這對(duì)于學(xué)生將來(lái)遇到概率難題時(shí)思考解決方法有幫助，這種方法可以使其在復(fù)雜的邏輯思考中找出最為便捷的通道。

總之，數(shù)學(xué)思想在統(tǒng)計(jì)和概率中的運(yùn)用需要教師在教育過(guò)程中進(jìn)行提煉，需要持之以恒地進(jìn)行探索，為了幫助學(xué)生掌握多種精確、簡(jiǎn)便和高效的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。我們將會(huì)在課后進(jìn)行多次的教學(xué)討論和教學(xué)思考，閱讀書(shū)籍尋找更多的數(shù)學(xué)思想，在課堂中將這些思想進(jìn)行植入，來(lái)提高學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的探索和認(rèn)知能力。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中華人民共和國(guó)教育部制定，北京師范大學(xué)出版社.

[2]黑柳徹子.窗邊的小豆豆[M].?？冢耗虾３霭嫔纾?015-03.

[3]李三思.《數(shù)學(xué)方法的領(lǐng)悟與參透》（《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》）.

[4]林勛歡.《數(shù)學(xué)思想的滲透與傳播》（《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》）.