有效滲透分類思想促進學生數(shù)學思維

王偉群

基本的數(shù)學思想有數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學模型。由這些基本思想演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學思想有很多，其中分類思想就是數(shù)學抽象派生而來。在教學中，我們應有效滲透分類思想，促進學生“數(shù)學地思維”。

在一堂關于“100以內加減法”的練習課中，一位教師將“分類”活動有意識地穿插到教學內容之中。他的目的是引導學生從不同的角度來分析問題——進行合理的分類，從中感受到分類結果再不同標準下的多樣性，感受到不同標準的分類有著不同的意義和作用，從而使學生的思維得到發(fā)展，使不同思想方法得到充分有效的交流。

師：剛才全體小朋友認真地做好了六道100以內的加減計算題，并且做得很對?，F(xiàn)在我們再來仔細觀察這6道題（指34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，91-15=76，83-29=54），如果我們把它們分成兩類。你有什么好辦法？為什么這樣分？

生：我把34+42=76，59+17=76，91-15=76分為一組;把37+17=54，69-15=54，83-29=54分為另一組。

師：你為什么這樣分？

生：因為第一組的結果都是76，第二組的結果都是54，所以要這樣分。

師：想得很好，你是按照什么標準來分的？

生：按照得數(shù)相同來分的。

師：說得對，還有其他辦法嗎？

生：按照加法和減法來分。34+42=76，37+17=54，59+17=76都是加法，剩下都是減法。

師：你們說?？梢詥?？

生：可以。

生：我把34+42=76，69-15=54分為一組，其他算式分為另一組。

師：你為什么要這樣分？

生：34+42=76。69-15=54是不進位加法和不退位減法，其他都是進位加法和退位減法。

師：你真會觀察，也很會動腦筋。

生：我把37+17=54，59+17=76分成一組，其他的分成另一組。

師：你為什么要這樣分呢？

生：因為這兩個算式里都有加數(shù)17，其他的沒有。

師：也是一種分類方法。

生：老師，我有另外一種分法。我把34+42=76分成一組。其他的為另一組。

師：這就奇怪了，為什么呢？

生：因為這個算式里面的加數(shù)都是雙數(shù)，其他的數(shù)都是單數(shù)。

師：小朋友真是太厲害了！老師都沒有想到過也可以這樣。

這樣的教學活動主要集中于分類方法的“多元化”，然而數(shù)學中的分類并不是為了分類而進行分類，而是具有明確的目的性，即分類是為了建立一定的序。所以不應該去追求所謂的“與眾不同”，更不應該主張“分類是非常重要的，標準可以讓學生自己定”，而應當提倡對各種分類方法做出必要的優(yōu)化，進而建立起一定的序。

對于數(shù)學中的分類，不僅要弄清楚為什么要進行分類，還要把握分類的原則，即不重復、不遺漏。例如，在“三角形分類”一課中可以如下開展教學。

師：我?guī)硪粋€信封，里面裝著什么圖形呢？請喊出他們的名字。（拿出一個又一個三角形，分別貼在黑板上）

生：三角形。三角形……

師：好多啊，怎么辦？

生：給它們取名字，給它們分類。

師：請取出信封里的三角形。可以想怎么分就怎么分，但是要思考為什么這么分。

生：按角來分，都有一個鈍角的分成一類，都有一個直角的分成一類，既沒有鈍角又沒有直角的分成一類。

師：有一類三角形既有鈍角又有銳角，為什么按鈍角來分呢？

生：因為這一類三角形里面有獨一無二的特征——鈍角，而另外兩類沒有鈍角。

師：有沒有不同的分法？

生：可以按邊來分，等邊的三角形為一類，等腰的三角形為一類。

師：信封里接下來的三角形的三個角有可能分別是什么角？

生：可能是一個直角、兩個銳角。

生：可能是一個鈍角、兩個銳角。

生：可能三個都是銳角。

師：這些三角形黑板上都有，還有呢？

生：可能是一個直角、一個鈍角、一個銳角。

師：好，大家閉起眼睛想象一下，這個三角形是什么樣子，黑板上有沒有這樣的三角形？能不能嘗試畫一個這樣的三角形出來。

生：這個三角形不可能能畫出來。因為一個三角形三個角的度數(shù)是180度，一個直角是90度，一個鈍角起碼有91度，加在一起就已經有181度了，還有一個銳角沒有算進去呢！所以，不可能有這樣的三角形。

師：他用三角形的內角和來解釋，不存在一個直角、一個鈍角、一個銳角三角形，太棒了！

師：那就是只有黑板上的三種情況，還有第四種嗎？

生：沒有了。

師：看來在分類的時候我們一定不能遺漏了某個三角形。

師：

（從信封里抽出一個三角形，露出一個直角）這個是什么三角形？

生：直角三角形。

師：確定嗎？好，繼續(xù)（從信封里抽出一個三角形，露出一個鈍角）

生：鈍角三角形。

師：好，繼續(xù)（從信封里抽出一個三角形，露出一個銳角）

生：銳角三角形。

生：無法確定。

師：剛才前面看到一個直角或者鈍角就可以確定了，現(xiàn)在為什么無法確定了？

生：因為所有的三角形都至少有兩個銳角。

師：那有沒有一個三角形既是直角三角形又是銳角三角形呢？

生：不可能。因為直角三角形里面一定有一個是直角，而銳角三角形里面根本沒有直角。

生：是的一個三角形不可能有兩個名字的，它只有一個名字。

這樣，通過師生之間的交流，學生感受到了分類的必要性，同時，學生通過個性化的分類，領悟到了分類要有標準。在此基礎上，讓學生把握特征、合理命名，他們就能夠在內心深處領晤到不重復、不遺漏這個重要的原則。

“四邊形分類”一課在北師大版《義務教育教科書。數(shù)學》上是安排在三角形分類之后的一節(jié)內容，上課之前，我一直研讀教材并思考這樣的問題：教材在三角形的分類中是從邊和角兩個角度進行分類的，為什么四邊形只從邊的角度進行分類？圖形分類的思想是什么？在不斷的實踐與反思中，我發(fā)現(xiàn)三角形在角和邊上都存在特殊性，而四邊形中角沒有顯著特點，而邊的特點更為突出，繼而才有了四邊形分類從邊的特點研究。我從四邊形有無平行邊的特征作為切人點，發(fā)現(xiàn)四邊形的分類是可以從一般和特殊進行不斷地分類。

師：觀察這八個圖形（如圖1），說一說有什么樣的特點？

生：全都是四條邊;因為有四條邊，所以都是四邊形。

師：現(xiàn)在請拿出剪好的八個四邊形來分分類。想想你要按照什么樣的分類標準，把你的分類標準和結果寫在草稿本上。

師：數(shù)學上將沒有對邊平行的四邊形稱為一般四邊形，就是普通的四邊形，除了四個角、四條邊、內角和是3600之外沒有什么其他的特點。相對于一般的四邊形來說，這類圖形在數(shù)學上又稱為特殊的四邊形。這類四邊形特殊在哪里？

生：特殊在對邊平行。

師：誰來指一指這些對邊平行在哪里？

生：①有兩組對邊平行，分別是上下兩組。左右兩組;②只有一組上下對邊平行;③有兩組對邊平行;④只有一組對邊平行;⑥有兩組對邊平行;⑦也只有一組對邊平行。（生上臺邊指邊說）

師：什么樣的四邊形叫梯形？什么樣的四邊形叫平行四邊形？

師：能不能將“只有一組對邊平行的四邊形叫梯形”這句話中的“只”去掉？

生：不能，去掉“只”的話，平行四邊形也可以叫梯形了，因為平行四邊形有兩組對邊平行，其中就就包括一組對邊平行了。

師：梯形和平行四邊形又可以按照一般和特殊進行再分類，梯形可以分為一般梯形和特殊梯形，平行四邊形可以分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形。能不能按照這個標準對這些圖形進行再分類？

生：我是將①和⑥歸為一般四邊形。③歸為特殊四邊形，因為①和⑥除了兩組對邊分別平行之外，沒有其他特殊的特征，而③除了兩組對邊分別平行之外，還有四條邊都相等。

生：你是怎么知道這四條邊都相等的？

生：通過對折可以得到這四條邊相等。（邊說邊對折）

師：通過剛剛才的分析，我們可以知道③號圖形是特殊平行四邊形，它特殊在不僅四條邊相等，而且還有兩條對稱軸，是軸對稱圖形。

師：你們知道這個圖形叫什么嗎？

生：菱形。

師：誰來講一講梯形的分類？

生：我是將②歸為一般梯形，④和⑦歸為特殊梯形。

師：你的分類依據(jù)是什么？

生：②很普通，除了一組對邊平行之外，沒有其他特征了，而④有兩個直角，⑦有兩腰相等。

師：數(shù)學上將④叫直角梯形，它的特殊在角上，將⑦叫直角梯形。

通過以上分析表明，只有以數(shù)學思想的具體分析來帶動具體知識的教學，才能使學生真正感受到數(shù)學思維的力量，而不至于將數(shù)學思想看成純粹的紙上談兵、空中樓閣，只有將數(shù)學思想明確化、具體化，才能真正地發(fā)展學生的數(shù)學思維。

（責任編輯：楊強）